2019年高三数学一轮复习 4.3平面向量的数量积精品试题.doc

2019年高三数学一轮复习 4.3平面向量的数量积精品试题一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx大连模拟)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a-b=(3,18),则向量a,b夹角的余弦值等于()A.B.-C.D.-【解析】选D.b=2a-(3,18)=(8,6)-(3,18)=(5,-12),设a,b的夹角为,则cos=-.2.已知下列结论:(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2;(ab)2=a2b2;若ab,则ab=|a|b|;若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则ab.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设a与b的夹角为,对于,结论显然正确;对于,(ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2,所以不正确;对于,当a,b同向时有ab=|a|b|;当a,b反向时有ab=-|a|b|,故不正确;对于,由|a+b|=|a-b|,得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,所以ab,故正确.3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则“m=1”是“(a-mb)a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当m=1时,(a-b)a=a2-ab=1-12cos60=0,故(a-b)a;反之当(a-mb)a时,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos60)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)a”的充要条件.4.(xx温州模拟)在ABC中,C=90,且AC=BC=3,点M满足=2,则等于()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.方法一:如图,以C为原点,CA,CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x0,y0),因为=2,所以所以所以=(2,1)(0,3)=3,故选B.方法二:因为=2,所以=,所以=(+)=|+=9+33=3.5.(xx宝鸡模拟)已知向量a=(cos,sin),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()A.4,0B.4,4C.16,0D.4,0【解析】选C.根据题意,由于向量a=(cos,sin),向量b=(,-1),那么可知|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+4-4(cos-sin)=8-8sin,所以最小值为0,最大值为16,故答案为C.【加固训练】已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么的最小值为()A.-4+B.-3+C.-4+2D.-3+2【解析】选D.设APB=2,|=x,则=|cos2=|2cos2=(|2-1)(1-2sin2)=(x2-1)=x2-2-1+-3+2,当且仅当x2=,即x=时取等号.6.已知非零向量与满足=0且=,则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【思路点拨】注意,是单位向量,利用向量加法的平行四边形法则及平面向量的数量积变形计算,由所得结果进行判断.【解析】选A.因为=cosBAC=,所以BAC=60,又+与以BAC为顶角的菱形的一条对角线共线,即是BAC的平分线,由题意,得BAC的平分线与BC边垂直,所以AB=AC,故ABC为等边三角形.【加固训练】(xx景德镇模拟)在ABC中,若|+|=|,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不能确定【解析】选B.根据向量加法的平行四边形法则可知|+|等于AC边上的中线的二倍,所以由|+|=|知AC边的中线长等于AC长度的一半,所以ABC为直角三角形.7.(xx青岛模拟)在直角坐标平面内,已知向量=(1,0),=(0,1),A为动点,|=,则与夹角的最小值为()A.B.C.D.【解析】选C.|=,所以A点在以C(0,1)为圆心,以为半径的圆上,如图OA与圆C相切时,AOB最小,易得AOC=,所以AOB=,故选C.【误区警示】解答本题易误选A,出错的原因有二,一是不能利用|=确定A点的轨迹,使解题思路受阻,而猜A;二是误把AOC的大小当作与的夹角.8.(能力挑战题)已知平面内的向量,满足:|=|=2,与的夹角为,又=1+2,011,122,则点P的集合所表示的图形的面积是()A.8B.4C.2D.1【思路点拨】建立平面直角坐标系,转化为坐标运算,求点P的坐标满足的不等式组,画出其表示的平面区域,然后求其面积.【解析】选B.如图,以O为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),设P(x,y),则由=1+2,得(x,y)=1(2,0)+2(0,2)=(21,22),即又因为所以所以点P的集合为(x,y)|0x2,2y4,它表示正方形区域(如图中阴影部分所示),所以点P的集合所表示的图形的面积为22=4.【加固训练】已知O是ABC内部一点,+= 0,=2,且BAC=30,则AOB的面积为()A.2B.1C.D.【解析】选D.由+=0,得O为ABC的重心,SAOB=SABC.又=|cos30=2,得|=4,SABC=|sin30=1.故SAOB=.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(xx绍兴模拟)已知两个非零向量a与b,定义|ab|=|a|b|sin,其中为a与b的夹角.若a=(-3,4),b=(0,2),则|ab|的值为.【解析】|a|=5,|b|=2,ab=-30+42=8,所以cos=,又因为0,所以sin=,故根据定义可知|ab|=|a|b|sin=52=6.答案:610.(xx山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2),若ABO=90,则实数t的值为.【解析】=-=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t),因为ABO=90,所以,所以=0,32+2(2-t)=0,所以t=5.答案:511.(xx济宁模拟)已知|a|=|b|=2,a与b的夹角为60,则a+b在a上的投影为.【解析】(a+b)a=a2+ba=4+|b|a|cos60=6.令两向量(a+b),a的夹角为,则由(a+b)a=|a+b|a|cos,得|a+b|cos=3,则a+b在a上的投影为3.答案:312.如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)的最小值为.【思路点拨】注意+=2,而与共线反向,且|=2,引入参数用表示,利用平面向量的数量积公式转化为函数的最值.【解析】设=,则=(1-),由O为AB的中点可得+=2=-2.所以(+)=-2=-2(1-)=-2(1-)|2=-8(1-)=8.故当=时,(+)取得最小值,最小值为8=-2.答案:-2三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知两个不共线的向量a,b,它们的夹角为,且|a|=3,|b|=1,x为正实数.(1)若a+2b与a-4b垂直,求tan.(2)若=,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并判断此时向量a与xa-b是否垂直?【解析】(1)由题意,得(a+2b)(a-4b)=0,即a2-2ab-8b2=0,得32-231cos-812=0,得cos=,又(0,),所以sin=,所以tan=.(2)|xa-b|=,故当x=时,|xa-b|取得最小值为.此时a(xa-b)=xa2-ab=9-31cos=0,故向量a与xa-b垂直.14.(xx郑州模拟)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),其中0.(1)求证:a+b与a-b互相垂直.(2)若ka+b与ka-b(k0)的长度相等,求-.【解析】(1)因为(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=()2-()2=1-1=0.所以a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),ka-b=(kcos-cos,ksin-sin),所以|ka+b|=,|ka-b|=,因为|ka+b|=|ka-b|,所以k2+2kcos(-)+1=k2-2kcos(-)+1,有2kcos(-)=-2kcos(-),因为k0,故cos(-)=0,又因为0,0-1时,cos-=-,由于-,故cos-;当x-,故cos-,所以cos=-,解得=.【一题多解】本题(2)还可有如下解法:令a与b的夹角为,由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,因为|a|=,|b|=1,所以x2+2xcos-2cos-10,对一切实数x恒成立,所以=8cos2+8cos+40,即(cos+1)20,故cos=-,因为0,所以=.