2019-2020年高考数学 2.9 函数模型及其应用练习.doc

2019-2020年高考数学 2.9 函数模型及其应用练习 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx中山模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()【解析】选B.由题知运输效率即,即相当于图象上的点(t,Q)与原点连线的斜率,即连线斜率逐步提高.由题知选项A,效率不变,选项C逐步减小,选项D先减小,再增大,选项B为逐步提高,故选B.2.(xx嘉兴模拟)某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(近似抛物线的一段),则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.求得:y=-(x-6)2+11,所以有最大值2,此时x=5.3.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在0的冰箱中,保鲜时间约为100 h,在5的冰箱中,保鲜时间约为80 h,那么在10时保鲜时间约为()A.49 hB.56 hC.64 hD.72 h【解析】选C.由得k=100,a5=,所以当10时,保鲜时间为100a10=100()2=64(h),故选C.4.(xx天津模拟)国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元【思路点拨】设年收入为x,构建分段函数模型求解.【解析】选D.设该公司的年收入为x,纳税额为y,则由题意,得y=依题意有,=(p+0.25)%,解之得x=320(万元).【加固训练】(xx张家界模拟)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低,现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为()A. 2 000元B. 2 400元C. 2 800元D. 3 000元【解析】选B.设经过3个5年,产品价格为y元,则y=8 100(1-)3=2 400.5.图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成,函数S=S(a)(a0)是图形M介于平行线y=0及y=a之间的那一部分面积,则函数S(a)的图象大致是()【解析】选C.依题意,当0a1时,当1a2时,S(a)= +2a;当23时,S(a)= +2+3=,于是S(a)=由解析式可知选C.【一题多解】本题还可以采用如下方法选C.直线y=a在0,1上平移时S(a)的变化量越来越小,故可排除选项A,B.而直线y=a在1,2上平移时S(a)的变化量比在2,3上的变化量大,故可排除选项D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx漳州模拟)有一批材料可以建成200 m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为(围墙厚度不计).【解题提示】根据题目中条件,建立二次函数模型,采用配方法求最高值即可.【解析】设矩形场地的宽度为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当x=25时,S取得最大值2 500,即围成场地的最大面积为2 500 m2.答案:2 500 m27.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游,其中旅行社的包机费为30 000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团中的人数在30或30以下,飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人,则给以优惠,每多1人,机票费每张减少20元,但旅游团的人数最多有75人,那么旅游团的人数为人时,旅行社获得的利润最大.【解析】设旅游团的人数为x人,飞机票为y元,利润为Q元,依题意,当1x30时,y =1 800元,此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000,此时最大值是当x=30时,Qmax=1 80030-30 000=24 000(元);当300且a1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式.(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.【解析】(1)t(0,14时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c0),将(14,81)代入得c=-,t(0,14时,p=f(t)=-(t-12)2+82;t14,40时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=,所以p=f(t)=(2)t(0,14时,由-(t-12)2+8280,解得12-2t12+2,所以t12-2,14,t(14,40时,由log(t-5)+8380,解得52).(2)因为x2,所以225x+=10 800,所以y=225x+ -36010 440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元.(20分钟40分)1.(5分)已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg(nA)来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,则下列判断中正确的个数为()PA1;若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个;假设科学家将B菌个数控制为5万个,则此时5PA5.5.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.当nA=1时PA=0,故错误;若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故错误;设B菌的个数为nB=5104,所以nA=2105,所以PA=lg(nA)=lg 2+5.又因为lg 20.3,所以5PA5.5,故正确.2.(5分)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为()A.2,4B.3,4C.2,5D.3,5【解析】选B.根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-,由得2x6.所以y=BC+2x=+ (2x2)米,由得|AM|=,所以S矩形AMPN=|AN|AM|=.(1)由S矩形AMPN32,得32,又x2,于是3x2-32x+640,解得2x8,即AN长的取值范围为(2, )(8,+).(2)S矩形AMPN=24,当且仅当3(x-2)=,即x=4时,y=取得最小值24.所以当AN=4米时,矩形AMPN的面积最小,最小为24平方米.5.(13分)(能力挑战题)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=,x0,24,其中a是与气象有关的参数,且a0,1,若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a).(1)令t=,x0,24,求t的取值范围.(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?【解析】(1)当x=0时,t=0;当0x24时,1(当x=1时取等号),所以0t1,综上,t的取值范围是0,1.(2)当a0,1时,记g(t)=|t-a|+2a+,则g(t)=因为g(t)在0,a上单调递减,在(a,1上单调递增,且g(0)=3a+,g(1)=a+,g(0)-g(1)=2（a-）.故M(a)=即M(a)=所以当且仅当0a时,M(a)2.故当0a时不超标,当0,即-2n2+40n-720,解得2n18.由nN*知,从第三年开始盈利.(2)方案:年平均纯利润为=40-2（n+）16,当且仅当n=6时等号成立.故方案共获利616+48=144(万元),此时n=6.方案:f(n)=-2(n-10)2+128.当n=10时,f(n)max=128.故方案共获利128+16=144(万元).比较两种方案,获利都是144万元,但由于方案只需6年,而方案需10年,故选择方案更合算.