CAD技术基础第二章图形变换.ppt

1,第二章图形变换,图形变换是计算机图形学基础内容之一。,华中科技大学华铸CAE中心name：廖敦明email：liaodunming地址：模具国家重点实验室409电话：87558145,2,主要内容（6学时）,一、变换的数学基础(参见孙家广的书P358)二、二维几何变换三、三维几何变换四、二维观察变换五、三维观察变换,请参考伏玉琛周洞汝主编计算机图形学-原理方法与应用华中科技大学出版社，伏玉琛周洞汝主编第7、8、10、11章,3,图形变换的特点线性变换，属性不变，拓扑关系不变。图形变换的作用1.把用户坐标系与设备坐标系联系起来；2.可由简单图形生成复杂图形；3.可用二维图形表示三维形体；4.动态显示。,4,一、矢量（Vector）、矩阵（Matrix）及运算1.矢量的含义矢量：是由n个实数组成的集合。如：二维矢量(x,y)，三维矢量(x,y,z),(x,y),一、变换的数学基础,5,2.矢量运算,假定：V1(x1,y1,z1),V2(x2,y2,z2)为两个矢量，则有：矢量和V1+V2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)矢量点积V1V2=x1*x2+y1*y2+z1*z2矢量叉积V1V2=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)矢量长度|V1|=(V1V1)1/2=(x1*x1+y1*y1+z1*z1)1/2,6,3.矩阵的含义矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个整体，简称mn矩阵。,A=,其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素,7,4.矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=k*aij|i=1.m,j=1,n=,8,乘法设A为32矩阵，B为23矩阵C=AB=C=Cmp=AmnBnpcij=aik*bkj,k=1,n,9,单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作InAmn=AmnIn,10,逆矩阵若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(AB)T=BTAT当A为n阶矩阵，且A=AT，则A是对称矩阵。,11,5.矩阵运算的基本性质交换律与结合律A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律a(A+B)=aA+aB;a(AB)=(aA)B=A(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A,12,矩阵乘法的结合律及分配律A(BC)=(AB)C(A+B)C=AC+BCC(A+B)=CA+CB矩阵的乘法不适合交换律AB/=B.A,13,1.平移变换(translation)从点Px,y平移到点Px,yx=x+my=y+n,二、二维几何变换,14,2旋转变换,(x,y),(x,y),一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。,15,3比例变换,P(x,y),P(x,y),x=x*sxy=y*sy,Sx=Sy：均匀缩放。Sx=Sy1，放大Sx=Sy1,沿三个轴向等比例缩小当0s1,沿三个轴向等比例放大（轴向比例变换与全比例变换的关系）,32,对称变换在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。,33,对称于XOY平面xyz1=xy-z1=xyz1对称于YOZ平面xyz1=-xyz1=xyz1对称于XOZ平面xyz1=x-yz1=xyz1,34,那么，分别对称于X、Y、Z轴和坐标原点的变换矩阵是什么？,35,旋转变换绕X轴变换空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。x=xy=cos(+)=ycos-zsinz=sin(+)=ysin+zcos,X,Y,Z,(y,z),(y,z),Y,Z,O,O,(y,z),(y,z),注意：旋转变换与参考点有关,36,矩阵表示为：,37,绕Y轴旋转此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x=sin(+)=xcos+zsiny=yz=cos(+)=zcos-xsin,X,Y,Z,(x,z),(x,z),X,Z,O,O,38,矩阵表示为,39,绕Z轴旋转此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。x=cos(+)=xcosysiny=sin(+)=xsin+ycosz=z,X,Y,Z,(x,y),(xy),X,Y,O,O,40,矩阵表示为：,41,组合变换空间一点绕空间任一轴线的旋转变换。要通过将几个基本的变换组合在一起，得到该组合变换。假定空间任一直线的方向矢量分别为：(l,m,n)并经过原点,42,能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？ON绕Z轴旋转2到XOZ平面上，然后再绕Y轴旋转1，即可与Z轴重合。,O,N,2,1,X,Y,Z,43,这样，可得空间上任一点绕ON轴旋转的变换过程如下：1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合；2）然后使点绕Z轴旋转角；3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回到原来的位置。假设，绕Z轴的旋转-2矩阵为T1绕Y轴的旋转-1矩阵为T2绕Z轴的旋转矩阵为T3绕Y轴的旋转1矩阵为T4绕Z轴的旋转2矩阵为T5,44,则总体变换矩阵为：T=T1T2T3T4T5由上推导可看出，只要能求出1、2的值，即可通过上式获得绕ON轴的变换矩阵。由于矢量（001）绕Y轴旋转1，再绕Z轴旋转2即可与ON轴重合。即：,45,lmn1=sin1cos2sin1sin2cos11l=sin1cos2m=sin1sin2n=cos1从而通过上式即可得到1、2的值。,46,cos1=nsin1=sqrt(l2+m2)cos2=l/sqrt(l2+m2)sin2=m/sqrt(l2+m2),47,问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如何计算变换矩阵？,48,四、二维观察变换,观察流程观察参考坐标系窗口到视区的坐标变换裁剪操作点的裁剪线段的裁剪,49,二维观察流程,建模变换,观察变换,视见变换,工作站变换,MC,WC,VC,NDC,DC,MC-建模坐标系(ModelingCoordinateSystem)WC-世界坐标系(WorldCoordinateSystem)用户坐标系VC-观察坐标系(ViewingCoordinateSystem)NDC-规范化设备坐标系(NormalizeddeviceCoordinateSystem)DC-设备世界坐标系(DeviceCoordinateSystem),50,观察参考坐标系,XY-UV观察坐标系原点P0，观察矢量VMwc,vc=T.RT-将观察坐标系原点移动到世界坐标系原点R-将观察坐标系转动到与世界坐标系重合,51,窗口观察坐标系(或世界坐标系)中要显示的矩形区域视区窗口映射到规范化设备坐标系的矩形区域视见变换从窗口映射到视区工作站变换从规范化设备坐标系到设备坐标系,52,Window,Viewport,Window-ViewportTransformation,观察坐标系,规范化设备坐标系,0,1,1,X,Y,V,U,53,窗口的位置及大小：左下角点为Wc(wx,wy),长为WL，高为WH；视区的位置及大小：左下角点Vc(vx,vy),长为VL，高为VH。,窗口到视区的坐标变换,54,可得如下坐标间关系式：,Wc(Wx,Wy),Vc(Vx,Vy),WL,WH,VL,VH,窗口,视区,55,当a!=c时，即x方向的图形变化与y方向不同时，视图区中的图形会发生伸缩变化。注意：当有多窗口、多视区时，要正确选用对应的窗口和视区。,W1,W2,V1,V2,56,二维裁剪,就是在一个图形的整体中，把窗口的内部分和窗口外部分正确地分离开来。边界：矩形边界多边形边界圆和曲线边界裁剪对象：点，线，区域，曲线，文字,57,58,点的裁剪,P(x,y)W(xmin,xmax,ymin,ymax)if(xmin=x=xmax)and(yminu1,则直线位于窗口外,t0,t1,t2,t3,0,1,68,始边和终边的确定及交点计算令QL=-xDL=x0-xLQR=xDR=xR-x0QB=-yDB=y0-yBQT=yDT=yT-y0交点为ti=Di/Qii=L,R,B,TQi0ti为与终边交点参数Qi=0Di0时,分析另一D,如QL=QR=0且DL=0,DR=0时不必求ti(因为在垂直方向无交点,与XL、XR无交点),(AB),(CD),C,D,A,B,t0,t1,t2,t3,0,1,69,五、三维观察变换,三维观察流程观察坐标系投影变换一般情况下三维视图的计算,70,三维观察流程,模型坐标模型变换世界坐标观察变换观察坐标投影变换投影坐标工作站变换设备坐标,3D,2D,71,照相的过程,72,观察坐标系的建立,指定观察参考点P该点是观察坐标系的原点。可以位于物体的附近，也可以位于物体的内部。,73,74,指定观察方向N是观察坐标系Z轴的正方向，也是观察平面的法向。两种方法:1.直接指定一个世界坐标系的向量2.定义一个观察点，以这个观察点和观察坐标原点的连线为观察方向。,75,指定一个观察向上（view-up）向量V观察坐标系Y轴的方向,76,观察平面,物体投影到观察平面上形成二维场景视图观察平面平行于XvYv平面位置由它到观察坐标原点的距离确定。,77,观察变换,观察坐标系右手坐标系左手坐标系,观察坐标系的作用：1、指定裁剪空间，显示输出范围2、定义观察平面（投影平面），3DWC转换NDC,78,变换顺序,平移观察参考点到世界坐标系原点旋转，使观察坐标系的Xv，Yv，Zv轴和世界坐标系的X，Y，Z轴重合,79,旋转矩阵的直接算法,使用观察坐标系的单位向量给定向量N和V，计算出各轴的单位向量,80,旋转矩阵,81,投影变换,把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。从投影中心引到三维物体上每一点的射线与投影平面的交点，称为物体的投影,A,B,A,B,B,A,A,B,A,B,A,B,透视投影正平行投影斜平行投影垂直不垂直,82,投影变换的种类,A,B,A,B,B,A,A,B,83,平行投影：投影中心与投影面间距离为无穷远；正平行投影：投影方向和投影面垂直。三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。正轴侧：投影面和坐标轴呈一定的关系。斜平行投影：投影方向和投影面不垂直。透视投影：投影中心与投影面间距离为有限；,A,B,A,B,B,A,A,B,A,B,A,B,透视投影正平行投影斜平行投影垂直不垂直,84,正平行投影（三视图）工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三个互相垂直的投影面作正投影得到的。这三个投影面分别称为：正投影面V（ZOX)，侧投影面W（YOZ），水平投影面H（XOY）。,V,W,H,V,W,H,X,Y,Z,dz,dx,Z,X,Y,Y,85,正投影视图正投影是将立体向V面投影得到的，投影结果为：x=x;y=0;z=z为将点(xyz)变换为(xyz)，只需将点(xyz)作如下变换即可：,86,侧投影视图先将立体向W面作正投影（X坐标取为0）；然后绕Z轴旋转90，使与V面处与同一平面；最后使图形沿X轴负向平移一个距离dx,使正投影和侧投影保持一个距离。,87,水平投影视图先将立体向H面作正投影，此时Z坐标取0；然后使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面；最后让图形沿Z轴平移dz的值，使水平投影与正投影拉开一定距离。,88,正轴测投影轴测图是一种简单的立体图形，能给人一种直观的立体形状。由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可产生立体效果。经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。,89,正三轴测：沿三个轴线的变形系数不同；正二轴测：沿二个轴线的变形系数相同；正轴测：沿三个轴线具有相同的变形系数。正轴测投影变换矩阵的一般形式：,90,下面主要讨论正二测和正轴测的投影变换矩阵，即确定变换矩阵中的角和角。如何度量沿三个轴线方向的变形系数呢？X轴上的单位矢量1001变换后为：xyz1=1001T=cos0-sinsin1Y轴上的单位矢量0101变换后为：xyz1=1001T=-sin0-cossin1Z轴上的单位矢量0011变换后为：xyz1=0011T=00cos1,91,则三个方向的变形系数分别为：按照正二轴测投影变换的定义有：p=r假定Y轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2；即取Y轴的变形系数恒为1/2：可得：=20。42,=19。28。,92,正等轴测变换：按照正等测投影变换的定义有：p=q=r,93,将和值代入T即可得两种轴测变换的矩阵。,正轴测图的变换矩阵,正二轴测图的变换矩阵,自己推导。,94,透视投影将投影面置于投影中心与投影对象之间的一种投影变换。人眼看物体。,95,假设投影中心在坐标原点，投影面在与Z轴垂直，在Zd的位置上。点P(x,y,z)在投影面上的投影点为P(xp,yp,d)。则xp，yp的值可以计算。由三角形的相似可得到：,96,令H=z/d，则P点的齐次坐标为(x,y,z,z/d)。,变换矩阵为：,97,透视变换的性质:离视点越远的物体，投影越小。一束平行于投影面的平行线的投影可保持平行，而不平行于投影面的平行线的投影汇聚到一个点，这个点称为灭点。透视投影的灭点有无限多个，不同方向的平行线在投影面上就能形成不同的灭点。坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点又称为主灭点。,98,观察窗口,定义在投影平面上一个矩形区域,99,观察体,观察窗口，投影参考点和投影类型共同定义了一个观察体，观察体外的物体被裁剪掉观察体的大小依赖于观察窗口的大小观察体的形状依赖于选择的投影类型前后有限的,100,平行投影的观察体,101,透视投影的观察体,