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,题型4实际应用问题,类型函数实际应用问题,例12018衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度,规范解答：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为ya(x3)25(a0)，(2分)将(8，0)代入ya(x3)25，得25a50，解得a，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y(x3)25(0x8)(8分),(2)当y1.8时，(x3)251.8，解得x11(舍去)，x27，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内(10分),(3)当x0时，y(x3)25.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为yx2bx.(12分)该函数图象过点(16，0)，016216b，解得b3，改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为yx23x(x)2.扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米(15分),满分技法(1)二次函数的实际应用问题大致有这么几类：一、面积类，运用面积公式表示关系式；二、销售利润类，利用总利润单位利润数量这个公式表示关系式；三、求实际问题中的二次函数解析式类，合理建立坐标系可以使得问题简单；四、与一次函数图象结合类等，根据函数图象提供的信息建立关式(2)实际问题必须考虑自变量的取值是否满足实际要求,【满分必练】,12018淮安某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为_件；(2)当每件的销售价x(元)为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大？并求出最大利润,解：(1)180.,(2)y(x40)20010(x50)(x40)(70010 x)10 x21100 x28000.100，当x55时，y有最大值，y最大值为2250.答：当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元,22018滨州如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y5x220 x，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？,解：(1)当y15时，5x220 x15，化简，得x24x30，即(x1)(x3)0，故x1或3，即当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1秒或者3秒,(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，所以有05x220 x，解得x0或4，所以，从飞出到落地所用时间是4秒,(3)y5x220 x5(x2)220，当x2时，y取得最大值，此时y20，所以当x2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米,32017福建如图，一个矩形菜园ABCD，一边AD靠墙(墙MN长为a米，MNAD)，另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成(1)当前a20米时，矩形ABCD的面积为450平方米，求AD长；(2)求矩形ABCD面积的最大值,解：(1)设ADx米，则BCx米，ABCD(100x)(50x)米，依题意，有x(50x)450，整理，得x2100 x9000，解得x90或x10.MNa20，MNAD，x9020不合题意，舍去，x10，即AD长为10米,(2)设ADy，则ABCD(50y)米，满足解得0y100.设矩形ABCD的面积为S，则Sy(50y)y250y(y50)21250，若a50，则当y50时，S最大1250；若当0a50，则当0ya时，S随y的增大而增大，故当ya时，S最大50aa2.综上所述，当a50时，矩形菜园ACBD的面积的最大值是1250平方米当0a50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是(50aa2)平方米,42018黔西南州某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益售价成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？,解：(1)当x6时，y13，y21，y1y2312，6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元,(2)设y1mxn，y2a(x6)21.将(3，5)，(6，3)代入y1mxn，得解得y1x7.将(3，4)代入y2a(x6)21，4a(36)21，解得a，y2(x6)21x24x13.y1y2x7(x24x13)x2x6(x5)2.0，当x5时，y1y2取最大值，最大值为，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大,(3)当x4时，y1y2x2x62.设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为(t2)万千克，根据题意，得2t(t2)22，解得t4，t26.答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克,类型方程、不等式与函数实际应用问题,例22018青岛某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品公司按订单生产(产量销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式yx26.(1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式；(2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元,(2)该产品第一年的利润为20万元，x232x23620，(x16)20，x1x216.答：该产品第一年的售价是16元(8分),规范解答：(1)根据题意，得W1xy6y80(x26)x6(x26)80x226x6x15680，故W1x232x236.(5分),(3)依题意，得W2yx5y20(x26)x5(x26)20，W2x231x150.公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，x16.另外受产能限制，销售量无法超过12万件，x2612，解得x14，W2x231x150(14x16)(10分)10，对称轴为x，x14时，W2有最小值为88万元答：利润最少为88万元(12分),满分技法(1)方程、不等式与函数实际应用问题需要掌握以下几个类型的问题：一、一次函数与方程或不等式的综合应用，这类属于高频命题形式，考查内容可以涉及多个，如一次函数图象信息题，一次函数方案选择类型问题等，结合二元一次方程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式；二、二次函数与方程或不等式的综合应用，包括销售利润类，与一次函数结合等类型(2)命题中常常以方程或方程组，根据已知条件确定某个量，利用不等式或不等式组确定变量的取值范围，再根据函数的性质解答问题(3)利用表格、图例、函数图象等手段，利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础，关于运用转化为方程、不等式或函数模型是解决问题的关键，把握数量间的内在联系，从整体着眼探索方法，从细微处思考争满分,【满分必练】,52018南通小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：,根据以上信息解答下列问题：(1)求A，B两种商品的单价；(2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由,分析：(1)根据表格中的信息可以知道，购买2件A的费用购买1件B的费用55元，购买1件A的费用购买3件B的费用65元，根据这两个等量关系可以列二元一次方程组解决；(2)要解决购买商品的最省钱的购买方案，可考虑利用函数的增减性求总费用的最小值在求函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围,(2)设第三次购买A种商品m件，购买商品的总费用W元，则购买B种商品(12m)件W20m15(12m)5m180.由题意，知m2(12m)，m8.W随m的增大而增大，当m8时，W有最小值，此时12m4.最省钱的购买方案是购买A种商品8件，B种商品4件,解：(1)设A，B两种商品的单价分别为x元，y元根据题意，得解得答：A，B两种商品的单价分别为20元，15元,62018河南某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：(注：日销售利润日销售量(销售单价成本单价),(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值；(2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是_元，当销售单价x_元时，日销售利润w最大，最大值是_元；(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系，若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？,(2)80；100；2000.,(3)设该产品的成本单价为a元，由题意，得(590600)(90a)3750，解得a65.答：该产品的成本单价应不超过65元,解：(1)设y关于x的函数解析式为ykxb，由题意，得解得y关于x的函数解析式为y5x600.当x115时，m511560025.,72018眉山传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：,(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？(2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润出厂价成本),解：(1)634204(只)，前六天中第6天生产的粽子最多达到204只，20 x80280，解得x10.答：第10天生产的粽子数量为280只,
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