2019年高考数学 7.9利用空间向量求空间角和距离课时提升作业 理 北师大版.doc

2019年高考数学 7.9利用空间向量求空间角和距离课时提升作业 理 北师大版一、选择题1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则异面直线CE与BD的夹角为()(A)30(B)45(C)60(D)902.(xx银川模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为边长为1的正三角形,侧棱 AA1底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C的夹角为,则 sin的值为()(A)(B) (C)(D)3.(xx合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BD与平面C1BD的夹角的 余弦值为()(A)(B)(C)(D)4.已知直二面角-l -,点A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于()(A)(B)(C)(D)15.(xx三亚模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF的夹角的余弦值为()(A)(B)-(C)(D)-6.如图,平面ABCD平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC的夹角的正弦值为()(A)(B)(C)(D)二、填空题7.如图,正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为.8.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则这两个平面的夹角的大小为.9.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角等于.三、解答题10.(xx汉中模拟)如图1,平面四边形ABCD关于直线AC对称,A=60,C=90,CD=2.把ABD沿BD折起(如图2),使平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值等于,对于图2,完成以下各小题:(1)求A,C两点间的距离.(2)证明:AC平面BCD.(3)求直线AC与平面ABD的夹角的正弦值.11.(能力挑战题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.(1)求证:AE平面A1BD.(2)求平面DBA1与平面ABA1的夹角的余弦值.(3)求点B1到平面A1BD的距离.12.(xx亳州模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明:AEPD.(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD的夹角的正切值为,求平面EAF与平面CAF的夹角的余弦值.答案解析1.【解析】选D.以D点为原点,建立空间直角坐标系如图,设正方体棱长为1,则相关点的坐标为C(0,1,0),E(,1),B(1,1,0),D(0,0,0),=(,-,1),=(-1,-1,0),=-+0=0,即CEBD.2.【解析】选D.如图,建立空间直角坐标系,易求点D(,1),平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cos=,即sin=.3.【解析】选D.设正方体棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,取BD的中点E,连接A1E,C1E,易知A1EBD,C1EBD,则A1EC1是平面A1BD与平面C1BD的夹角或其补角,=(,-,1),=(-,1),cos=.故选D.【方法技巧】求平面与平面的夹角的策略(1)法向量法.其步骤是:建系;分别求构成夹角的两个平面的法向量;求法向量夹角的余弦值;根据题意确定两平面的夹角的余弦值或其大小.(2)平面角法.该法就是首先利用平面与平面所成夹角的定义,找出两平面的夹角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值或其大小.4.【解析】选C.=+,|2=|2+|2+|2,|2=2.在RtBDC中,BC=.平面ABC平面BCD,过D作DHBC于H,则DH平面ABC,DH的长即为D到平面ABC的距离,DH=,故选C.5.【解析】选A.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点.以C为原点建立空间直角坐标系,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1,2,1),|=2,|=,=-2,cos=-.直线AD与GF的夹角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线的夹角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM的夹角是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.建立坐标系,通过向量的坐标运算可知AMOP恒成立,即AM与OP的夹角为.6.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),=(0,0,2a).设平面AGC的一个法向量为n1=(x1,y1,1),由n1=(1,-1,1).设为GB与平面AGC的夹角,则sin=.7.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O(,1),=(0,1,0),=(-1,0,1),设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z),由得令x=1,得n=(1,0,1).又=(-,-,0),O到平面ABC1D1的距离d=.答案:8.【解析】由条件,知=0,=0,=+,|2=|2+|2+|2+2+2+2=62+42+82+268cos=(2)2,cos=-,=120,这两个平面的夹角的大小为60.答案:609.【解析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-,),则=(2a,0,0),=(-a,-,),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos=,=60,直线BC与平面PAC的夹角为90-60=30.答案:3010.【解析】(1)取BD的中点E,连接AE,CE,由AB=AD,CB=CD得,AEBD,CEBD,AEC就是平面ABD与平面CBD的夹角,cosAEC=.在ACE中,AE=,CE=.AC2=AE2+CE2-2AECEcosAEC=6+2-2=4,AC=2.(2)由AB=AD=BD=2,AC=BC=CD=2,AC2+BC2=AB2,AC2+CD2=AD2,ACB=ACD=90.ACBC,ACCD,又BCCD=C,AC平面BCD.(3)以CB,CD,CA所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系C-xyz,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,2,0),设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则即取x=y=z=1,则n=(1,1,1),于是AC与平面ABD的夹角的正弦值为sin=.【变式备选】如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD平面ABCD.底面ABCD为矩形,AD=a,AB=a,SA=SD=a.(1)求证:CDSA.(2)求平面CSA与平面DSA的夹角的大小.【解析】方法一:(1)因为平面SAD平面ABCD,CDAD,且平面SAD平面ABCD=AD,所以CD平面SAD.又因为SA平面SAD,所以CDSA.(2)由(1)可知,CDSA.在SAD中,SA=SD=a,AD=a,所以SASD.又CDSD=D,所以SA平面SDC,所以SASC,所以CSD为平面CSA与平面DSA的夹角或其补角.在RtCDS中,tanCSD=,所以平面CSA与平面DSA的夹角的大小为.方法二:取BC的中点E,AD的中点P,连接PE,PS.在SAD中,SA=SD=a,P为AD的中点,所以SPAD.又因为平面SAD平面ABCD,且平面SAD平面ABCD=AD,所以SP平面ABCD.显然有PEAD.如图,以P为坐标原点,PA为x轴,PE为y轴,PS为z轴建立空间直角坐标系,则S(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,0,0).(1)易知=(0,-a,0),=(a,0,-a),所以=0,所以CDSA.(2)又=(a,-a,0),设n=(x,y,z)为平面CSA的一个法向量,则有即取n=(,).显然,EP平面SAD,所以为平面SAD的一个法向量,所以m=(0,1,0)为平面SAD的一个法向量.所以cos=,所以平面CSA与平面DSA的夹角的大小为.11.【思路点拨】由AA1平面ABC可知,平面ABC平面ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.【解析】(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,),B1(0,-2,),=(-2,-1,0),=(-1,2,0),=(0,0,-).=2-2+0=0,AEA1D,=0,AEBD.又A1D与BD相交于D,AE平面A1BD.(2)设平面DA1B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由取n1=(2,1,0).设平面ABA1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),易得=(-1,2,),=(0,2,0),则由取n2=(3,0,).cos=.故平面DBA1与平面ABA1的夹角的余弦值为.(3)=(0,2,0),平面A1BD的法向量取n1=(2,1,0),则B1到平面A1BD的距离为d=|=.12.【解析】(1)由四边形ABCD为菱形,ABC=60,可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AEBC.又BCAD,因此AEAD.因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为PAAD=A,所以AE平面PAD,又PD平面PAD.所以AEPD.(2)设AB=2,H为PD上任意一点,连接AH,EH.由(1)知AE平面PAD,则EHA为EH与平面PAD的夹角.在RtEAH中,AE=,所以当AH最短时,EHA最大,即当AHPD时,EHA最大.此时tanEHA=,因此AH=.又AD=2,所以ADH=45,所以PA=2.方法一:因为PA平面ABCD,PA平面PAC,所以平面PAC平面ABCD.过E作EOAC于O,则EO平面PAC,过O作OSAF于S,连接ES,则ESO为平面EAF与平面CAF的夹角,在RtAOE中,EO=AEsin30=,AO=AEcos30=,又F是PC的中点,在RtASO中,SO=AOsin45=,又SE=,在RtESO中,cosESO=,即所求夹角的余弦值为.方法二:由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,设AB=2,则所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(,1),所以=(,0,0),=(,1).设平面EAF的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则因此取z1=-1,则m=(0,2,-1),因为BDAC,BDPA,PAAC=A,所以BD平面CAF,故为平面CAF的一个法向量.又=(-,3,0),所以cos=.所以所求夹角的余弦值为.