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专题四利用图形变换添加辅助线,解答平面几何题有难度,多半是添加辅助线带来的.我们平时添加的辅助线大多是作平行线、垂线、连接、延长之类,其实这是表象,而本质是利用图形变换转换解题思路所得.初中阶段常见的图形变换有:图形的平移,图形的对称(轴对称和中心对称),图形的旋转,图形的相似(包括全等、位似)等.我们在解决平面几何问题时,如果已知条件不好直接使用,或结论难以直接达到,可以通过这些图形变换进行“图”移“形”动,使得条件发生转化,从而找到添加辅助线的思路并解答,但直接呈现在我们面前的并不是图形变换,而是作平行线、垂线、连接、延长等.这类试题几乎每年都会多次遇到,如2015年安徽数学中考第14题、第23题,2017年第18题、第23题,2018年第23题等.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,利用平移“添辅”典例1如图,在四边形ABCD中,对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60.求证:AD+BCAC.,【解析】题中的“对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60”等已知条件难以直接运用,可通过平移线段AD和AC,把这些已知条件集中到BDE中去,再解答.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【答案】过点C作AD的平行线,过点D作AC的平行线,二者交于点E,连接BE.即四边形ACED为平行四边形,DE=AC=BD,BDE=BOC=60,即BDE为等边三角形.BD=DE=BE.在BCE中,CE+BCBE,即AD+BCAC.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,利用轴对称“添辅”典例2(2017安徽第10题)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为(),类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【答案】D【名师点拨】像这种利用轴对称性质求两条线段之和的最小值问题是一个固定的模型,有人形象地称为“将军饮马”问题,注意体会并运用这个模型.同时,这样添加辅助线,也是巧妙地解决了结论“求点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值”的问题.就是说,我们进行图形变换,有时也是为了解决难以直接达到结论的问题.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,利用中心对称“添辅”典例3(2014安徽第14题)如图,在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CEAB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上),DCF=BCD;EF=CF;SBEC=2SCEF;DFE=3AEF.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,【解析】充分利用“F是AD的中点”这个条件,作AEF关于F点的中心对称图形DFG,再过点F作AB的平行线,这样即可利用中心对称(或全等三角形)的性质以及三角形中位线定理解答.过点D作DGAB交EF的延长线于点G,过点F作FHAB交BC于点H,交CE于点O.易得C,D,G在同一条直线上,AEFDGF.AD=2AB,F是AD的中点,H是BC的中点,DF=CH=CD.DFCH,四边形CDFH是菱形,CF平分BCD,故DCF=BCD成立;ABCG,ECG=90,在RtECG中,CF是EG的中线,CF=EF=FG,故EF=CF成立;SCEF=SCGF=SCDF+SDFG=SCDF+SAEF,2SCEF=SCDF+SAEF+SCEF=S梯形AECD,显然SBECCD),点E,F分别是AB,CD的中点,若A+B=90,则下列结论成立的是()A.AB+CD=3EFB.AB+CD=4EFC.AB-CD=EFD.AB-CD=2EF【解析】过点F分别作FGAD交AB于点G,作FHBC交AB于点H,易得AB-CD=GH=2EF.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=5,AE=4,BAD=BCD=90,AEBC于点E,则BE的长为(),C,【解析】将图中的ABE绕点A逆时针旋转90,得到ADE,易得ABEADE,E=AEB=90,ADE=B,EAD=BAE,BAD=BCD=90,B+ADC=180,ADE+ADC=180,即C,D,E三点在同一条直线上,AEC=C=E=90,AE=AE,四边形AECE为正方形,AE=EC=4,BE=1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,B,【解析】过点E作EGBC,交CA的延长线于点G,ED=EC,EDC=ECD,即B+BED=ACB+ACE,AB=AC,B=ACB,BED=ACE,EGBC,G=ACB=B,在BED和GCE中,BED=ACE,G=B,EC=ED,BEDGCE,EG=BD=CD,GEFCDF,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(2018天津)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF【解析】过点E作关于BD的对称点E,连接AE,交BD于点P,PA+PE的最小值为AE.E为AD的中点,E为CD的中点,四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,ABF=ADE=90,DE=BF,ABFADE,AE=AF=AP+EP.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.如图,在ABC中,AB=5,AC=3,D为BC的中点,则AD的取值范围是.,1AD4,【解析】过B点作BAAC交AD的延长线于点A,易得ACDABD.AD=AD,AA=2AD.2AA8,1AD4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如图,在RtABC中,D为斜边AB上一点,AD=2,BD=1,四边形DECF是正方形,设ADE和BDF的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为.,1,【解析】将BDF绕点D逆时针旋转90,得DEF,易得DEFDFB,S1+S2=SADF,DF=BD=1,SADF=ADDF=1,S1+S2=1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,E为AC的中点,DAAB,交BE的延长线于点D,F为AB上一点,ACF=CBE,CF交BD于O点.给出以下结论:AD=AF;CF=2DE;OBCF;SOBC=SOFB.其中正确的是(把所有正确结论的序号都填在横线上),【解析】易得OBCF,即成立;由E为AC的中点,得FBECBE,则OCOF,即SOBCSOFB,不成立;过点C作CHAB于点H,交BD于G点,由题意知ADECGE,ACFCBG,AF=CG=AD,即成立;BG=DG=2DE,CF=2DE,即成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.如图,在ABCD中,E为CD的中点,F,G分别是AE,BE的中点.求证:FD+CG=(AE+BE).,证明:如图,平移线段AD至CM,连接EM.易得A,E,M三点在同一条直线上.易得ADEMCE,AE=ME,CM=AD.AD=BC,BC=CM,BG=GE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.如图,小河的两岸ABCD,两岸有两个村庄P,Q,P到河岸AB的距离为2千米,Q到河岸CD的距离也为2千米,AB与CD的距离为4千米,两村庄之间的距离PQ=10千米.现准备在河上修一座长为4千米的桥MN,并在河的两岸修筑公路PM,QN,求PM+MN+QN的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:如图,过点Q作CD的平行线,过点P作CD的垂线,两线相交于E点,在PE上截取PF=4千米,连接QF与CD交于点N,过点N作NMAB于点M,连接PM,易得四边形MNFP为平行四边形,PM+QN=FQ,这时PM+QN的值最小,亦即PM+MN+QN的值最小.在RtPQE中,PQ=10,PE=8,QE=6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.如图,在ABC中,AB=AC,P是AC的中点,C是BD的中点,连接BP,PD,CPD=A.求证:PD=AB.,证明:作ABC关于点C的对称图形EDC,即CDECBA,E=A,DE=AB,CPD=A,E=CPD,PD=DE,即PD=AB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.(2018合肥包河区一模节选)如图,在ABC中,ACB=90,BAC=60,AC=1,P为ABC所在平面内一点,分别连接PA,PB,PC.(1)已知APB=BPC=APC,以点A为旋转中心,将APB顺时针旋转60,得到AMN.请画出图形,并证明C,P,M,N四点在同一条直线上;(2)求PA+PB+PC的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:(1)画图(如图所示).证明:易得APBAMN,APM为等边三角形,APM=60,APB=BPC=APC,APB=BPC=APC=120,APM+APC=60+120=180,AMP+AMN=180,C,P,M,N四点在同一条直线上.(2)连接BN,易得ABN为等边三角形,ABN=60,易得ABC=30,CBN=90,
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