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第三章函数,第12讲二次函数,1.二次函数的概念：一般地，形如yax2bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数.,知识梳理,2.二次函数的三种形式：(1)一般形式：yax2bx+c，对称轴是_；二次函数的顶点坐标是_.(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，对称轴是_；二次函数的顶点坐标是_.(3)交点式：ya(xx1)(xx2),对称轴是.,x=h,(h,k),3.二次函数的图象和性质：,向上,减小,向下,增大,增大,减小,小,大,4.二次函数图象的平移：抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中a相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同.它们之间的平移关系有如下两个关键思想：(1)先将函数的解析式化为顶点式ya(xh)2k，然后确定顶点坐标(h,k).（2）平移规律：y=ax2y=a（xh）2k.口诀：左+右-，上+下-,再向上（下）平移k个单位先向左（右）平移h个单位,5.二次函数图象的特征与a，b，c及=b24ac的符号之间的关系：,易错题汇总,1.二次函数y=x2+2的对称轴是,y轴,2.二次函数y=(x9)2+12的函数最大值是,最小值是;当0x8时，其函数最大值是,最小值是;当0x0；当时，x24x+30；当时，y随x的增大而增大,A(1,0),B(3,0),C(0,3),直线x=2,x3,1y2；（3）当，ax2+bx+cmx+n,-1,4,x4,-1x4时,图1-12-2,5.如图1-12-3为二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A（3,0），对称轴为x=1，给出四个结论：b24ac0；2a+b=0；a+b+c=0；当x=-1或3时，函数y的值都等于0.其中正确的结论为(),D,图1-12-3,A.B.C.D.,考点一:二次函数的图象和性质及图象的平移,1.（2018上海）下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是()A.开口向下B对称轴是y轴C经过原点D在对称轴右侧部分是下降的,C,2.（2018哈尔滨）将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为()A.y=-5（x+1）2-1By=-5（x-1）2-1Cy=-5（x+1）2+3Dy=-5（x-1）2+3,A,考点突破,解：(1)直线y=kx+1与双曲线y=(x0)交于点P(1，m)，m=2.把P(1，2)代入y=kx+1,得k+1=2.解得k=1.(3)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，过P,Q二点的抛物线与y轴的交点为，抛物线的函数解析式为y=.对称轴方程为x=,考点二：求二次函数的解析式,3.(2016广东)如图1-12-4，在直角坐标系中，直线y=kx+1(k0)与双曲线y=2x(x0)相交于点P(1，m).(1)求k的值；(2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是_；(3)若过P，Q二点的抛物线与y轴的交点为，求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程.,(2，1),图1-12-4,2=a+b+c,1=4a+2b+c,c=.,解得,a=,b=1,c=.,4.(2017玉林)对于函数y=-2(x-m)2的图象，下列说法不正确的是(),D,A.开口向下B.对称轴是x=mC.y的最大值为0D.与y轴不相交,5.（2018广安改编）抛物线y=（x-2）2-1可以由抛物线y=x2先向单位长度，然后向单位长度而得到.,右平移2个,下平移1个,6.（2018广东）如图1-12-5，已知顶点为C（0，-3）的抛物线y=ax2+b（a0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,图1-12-5,解：（1）将点C（0，-3）代入y=x+m，可得m=-3.（2）将y=0代入y=x-3,得x=3.所以点B的坐标为（3，0）.将（0，-3），（3，0）代入y=ax2+b中，得,答图1-12-1,b=-3,9a+b=0.,解得,A=,b=-3.,所以二次函数的解析式为y=x2-3.（3）存在，如答图1-12-1,分以下两种情况：若点M在点B上方，设MC交x轴于点D，则ODC=45+15=60，OD=OCtan30=.设DC为y=kx-3，代入（3，0），可得k=3，联立两个方程，得,y=3x-3,y=x2-3.,解得,x1=0,y1=-3,或,x2=3,y2=6.,M1（3，6）；,若点M在点B下方，设MC交x轴于点E，则OEC=45-15=30，OE=OCtan60=3.设EC为y=kx-3，代入（33，0）,得k=,联立两个方程，得,解得,x1=0,y1=-3,或,x2=,y2=-2.,M2（，-2）.综上所述,M的坐标为（3，6）或（，-2）,7.(2017广东)如图1-12-6，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式；(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标.,图1-12-6,解：(1)将点A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b，得,0=-12+a+b,0=-32+3a+b.,解得a=4，b=-3.,抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.,(2)点C在y轴上，点C的横坐标x=0.点P是线段BC的中点，点P的横坐标xP=.又点P在抛物线y=-x2+4x-3上，yP=.点P的坐标为.,考点三:二次函数的最值问题,8.（2018广州改编）已知二次函数y=x2，当x0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）;当x=_时,y有最_值为_.,增大,0,小,0,9.(2016广东改编)已知y=(x+1)2-，且0x2，则当x=_时，y有最大值为_.,2,2,考点四：二次函数与一元二次方程、不等式的关系,10.已知抛物线y=x2+x+c与x轴没有交点.(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由.,解：(1)抛物线y=x2+x+c与x轴没有交点,=12-4c=1-2c0.解得c.(2)c，直线y=cx+1过第一、三象限.10，直线与y轴的交点在y轴的正半轴.直线y=cx+1经过第一、二、三象限,变式诊断,11.(2017连云港)如图1-12-7，已知二次函数y=ax2+bx+3(a0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连接AB,AC,BC.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断ABC的形状.,解：(1)把点A(3，0)，B(4，1)代入y=ax2+bx+3，得,9a+3b+3=0,16a+4b+3=1.,解得,图1-12-7,所以二次函数的关系式为y=12x2-52x+3.,(2)ABC是直角三角形.理由如下：如答图1-12-2，过点B作BDx轴于点D，易知点C的坐标为(0，3)，OA=OC.OAC=45.又点B的坐标为(4，1)，AD=BD.BAD=45.BAC=180-45-45=90.ABC是直角三角形.,答图1-12-2,12.（2018潍坊）已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2x5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为()A.3或6B1或6C1或3D4或6,B,13.(2016兰州)二次函数y=x2+4x-3的最小值是_.,-7,14.（2018深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图1-12-8，下列结论正确是()A.abc0B2a+b0C3a+c0Dax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根,图1-12-8,C,15.关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是()A.它的开口方向向下B.当x-1时，y随x的增大而减小C.它的顶点坐标是(2，3)D.当x=0时，y有最大值是3,B,16.(2017襄阳)将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为()A.y=2x2+1B.y=2x2-3C.y=2(x-8)2+1D.y=2(x-8)2-3,A,17.（2018岳阳）抛物线y=3（x-2）2+5的顶点坐标是()A.（-2，5）B（-2，-5）C（2，5）D（2，-5）,C,18.(2016荆门)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0，x2=6B.x1=1，x2=7C.x1=1，x2=-7D.x1=-1，x2=7,D,图1-12-9,19.（2018恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图1-12-9，下列判断：abc0；b2-4ac0；9a-3b+c=0；若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1y2；5a-2b+c0其中正确的有()A.2个B3个C4个D5个,B,20.（2018青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图1-12-10，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(),A,图1-12-10,ABCD,21.（2018苏州）如图1-12-11，已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D（1）求出直线的解析式;（2）求线段AD的长；（3）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式,图1-12-11,解：（1）由x2-4=0，得x1=-2，x2=2.点A位于点B的左侧，A（-2，0）.直线y=x+m经过点A，-2+m=0，解得m=2.直线的解析式为y=x+2.(2)由y=x+2,得点D的坐标为（0，2）.AD=2.（3）设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2.y=x2+bx+2=，点C的坐标为，CC平行于直线AD，且经过C（0，-4），直线CC的解析式为y=x-4.2-b24=-4.解得b1=-4，b2=6.新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2,
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