2019-2020年高考数学大一轮复习 第十章 第59课 圆的综合问题要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第十章 第59课 圆的综合问题要点导学与圆有关的范围与最值问题已知实数x,y满足x2+y2-6x-8y+21=0.(1) 求的取值范围;(2) 求x2+y2+2x+4y的最大值与最小值.解答由x2+y2-6x-8y+21=0得圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,所以方程x2+y2-6x-8y+21=0是以C(3,4)为圆心、2为半径的圆.(1) =表示圆上任意一点M(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率.作图可以发现过原点作圆的切线,两条切线的斜率分别是的最大值与最小值.设切线为kx-y=0,则=2,解得k=,所以.(2) 因为x2+y2+2x+4y=(x+1)2+(y+2)2-5,所以x2+y2+2x+4y表示圆上任意一点M(x,y)与定点A(-1,-2)的距离的平方与5的差,AC=2,作图发现M=(AC+2)2=56+8,M=(AC-2)2=56-8,所以x2+y2+2x+4y的最大值是51+8,最小值是51-8.精要点评(1) 对于型问题常可以转化为圆上任意一点P与定点Q连线的斜率.(2) 对于x2+y2-2mx-2ny型问题,可以转化为圆上任意一点M与定点N(m,n)间的距离的最大、最小值问题.在具体解题时注意数形结合思想的运用.如果实数x,y满足(x+2)2+y2=3.(1) 求的最大值;(2) 求2x-y的最小值.解答(1) 问题可转化为求圆(x+2)2+y2=3上任意一点到原点连线的斜率k=的最大值, 由图形性质可知,由原点向圆(x+2)2+y2=3作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值.设切线方程为y=kx,即kx-y=0,由=,解得k=或k=-,所以的最大值为.(2) 因为x,y满足(x+2)2+y2=3,所以可设所以2x-y=-4+2cos -sin =-4+sin(+),所以2x-y的最小值为-4-.直线与圆的位置关系(xx江苏模拟)若圆M经过不同的三点A(0,1),B(2,0),P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程.解答由A(0,1),B(2,0)在圆上,可得圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,BP也是圆M的弦,所以圆心在直线x=上.设圆心M,因为圆心M在直线4x-2y-3=0上,所以2m-2n+1=0.又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P,所以kMP=-1.即=-1,整理得m-2n-2=0.由可得m=-3,n=-,所以M,半径MA=.故圆M的方程为x2+y2+x+5y-6=0.(xx佛山模拟)如图,已知半径为1的圆O1与x轴交于A,B两点,OM为圆O1的切线,切点为M,且M在第一象限,圆心O1的坐标为(2,0),二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A,B两点.(变式)(1) 求二次函数的解析式;(2) 求切线OM的函数解析式.解答(1) 由题意知,圆O1的方程为(x-2)2+y2=1,令y=0,解得x=1或x=3,故点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0).由于二次函数y=-x2+bx+c经过A,B两点,则有解得故二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.(2) 设直线OM所对应的函数解析式为y=kx,由于点M在第一象限,所以k0.由于直线OM与圆O1相切,则=1,解得k=,故切线OM的函数解析式为y=x.圆的综合问题 (xx安徽示范高中模拟)已知点E(-2,0),F(2,0),曲线C上的动点M满足=-3,定点A(2,1),由曲线C外一点P(a,b)向曲线C引切线PQ,切点为Q,且满足PQ=PA.(1) 求线段PA的最小值;(2) 若以点P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点,试求半径取最小值时圆P的标准方程.解答(1) 设点M(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),因为=-3,所以(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=-3,即x2+y2=1,所以曲线C的方程为x2+y2=1.因为PQ=PA,所以PO2-1=PA2,即a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,化简得b=-2a+3.PA=,所以线段PA的最小值为.(2) 设圆P的半径为R,因为圆P与圆C有公共点,圆C的半径为1,所以|R-1|CPR+1,即RCP-1且RCP+1,而CP=,故当a=时,OPmin=.此时b=-2a+3=,Rmin=-1.故半径取最小值时圆P的标准方程为+=.(xx扬泰南宿二调)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0 r a),M为直线l上一动点,A1,A2分别为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q.(1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程;(2) 证明:直线PQ过定点,并求该定点的坐标.解答(1) 当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0).直线MA1的方程为x-3y+2=0,联立方程组解得P.直线MA2的方程为x-y-2=0,联立方程组解得Q(0,-2). 由两点式,得直线PQ的方程为2x-y-2=0.(2) 由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t),直线MA1的方程为y=(x+r),直线MA2的方程为y=(x-r).由解得P.由解得Q.于是直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程为y-=.上式中令y=0,得x=,是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1) 若此方程表示圆,求m的取值范围;(2) 若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m;(3) 在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.思维引导OMON(O为坐标原点)等价于以MN为直径的圆的经过原点.规范答题(1) 因为(x-1)2+(y-2)2=5-m是圆,所以m5.(3分)(2) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=4-2y1,x2=4-2y2,则x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2.因为OMON,所以x1x2+y1y2=0,所以16-8(y1+y2)+5y1y2=0.由得5y2-16y+m+8=0,所以y1+y2=,y1y2=,代入,得m=. (8分)(3) 以MN为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,所以所求圆的方程为x2+y2-x-y=0. (14分)1. 圆心在x-y-4=0上,并且经过圆C1:x2+y2-4x-3=0和圆C2:x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程为.答案x2+y2-6x+2y-3=02. 对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是.答案相切或相交解析根据直线恒过(1,3),且(1,3)在圆上可知直线与圆相交或相切.3. 已知直线2x+y-=0与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为原点,那么=.答案0解析因为圆心(0,0)到直线2x+y-=0的距离为1,所以直线被圆截得的弦长AB=2=2.因为OA2+OB2=AB2,所以AOD=90,所以=0.4. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则实数a的值为.答案1解析圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线经过圆的圆心(-1,2),所以3(-1)+2+a=0,解得a=1.5. (xx惠州模拟)已知直线l1与直线l2:3x+4y-6=0平行,且与圆C:x2+y2+2y=0相切,那么直线l1的方程是.答案3x+4y-1=0或3x+4y+9=0解析圆x2+y2+2y=0的圆心为(0,-1),半径为r=1,通过两条直线平行设直线l1的方程为3x+4y+c=0,因为直线与圆相切,所以有=1c=-1或c=9,所以直线l1的方程是3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第117-118页).