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4.3特殊三角形,了解等腰三角形和直角三角形的有关概念,掌握等腰三角形的判定,并会运用等腰三角形的性质解决问题,掌握直角三角形的性质和判定,理解等边三角形的性质和判定,掌握并运用勾股定理及其逆定理.掌握角平分线性质定理及其逆定理,并会利用它解决问题,掌握线段垂直平分线定理及其逆定理,并会利用它解决问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,素养提升,等腰三角形的性质与判定(8年6考)1.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等,简称“等边对等角”;(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合,简称“等腰三角形三线合一”;(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线就是它的对称轴.2.等腰三角形的判定(1)按定义:有两条边相等的三角形就是等腰三角形;(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形,简称“等角对等边”.特别提醒等腰三角形“三线合一”是证明两直线互相垂直的重要方法,也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,素养提升,3.等边三角形(1)等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等;等边三角形的三个角都是60.(2)等边三角形的判定按定义:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有两个角是60的三角形是等边三角形;有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.(3)等边三角形的面积的求法:.名师点睛等边三角形的四种判定方法都可以应用,要根据不同的条件进行选择,以使问题简单化.,考点扫描,素养提升,典例1(2018合肥期末)如图,在ABC中,AB=AC,BAC=36,CD是ACB的平分线交AB于点D,过点A作AEBC,交CD的延长线于点E.(1)求ADC的度数;(2)求证:AE=AC;(3)试问ADE是等腰三角形吗?请说明理由.【解析】(1)利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求出B=ACB=72,求出DCB,根据三角形外角性质求出即可;(2)先判断出BCE=ACE,再判断出BCE=E,即可得出结论;(3)根据平行线求出EAD,根据三角形内角和定理求出ADE,即可得出答案.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,【答案】(1)AB=AC,BAC=36,B=ACB=(180-BAC)=72,CD是ACB的平分线,DCB=ACB=36,ADC=B+DCB=72+36=108.(2)CD是ACB的平分线,BCE=ACE,AEBC,BCE=E,ACE=E,AE=AC.(3)ADE是等腰三角形.理由:AEBC,EAB=B=72,B=72,DCB=36,ADE=BDC=180-72-36=72,EAD=ADE,AE=DE,即ADE是等腰三角形.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,提分训练1.复习课上,老师给出一个问题“已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,求它的周长.”小华代表小组发言:“等腰三角形的边有两种,腰和底边,所以第一种情况5是腰长,6是底边长;第二种情况5是底边长,6是腰长,从而得最终结果为16或17.”小华的上述方法体现的数学思想是()A.公理化B.分类讨论C.数形结合D.由特殊到一般【解析】等腰三角形有两条边长为5和6,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,因此体现的数学思想是分类讨论.,B,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,2.(2018合肥包河区模拟)如图,在四边形ABCD中AC,BD为对角线,AB=BC=AC=BD,则ADC的大小为()A.120B.135C.145D.150,D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,直角三角形的性质与判定(8年7考)1.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(3)直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的一半,等于斜边的一半的直角边所对的角是30;(4)勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.名师点睛已知直角三角形中的两边求第三边(没有明确谁是斜边)时,一般要分类讨论:所求边是斜边;已知两边中的较长边是斜边.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,2.直角三角形的判定(1)有两个角的和等于90的三角形是直角三角形;(2)勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角).补充:一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角).3.直角三角形面积的求法(其中a,b是直角边,h是斜边c上的高).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,典例2(2018湖北黄冈)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,BD=2,CE=5,则CD=(),【答案】C,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,提分训练3.(2018广西贺州)如图,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为(),D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,初高中衔接射影定理在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.在RtABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:BD2=ADCD,AB2=ADAC,BC2=CDAC.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,角的平分线的性质与判定(8年4考)1.定义在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.2.性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,典例3如图,已知P是AOB的角平分线上的一点,AOB=60,PDOA,M是OP的中点,点C是OB上的一个动点,若PC的最小值为3cm,则MD的长度为(),【解析】当PCOB时,PC取最小值.P是AOB的角平分线上的一点,PDOA,PCOB,PD=PC=3,AOP=30,OP=2PD=6,PDOA,M是OP的中点,DM=OP=3.【答案】A,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,【方法指导】已知角的平分线及平分线上一点,要解决几何计算与证明问题,一般过角平分线上的一点作到两边的垂线.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,提分训练5.如图所示,在RtABC中,A=90,BD平分ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是()A.2B.3C.4D.5【解析】过点D作DEBC于点E,A=90,BD平分ABC,AD=DE,在RtABD中,A=90,AB=4,BD=5,由勾股定理得AD=3,DE=3,即点D到BC的距离是3.,B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,6.如图,BP,CP分别是ABC的外角CBD,ECB的平分线.小明经过分析后,得出了以下结论:点P在BAC的平分线上;BP=CP;点P到AD,AE,BC的距离相等.把你认为正确的结论的序号写在横线上.,【解析】过点P作PMAB于点M,PGAC于点G,PNBC于点N,由角平分线的性质得PM=PN=PG,正确;根据角平分线的判定定理知,点P在BAC的平分线上,正确;不成立.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,线段的垂直平分线(8年3考)1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.判定与线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.技巧点拨解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接,利用垂直平分线的性质解题.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,典例4如图,在ABC中,ACB=90,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN分别交AB,AC于点D,E,连接CD,BE,下列结论错误的是()A.AD=CDB.BECDC.BEC=BDCD.BE平分CBD【解析】由题可得,DE是AB的垂直平分线,AE=BE,AD=BD,在RtABC中,D是AB的中点,CD=AD,故A正确;DEAB,在RtADE中,AEAD,BECD,故B正确;BEC是等腰ABE的外角,BEC=2A,BDC是等腰ACD的外角,BDC=2A,BEC=BDC,故C正确;当A=30时,ABE=30=CBE,当A=30时,BE平分ABC,而A不一定为30,BE不一定平分CBD,故D错误.【答案】D,考点扫描,素养提升,考点扫描,素养提升,2.等腰三角形中分类讨论问题典例2已知三角形ABC是等腰三角形.(1)若A=80,求B的度数.(2)当A的度数不同,得到B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设A=x,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.【解析】(1)由于等腰三角形的顶角和底角没有明确,因此要分类讨论;(2)分两种情况:90x180;0x90,结合三角形内角和定理求解即可.【答案】(1)若A为顶角,则B=(180-A)2=50;若A为底角,B为顶角,则B=180-280=20;若A为底角,B为底角,则B=80.故B的度数为50或20或80.,考点扫描,素养提升,(2)分两种情况:当90x180时,A只能为顶角,B的度数只有一个;当0x90时,若A为顶角,即x60时,B有三个不同的度数.综上所述,可知当0xAC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.(3)深入研究:如图,小明在(2)的基础上,又做了进一步的探究.向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN的形状,并给予证明.,考点扫描,素养提升,【解析】(1)利用SAS判断出ACDAEB,得出CD=BE,ADC=ABE,进而判断出BDC+DBH=90,即BHD=90,最后用三角形中位线定理即可得出结论;(2)同(1)的方法即可得出结论;(3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.,考点扫描,素养提升,【答案】(1)连接BE,CD相交于点H,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90,CAD=BAE,ACDAEB(SAS),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,点M,G分别是BD,BC的中点,CD=BE,MG=NG,MGNG.,考点扫描,素养提升,(2)成立.理由:连接CD,BE相交于点H,同(1)的方法得MG=NG,MGNG.(3)连接EB,DC,延长线相交于点H,同(1)的方法得,ABEADC,MG=NG,AEB=ACD,CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE=ACD-45+180-ACD-45=90,DHE=90,同(1)的方法得MGNG.GMN为等腰直角三角形.,命题点1结合勾股定理考查最值(常考)1.(2016安徽第10题)详见专题三典例1命题点2折叠与勾股定理综合(常考)2.如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为(),C,【解析】设BN=x,则AN=DN=9-x,点D是CB的中点,则BD=3,在RtNBD中,DN2=BD2+BN2,(9-x)2=9+x2,解得x=4,即BN=4.,命题点3线段垂直平分线的性质(冷考)3.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若AGD=BGC.(1)求证:AD=BC.,解:(1)GE是AB的垂直平分线,GA=GB.同理GD=GC.在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC,AGDBGC,AD=BC.,
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