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4.5解直角三角形,理解锐角三角函数的意义,理解并能熟记特殊角(30,45,60)的三角函数值;能够利用直角三角形的角之间的关系、边之间的关系(勾股定理)、边角之间的关系(直角三角形中锐角的三角函数关系)正确地解直角三角形.能够利用解直角三角形的方法解决简单的实际问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,锐角三角函数如图,在ABC中,C=90.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,典例1如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tanBAC的值为(),【答案】B【方法指导】解直角三角形时辅助线的常用作法初中阶段的三角函数都是放在直角三角形中来研究的,所以如果没有直角三角形,就需要作出辅助线,构造一个适当的直角三角形,从而可以利用三角函数解决问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,特殊角的三角函数值(8年8考)1.特殊角的三角函数值,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,特别提醒特殊角三角函数值的特点及速记口诀:30,45,60这三个角的正弦值和余弦值的共同点是:分母都是2,若把分子都加上根号,则被开方数就相应地变成了1,2,3.正切的特点是:将分子全部都带上根号,令分母值为3,则相应的被开方数就是3,9,27.正弦和正切的增减性都是:函数值都随着角度的增大而增大,余弦则随着角度的增大而减小.根据此特点不妨编成如下口诀:三十四五六十度,三角函数记心间,分母弦二切是三,分子要把根号添,一二三来三二一,切值三九二十七,正弦正切递增值,余弦递减恰相逆.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,2.三角函数值的变化规律(1)当090时,sin,tan随着的增大(或减小)而增大(或减小).(2)当090时,cos随着的增大(或减小)而减小(或增大).3.锐角三角函数之间的关系(1)同角之间的三角函数关系:tan=.补充:sin2+cos2=1.(2)互余两角的三角函数之间的关系:sin=cos(90-);cos=sin(90-).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,典例2(2018合肥长丰县模拟)tan45sin45-2sin30cos45+tan30=(),【答案】D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,提分训练2.一般地,当,为任意角时,cos(+)与cos(-)的值可以用下面的公式求得cos(+)=coscos-sinsin;cos(-)=coscos+sinsin.例如:cos90=cos(30+60)=cos30cos60-sin30sin60,类似地,可以求得cos15的值是.(结果保留根号),3.计算:2cos60+4sin60tan30-cos245.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,直角三角形中的边角关系和解直角三角形(8年1考)1.直角三角形中的边角关系(1)三边的关系:a2+b2=c2.(2)角的关系:A+B=90.(3)边角关系:,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,2.解直角三角形的类型及解法,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,名师指导列出的这些解直角三角形的方法,仅是一般方法,在具体的问题中,要根据所给出的条件灵活处理.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,典例3在RtABC中,C=90.(1)已知c=25,b=15,求a;(2)已知a=,A=60,求b,c.【解析】(1)根据勾股定理即可直接求出a的值;(2)根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b,c的值.,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,考点1,考点2,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,运用解直角三角形解决简单的实际问题(8年8考),考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,名师点睛解直角三角形的应用,要注意把这些实际问题抽象为解直角三角形的问题,如果实际问题中没有直角三角形,要注意根据实际问题的具体情况构造出直角三角形,从而为解决实际问题创造条件.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,典例4(2018广西梧州)随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30,测得瀑布底端B点的俯角是10,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27m,GF=17.6m(注:C,G,F三点在同一直线上,CFAB于点F),斜坡CD=20m,坡角ECD=40.求瀑布AB的高度.(参考数据:1.73,sin400.64,cos400.77,tan400.84,sin100.17,cos100.98,tan100.18),考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,【解析】过点D作DMCE,交CE于点M,作DNAB,交AB于点N,在RtCMD中,通过解直角三角形可求出CM的长度,进而可得出MF,DN的长度,再在RtBDN,RtADN中,利用解直角三角形求出BN,AN的长度,结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度.【答案】过点D作DMCE,交CE于点M,作DNAB,交AB于点N.在RtCMD中,CD=20m,DCM=40,CMD=90,CM=CDcos4015.4m,DM=CDsin4012.8m,DN=MF=CM+CG+GF=60m.在RtBDN中,BDN=10,BND=90,DN=60m,BN=DNtan1010.8m.在RtADN中,ADN=30,AND=90,DN=60m,AN=DNtan3034.6m.AB=AN+BN=45.4m.答:瀑布AB的高度约为45.4m.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,【方法指导】解直角三角形应用题的一般步骤:(1)弄清题中的名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.(2)将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题.当有些图形不是直角三角形时,可添加适当的辅助线,把它们分割成直角三角形或矩形.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,提分训练4.(2018湖南张家界)2017年9月8日-10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图,某选手从离水平地面1000米高的A点出发(AB=1000米),沿俯角为30的方向直线飞行1400米到达D点,然后打开降落伞沿俯角为60的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离BC.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,1.测量物体的高度的常见模型,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,典例1(2018海南)如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角HDE为45,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角GEF为60,点A,B,C三点在同一水平线上.(1)计算古树BH的高;(2)计算教学楼CG的高.,【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质即可解决问题;(2)作HJCG于点J.则HJG是等腰直角三角形,四边形BCJH是矩形,设HJ=GJ=BC=x,构建方程即可解决问题.,考点扫描,备课资料,【答案】(1)由题意知四边形ABED是矩形,可得DE=AB=7米,AD=BE=1.5米,在RtDEH中,EDH=45,HE=DE=7米.BH=EH+BE=8.5米.(2)作HJCG于点J,则HJG是等腰直角三角形,四边形BCJH是矩形,设HJ=GJ=BC=x.,考点扫描,备课资料,2.锐角三角函数与相似知识相结合的综合问题典例2(2018江苏连云港)如图1,水坝的横截面是梯形ABCD,ABC=37,坝顶DC=3m,背水坡AD的坡度i(即tanDAB)为10.5,坝底AB=14m.,(1)求坝高;(2)如图2,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,使得AE=2DF,EFBF,求DF的长.,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,命题点解直角三角形的实际应用(必考)1.(2018安徽第19题)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.30.82,tan84.310.02),2.(2017安徽第17题)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m,=75,=45,求DE的长.(参考数据:sin750.97,cos750.26,1.41),解:在RtABC中,AB=600m,ABC=75,BC=ABcos756000.26=156(m).在RtBDF中,DBF=45,DF=BDsin45=6003001.41=423(m).四边形BCEF是矩形,EF=BC,DE=DF+EF423+156=579(m).答:DE的长为579m.,3.(2016安徽第19题)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点.某人在点A处测得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C,D两点间的距离.,解:过点D作l1的垂线,垂足为F,DEB=60,DAB=30,ADE=DEB-DAB=30,ADE为等腰三角形,DE=AE=20(米),在RtDEF中,EF=DEcos60=20=10(米).DFAF,DFB=90,ACDF,由已知l1l2,CDAF,四边形ACDF为矩形,CD=AF=AE+EF=30(米),答:C,D两点间的距离为30米.,
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