资源描述
第三章函数,第12讲二次函数,1.二次函数的概念:一般地,形如yax2bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.,知识梳理,2.二次函数的三种形式:(1)一般形式:yax2bx+c,对称轴是_;二次函数的顶点坐标是_.(2)顶点式:ya(xh)2k(a0),对称轴是_;二次函数的顶点坐标是_.(3)交点式:ya(xx1)(xx2),对称轴是.,x=h,(h,k),3.二次函数的图象和性质:,向上,减小,向下,增大,增大,减小,小,大,4.二次函数图象的平移:抛物线yax2与ya(xh)2,yax2k,ya(xh)2k中a相同,则图象的开口方向和大小都相同,只是位置不同.它们之间的平移关系有如下两个关键思想:(1)先将函数的解析式化为顶点式ya(xh)2k,然后确定顶点坐标(h,k).(2)平移规律:y=ax2y=a(xh)2k.口诀:左+右-,上+下-,再向上(下)平移k个单位先向左(右)平移h个单位,5.二次函数图象的特征与a,b,c及=b24ac的符号之间的关系:,易错题汇总,1.二次函数y=x2+2的对称轴是,y轴,2.二次函数y=(x9)2+12的函数最大值是,最小值是;当0x8时,其函数最大值是,最小值是;当0x0;当时,x24x+30;当时,y随x的增大而增大,A(1,0),B(3,0),C(0,3),直线x=2,x3,1y2;(3)当,ax2+bx+cmx+n,-1,4,x4,-1x4时,图1-12-2,5.如图1-12-3为二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(3,0),对称轴为x=1,给出四个结论:b24ac0;2a+b=0;a+b+c=0;当x=-1或3时,函数y的值都等于0.其中正确的结论为(),D,图1-12-3,A.B.C.D.,考点一:二次函数的图象和性质及图象的平移,1.(2018上海)下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是()A.开口向下B对称轴是y轴C经过原点D在对称轴右侧部分是下降的,C,2.(2018哈尔滨)将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=-5(x+1)2-1By=-5(x-1)2-1Cy=-5(x+1)2+3Dy=-5(x-1)2+3,A,考点突破,解:(1)直线y=kx+1与双曲线y=(x0)交于点P(1,m),m=2.把P(1,2)代入y=kx+1,得k+1=2.解得k=1.(3)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,过P,Q二点的抛物线与y轴的交点为,抛物线的函数解析式为y=.对称轴方程为x=,考点二:求二次函数的解析式,3.(2016广东)如图1-12-4,在直角坐标系中,直线y=kx+1(k0)与双曲线y=2x(x0)相交于点P(1,m).(1)求k的值;(2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称,则点Q的坐标是_;(3)若过P,Q二点的抛物线与y轴的交点为,求该抛物线的函数解析式,并求出抛物线的对称轴方程.,(2,1),图1-12-4,2=a+b+c,1=4a+2b+c,c=.,解得,a=,b=1,c=.,4.(2017玉林)对于函数y=-2(x-m)2的图象,下列说法不正确的是(),D,A.开口向下B.对称轴是x=mC.y的最大值为0D.与y轴不相交,5.(2018广安改编)抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x2先向单位长度,然后向单位长度而得到.,右平移2个,下平移1个,6.(2018广东)如图1-12-5,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B(1)求m的值;(2)求函数y=ax2+b(a0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得MCB=15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由,图1-12-5,解:(1)将点C(0,-3)代入y=x+m,可得m=-3.(2)将y=0代入y=x-3,得x=3.所以点B的坐标为(3,0).将(0,-3),(3,0)代入y=ax2+b中,得,答图1-12-1,b=-3,9a+b=0.,解得,A=,b=-3.,所以二次函数的解析式为y=x2-3.(3)存在,如答图1-12-1,分以下两种情况:若点M在点B上方,设MC交x轴于点D,则ODC=45+15=60,OD=OCtan30=.设DC为y=kx-3,代入(3,0),可得k=3,联立两个方程,得,y=3x-3,y=x2-3.,解得,x1=0,y1=-3,或,x2=3,y2=6.,M1(3,6);,若点M在点B下方,设MC交x轴于点E,则OEC=45-15=30,OE=OCtan60=3.设EC为y=kx-3,代入(33,0),得k=,联立两个方程,得,解得,x1=0,y1=-3,或,x2=,y2=-2.,M2(,-2).综上所述,M的坐标为(3,6)或(,-2),7.(2017广东)如图1-12-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标.,图1-12-6,解:(1)将点A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b,得,0=-12+a+b,0=-32+3a+b.,解得a=4,b=-3.,抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.,(2)点C在y轴上,点C的横坐标x=0.点P是线段BC的中点,点P的横坐标xP=.又点P在抛物线y=-x2+4x-3上,yP=.点P的坐标为.,考点三:二次函数的最值问题,8.(2018广州改编)已知二次函数y=x2,当x0时,y随x的增大而(填“增大”或“减小”);当x=_时,y有最_值为_.,增大,0,小,0,9.(2016广东改编)已知y=(x+1)2-,且0x2,则当x=_时,y有最大值为_.,2,2,考点四:二次函数与一元二次方程、不等式的关系,10.已知抛物线y=x2+x+c与x轴没有交点.(1)求c的取值范围;(2)试确定直线y=cx+1经过的象限,并说明理由.,解:(1)抛物线y=x2+x+c与x轴没有交点,=12-4c=1-2c0.解得c.(2)c,直线y=cx+1过第一、三象限.10,直线与y轴的交点在y轴的正半轴.直线y=cx+1经过第一、二、三象限,变式诊断,11.(2017连云港)如图1-12-7,已知二次函数y=ax2+bx+3(a0)的图象经过点A(3,0),B(4,1),且与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.(1)求此二次函数的关系式;(2)判断ABC的形状.,解:(1)把点A(3,0),B(4,1)代入y=ax2+bx+3,得,9a+3b+3=0,16a+4b+3=1.,解得,图1-12-7,所以二次函数的关系式为y=12x2-52x+3.,(2)ABC是直角三角形.理由如下:如答图1-12-2,过点B作BDx轴于点D,易知点C的坐标为(0,3),OA=OC.OAC=45.又点B的坐标为(4,1),AD=BD.BAD=45.BAC=180-45-45=90.ABC是直角三角形.,答图1-12-2,12.(2018潍坊)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B1或6C1或3D4或6,B,13.(2016兰州)二次函数y=x2+4x-3的最小值是_.,-7,14.(2018深圳)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图1-12-8,下列结论正确是()A.abc0B2a+b0C3a+c0Dax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根,图1-12-8,C,15.关于二次函数y=2x2+3,下列说法正确的是()A.它的开口方向向下B.当x-1时,y随x的增大而减小C.它的顶点坐标是(2,3)D.当x=0时,y有最大值是3,B,16.(2017襄阳)将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后所得抛物线的解析式为()A.y=2x2+1B.y=2x2-3C.y=2(x-8)2+1D.y=2(x-8)2-3,A,17.(2018岳阳)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B(-2,-5)C(2,5)D(2,-5),C,18.(2016荆门)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=7,D,图1-12-9,19.(2018恩施州)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,部分图象如图1-12-9,下列判断:abc0;b2-4ac0;9a-3b+c=0;若点(-0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,则y1y2;5a-2b+c0其中正确的有()A.2个B3个C4个D5个,B,20.(2018青岛)已知一次函数y=x+c的图象如图1-12-10,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(),A,图1-12-10,ABCD,21.(2018苏州)如图1-12-11,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点,直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D(1)求出直线的解析式;(2)求线段AD的长;(3)平移该抛物线得到一条新拋物线,设新抛物线的顶点为C若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式,图1-12-11,解:(1)由x2-4=0,得x1=-2,x2=2.点A位于点B的左侧,A(-2,0).直线y=x+m经过点A,-2+m=0,解得m=2.直线的解析式为y=x+2.(2)由y=x+2,得点D的坐标为(0,2).AD=2.(3)设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2.y=x2+bx+2=,点C的坐标为,CC平行于直线AD,且经过C(0,-4),直线CC的解析式为y=x-4.2-b24=-4.解得b1=-4,b2=6.新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2,
展开阅读全文