材料力学全套ppt课件

材料力学,1,总成绩考试成绩(70-80)平时成绩（作业、课堂提问、小测）,2,第一章绪论,A4复印纸在自重作用下产生明显变形,折叠后变形明显减小,3,自行车的主要受力部件均由薄壁钢管制成,4,5,6,1.研究对象,变形固体,1-1材料力学的任务与研究对象,7,2.研究内容,1)强度,抵抗破坏的能力。,破坏：,明显的塑性变形,断裂,8,3)稳定性,保持稳定的平衡状态的能力。,2)刚度,抵抗变形的能力。,明显的弹性变形,9,小问题：,A强度不足B刚度不足C稳定性不足,A强度不足B刚度不足C稳定性不足,10,工程构件的强度、刚度和稳定问题,11,工程构件的强度、刚度和稳定问题,强度问题,40人死亡；14人受伤；直接经济损失631万元。,1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹桥发生垮塌，造成：,法庭以外的问题力学素质的重要性从简单力学问题到高等力学问题。,12,工程构件的强度、刚度和稳定问题,强度问题,13,工程构件的强度、刚度和稳定问题,稳定问题,14,工程构件的强度、刚度和稳定问题,稳定问题,15,工程构件的强度、刚度和稳定问题,16,工程构件的强度、刚度和稳定问题,强度不因发生断裂或塑性变形而失效；刚度不因发生过大的弹性变形而失效；稳定性不因发生因平衡形式的突然转变而失效。,17,折断,轴,齿轮,轴,齿轮,材料力学,18,虽然不折断，但变形过大，影响正常传动。,材料力学,19,失去原来的直线平衡状态,材料力学,20,材料力学就是在满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。,材料力学,21,1）与理论力学的关系,理论力学研究刚体的外部效应（构件受到的外力）,本门课程的特点与地位,22,如何设计车轮轴的横截面?,如何简化出火车车轮轴的计算模型?,23,4）本门课程的地位,是土木、机械和力学等专业的技术基础课；,2）材料力学的特点：逻辑性强、概念丰富,3）学习方法：吃透概念、加强练习,24,1.连续性假设,3.各向同性假设,4.小变形问题,1-2材料力学的基本假设,材料是连续分布的。,材料在各个方向的力学性能相同。,1）材料力学要研究变形、计算变形，变形与构件的原始尺寸相比很小。,2）受力分析按照构件的原始尺寸计算。,2.均匀性假设,材料是均匀分布的。,25,26,杆件变形的基本形式,1.轴向拉伸或压缩,2.剪切,27,3.扭转,4.弯曲,28,一、外力及其分类：,1、按作用方式分：体积力和表面力表面力又可分为：分布力与集中力,2、按荷载随时间变化分：静载荷与动载荷,(构件取分离体后，可以显示其受力情况。),材料力学,1-3外力与内力,29,1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著。,2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。,材料在静、动载荷作用下的性能颇不相同，分析方法有差异。,30,二、内力和截面法：,内力：构件因受力作用而变形，其内部各,部分（各点）之间因相对位置改变而,引起的相互作用力。,1.,材料力学,31,在截面上，连续分布,向截面上某点C简化,可,（连续性决定的）,得一个力和一个力偶或单独,一个力或单独一个力偶。,材料力学,32,2、求截面上内力的方法截面法,切,去,加,平,（求连续分布内力的合力、合力偶）,材料力学,33,例1求mm、nn截面上的内力。,材料力学,34,P,x,m,m,FN1,FN1-P=0,FN1=P,n,n,P,x,FN2,FN2-P=0,FN2=P,材料力学,35,1-4应力,应力的概念,拉压杆的强度,轴力,横截面尺寸,材料的强度,即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律直接相关的。,杆件截面上的分布内力的集度，称为应力。,36,M点平均应力,总应力,M,DA,M,37,总应力p,法向分量,引起长度改变,正应力:,切向分量，引起角度改变,切应力:,正应力：拉为正，压为负,s,t,38,内力与应力间的关系,DFN,DFS,39,应力单位,40,1）单向应力状态：,单向应力、纯剪切与切应力互等定理,2)纯剪切应力状态：,3)切应力互等定理,41,1-5应变,线应变与切应变:,材料力学,42,如平行于X的MN：,变形前,变形后,MN段在X方向,M点沿X方,M点在XY平,上平均线应变,向的线应变,面内的切应变,材料力学,43,例2求如图所示ab的平均线应变和ab、ad的夹角变化。,材料力学,44,1-6胡克定律,胡克定律：,剪切胡克定律：,G称为切变模量,单位:,E称为弹性模量,单位:,45,第二章轴向拉压应力与材料的力学性质,46,2-1轴向拉伸和压缩的概念,此类受轴向外力作用或合力作用线沿杆轴线的等截面直杆称为拉杆或压杆。,受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。,变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。,47,48,求内力的一般方法截面法,（1）截开；,（2）代替；,（3）平衡。,步骤：,(c),2-2轴力与轴力图,49,可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。,50,引起伸长变形的轴力为正拉力（背离截面）；引起压缩变形的轴力为负压力（指向截面）。,轴力的符号规定:,51,(a),52,若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。,FN图,FN图,53,用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。,注意：,54,FN=F,FN=0,n,n,B,(f),A,F,55,例试作图示杆的轴力图。,求支反力,解：,A,B,C,D,E,20kN,40kN,55kN,25kN,600,300,500,400,1800,56,注意假设轴力为拉力,横截面1-1：,横截面2-2：,57,此时取截面3-3右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。,横截面3-3：,同理,58,由轴力图可看出,20,10,5,FN图(kN),50,59,无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律,已知静力学条件,2-3拉压杆的应力与圣维南原理,、拉（压）杆横截面上的应力,60,但荷载不仅在杆内引起应力，还要引起杆件的变形。,可以从观察杆件的表面变形出发，来分析内力的分布规律。,61,等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。,现象,平面假设,62,亦即横截面上各点处的正应力都相等。,推论：,1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。,2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。,63,等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式,即,64,适用条件：,上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平面假设不成立的某些特定截面,原则上不宜用上式计算横截面上的正应力。,实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。,65,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。,、圣维南原理,66,例试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。,解：段柱横截面上的正应力,（压）,150kN,50kN,67,段柱横截面上的正应力,（压应力）,最大工作应力为,68,、拉（压）杆斜截面上的应力,由静力平衡得斜截面上的内力：,69,变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。,推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。,即斜截面上各点处总应力相等。,70,s0为拉(压)杆横截面上()的正应力。,71,总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：,方位角符号规定：x轴逆时针转向截面外法线,为正；切应力的符号规定:将截面外法线沿顺时针转90,与该方向同向的切应力为正。,72,通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，成为该点处的应力状态。,对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。,73,讨论：,（1）,（2）,（横截面）,（纵截面）,（纵截面）,（横截面）,74,2-4材料在拉伸和压缩时的力学性能,力学性能,材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。,力学性能取决于,内部结构,外部环境,由试验方式获得,本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩）变形条件下的力学性能。,75,一、材料的拉伸和压缩试验,拉伸试样,圆截面试样：,或,矩形截面试样：,或,76,试验设备：,1、万能试验机：用来强迫试样变形并测定试样的抗力,2、变形仪：用来将试样的微小变形放大到试验所需精度范围内,77,拉伸图,四个阶段：,线性（弹性）阶段,屈服阶段,硬化（强化）阶段,缩颈（局部变形）阶段,二、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能,78,为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力应变曲线图。,图中：,A原始横截面面积名义应力,l原始标距名义应变,79,拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：,、线性（弹性）阶段OB,此阶段试件变形完全是弹性的，且与成线性关系,E线段OA的斜率,比例极限p对应点A,弹性极限e对应点B,80,、屈服阶段,此阶段应变显著增加，但应力基本不变屈服现象。,产生的变形主要是塑性的。,抛光的试件表面上可见大约与轴线成45的滑移线。,屈服极限对应点D（屈服低限）,81,、硬化（强化）阶段,此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。,强度极限b对应点G(拉伸强度)，最大应力,此阶段如要增加应变，必须增大应力,材料的强化（应变硬化）,82,强化阶段的卸载及再加载规律,若在强化阶段卸载，则卸载过程s-e关系为直线。,立即再加载时，s-e关系起初基本上沿卸载直线上升直至当初卸载的荷载，然后沿卸载前的曲线断裂冷作硬化现象。,ee_弹性应变,ep残余应变（塑性）,83,冷作硬化对材料力学性能的影响,比例极限p,强度极限b,不变,残余变形ep,例题,84,例：对低碳钢试样进行拉伸试验，测得其弹性模量，屈服极限当试件横截面上的应力时，测得轴向线应变，随后卸载至，此时，试样的轴向塑性应变（即残余应变）=。,85,、缩颈（局部变形）阶段,试件上出现急剧局部横截面收缩缩颈，直至试件断裂。,塑性（延性）材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力。,材料的塑性用延伸率断面收缩率度量,86,延伸率:,（平均塑性延伸率）,断面收缩率：,A1断口处最小横截面面积。,87,Q235钢的主要强度指标：,Q235钢的塑性指标：,Q235钢的弹性指标：,通常的材料称为塑性材料；,的材料称为脆性材料。,88,低碳钢拉伸破坏断面,89,三、其他金属材料在拉伸时的力学性能,锰钢没有屈服和局部变形阶段,强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段,共同点：,d5%，属塑性材料,90,无屈服阶段的塑性材料，以sp0.2作为其名义屈服极限（屈服强度）。,sp0.2,卸载后产生数值为0.2%塑性应变（残余应变）的应力值称为名义屈服极限（屈服强度）,例：对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以卸载后产生数值为的所对应的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限，用表示。,91,灰口铸铁轴向拉伸试验,92,灰口铸铁在拉伸时的se曲线,特点：1、se曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割线弹性模量2、没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸强度指标sb3、延伸率非常小，断裂时的应变仅为0.4%0.5%，拉伸强度sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。,典型的脆性材料,93,铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：,94,压缩试样,圆截面短柱体,正方形截面短柱体,四、金属材料在压缩时的力学性能,95,低碳钢压缩时se的曲线,特点：1、低碳钢拉、压时的ss以及弹性模量E基本相同。2、材料延展性很好，不会被压坏。,96,特点：1、压缩时的sb和d均比拉伸时大得多，宜做受压构件；2、即使在较低应力下其se也只近似符合胡克定律;3、试件最终沿着与横截面大致成5055的斜截面发生错动而破坏。,灰口铸铁压缩时的se曲线,97,五、几种非金属材料的力学性能,1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。,特点:1、直线段很短，在变形不大时突然断裂；2、压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关；3、以se曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。,98,2、木材,木材属各向异性材料,其力学性能具有方向性,亦可认为是正交各向异性材料,其力学性能具有三个相互垂直的对称轴,99,特点：1、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺陷的影响波动；2、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。3、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。4、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。,松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的se曲线,许用应力s和弹性模量E均应随应力方向与木纹方向倾角不同而取不同数值。,100,3、玻璃钢,玻璃纤维的不同排列方式,玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料,力学性能,玻璃纤维和树脂的性能,玻璃纤维和树脂的相对量,材料结合的方式,101,纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的se曲线,特点：1、直至断裂前se基本是线弹性的；2、由于纤维的方向性，玻璃钢的力学性能是各向异性的。,102,六、复合材料与高分子材料的拉伸力学性能,七、温度对材料力学性能的影响,温度对材料的力学性能有很大影响.,103,2-6应力集中的概念,应力集中,由于杆件横截面突然变化而引起的应力局部骤然增大的现象。,截面尺寸变化越剧烈，应力集中就越严重。,104,理论应力集中因数：,具有小孔的均匀受拉平板,sn截面突变的横截面上smax作用点处的名义应力；轴向拉压时为横截面上的平均应力。,105,应力集中对强度的影响：,理想弹塑性材料制成的杆件受静荷载时,荷载增大进入弹塑性,极限荷载,弹性阶段,106,脆性材料或塑性差的材料,塑性材料、静荷载,不考虑应力集中的影响,要考虑应力集中的影响,动荷载,107,2-6许用应力与强度条件,、材料的许用应力,塑性材料:,脆性材料:,对应于拉、压强度的安全因数,极限应力su,ss或sp0.2,sb,许用应力,n1,108,ns一般取1.252.5，,塑性材料:,脆性材料:,或,nb一般取2.53.0，甚至414。,109,、关于安全因数的考虑,（1）极限应力的差异；（2）构件横截面尺寸的变异；（3）荷载的变异；（4）计算简图与实际结构的差异；（5）考虑强度储备。,110,、拉（压）杆的强度条件,保证拉（压）杆不因强度不足发生破坏的条件,等直杆,强度计算的三种类型：,（1）强度校核,（2）截面选择,（3）计算许可荷载,111,例图示三角架中，杆AB由两根10号工字钢组成，杆AC由两根80mm80mm7mm的等边角钢组成。两杆的材料均为Q235钢，s=170MPa。试求此结构的许可荷载F。,112,（1）节点A的受力如图，其平衡方程为：,解：,得,A,113,（2）查型钢表得两杆的面积,（3）由强度条件得两杆的许可轴力：,杆AC,杆AB,杆AC,杆AB,114,(4)按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：,115,2-7连接部分的强度计算-剪切与挤压的实用计算,116,1、剪切的概念,（2）变形特点,（1）受力特点,材料力学,作用于构件某一截面（剪切面）两侧的力，大小相等、方向相反且相距很近。,构件的两部分沿剪切面发生相对错动。,117,（3）单剪与双剪仅一个剪切面称为单剪（见图1），若有两个剪切面则称为双剪（见图2）。,材料力学,118,2、剪切的假定计算,剪力FS-主要成分弯矩M-次要成分，可忽略。,假设剪应力均匀分布，则：,（1）剪切面上内力,（2）剪切面上应力计算,材料力学,其中AS为剪切面的面积。为名义剪应力。,119,（3）剪切强度条件FS/AS许用剪应力通过试验得到。在该试验中，应使试样的受力尽可能地接近实际联接件的情况，求得试样失效时的极限载荷，然后根据公式求出名义极限剪应力b，除以安全系数n，得许用剪应力，从而建立强度条件。对于塑性较好的低碳钢材料，根据实验所积累的数据并考虑安全系数，与许用拉应力之间的关系为：=(0.60.8),材料力学,120,3、挤压的概念,在外力的作用下，联接件和被联接件在接触面上将相互压紧，这种局部受压的情况称为挤压。挤压面该接触面。挤压力该压紧力。挤压破坏在接触处的局部区域产生塑性变形或压潰。,材料力学,121,4、挤压的假定计算,（1）挤压应力bs=Fb/Abs式中bs为挤压应力，Fb为挤压面上传递的力挤压力Abs为挤压计算面积。当接触面为平面时，Abs就是接触面的面积；当接触面为圆柱面时（如铆钉与钉孔间的接触面），Abs应取圆孔或圆钉的直径平面面积。,材料力学,122,材料的许用挤压应力bs可由有关规范中查到。对于钢材，一般可取bs=（1.72.0),（2）挤压强度计算,材料力学,123,例题1、铆钉和板用同一种材料制成，已知t=8mm，=30MPa，bs=100MPa,P=15kN，试选择直径d。,解：取铆钉中段研究,材料力学,124,剪切强度计算,剪力：Fs=P/2=7.5kN,=Fs/A=Fs/(d2/4),d17.8mm,挤压强度计算,挤压力：Pb=15kN，Abs=2td,bs=Pb/Absbs,d9.4mm,d17.8mm。若取标准件，查手册，d=20mm。,125,问题：(1)若中间板的厚度为3t，应取哪段研究？,材料力学,(2)若铆钉和板用不同材料制成，计算挤压强度时，应以铆钉为研究对象还是以板为研究对象？,126,解:（1）内力分析:剪力：Fs=P剪切面面积：A=dt(2)应力分析与强度计算：=Fs/A0由上解得：P0dt=113kN,材料力学,例题2.钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力0=400MPa，求冲力P的大小。,127,例3、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成，铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其=80MPa，bs=200MPa，=120MPa，试校核此接头部分的强度。,分析：可能的破坏形式有：,（1）铆钉剪切破坏；,（2）铆钉或板的挤压破坏,（3）钢板拉断。,材料力学,128,材料力学,解：（1）铆钉剪切强度,（当各铆钉直径相等，且外力作用线通过铆钉组的截面形心时，可认为各铆钉受力相等）,各铆钉受到剪力：Fs=P/4=17.5kN,各铆钉受剪面积：A=d2/4=254mm2,=Fs/A=68.8MPa,铆钉剪切强度符合要求。,（2）铆钉或板的挤压强度,挤压力Pb=P/4=17.5kN，挤压计算面积Abs=td=180mm2，,bs=Pb/Abs=97.2MPad时,略去剪力的影响和簧圈曲率的影响:,当D/da时,FS,Fb,l,x,Fa,l,M,x,Fab,l,F,例图示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解:1、求支反力,Me,2、列剪力方程和弯矩方程,剪力方程无需分段：,弯矩方程两段：,AC段：,CB段：,3、作剪力图和弯矩图,ba时,发生在C截面右侧,l,M,x,Mea,l,Meb,思考：对称性与反对称性,例简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,解：1、求支座反力,可利用平衡方程对所求反力进行校核。,2、建立剪力方程和弯矩方程,AC段：,CB段：,3、求控制截面内力，绘FS、M图,FS图：AC段,CB段,剪力图为斜直线,剪力方程为常数，剪力图为水平线。,M图：AC段,求极值判断顶点位置,CB段,弯矩图为二次抛物线,弯矩图是直线,对于该梁来说有,当时，弯矩有极值。,1、q=常数（向下）剪力图直线，下斜,从剪力图和弯矩图来观察：,弯矩图二次抛物线,2、q=0剪力图水平线（常数）弯矩图斜直线,5-4弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系,略去,M(x)+dM(x),q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系,其中分布荷载集度q(x)以向上为正，向下为负。,几种常见荷载下FS图和M图的特征,时，弯矩M(x)为极值。,集中力作用处,集中力偶作用处,利用以上特征1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。,利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1求支座反力；2分段确定剪力图和弯矩图的形状；3计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4确定和。,例试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图示的剪力图和弯矩图。,解：支反力为,AC段q=0剪力图为水平直线剪力值,1、校核剪力图,1、校核剪力图,CB段q=常量0剪力图为向右下方倾斜的斜直线因C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故,x,2、校核弯矩图,AC段剪力=常量弯矩图斜率为正值的斜直线弯矩值：支座A：MA=0C截面左侧:,也可通过积分来复核弯矩值：,AC段内剪力图的面积,CB段,q=负常量弯矩图曲率为负(向下凸)的抛物线C点处有集中力偶作用弯矩图突变,支座B：MB=0,这些均与图中所示相符。,存在的截面，即弯矩M(x)在此处有极值（抛物线的顶点）。,例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。,已知：,(逆时针),81,31,29,Fs图(kN),5-4平面刚架和曲杆的内力图,、平面刚架,由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。,面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩,作刚架内力图的约定：弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号；剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但应注明正、负号；剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。,例试作图示刚架的内力图。,解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，可不求固定端A处的支反力。,CB段：,q,BD段：,DA段：,FN(y),FN(x),可取刚性结点B为分离体，考察该结点是否满足平衡条件来校核内力图的正误。,2qa,FN图,FS图,M图,、平面曲杆,面内受力时的内力轴力、剪力、弯矩,弯矩的符号约定使杆的曲率增加（即外侧受拉）为正,作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。,例一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自由端B受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出其内力图。,解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力方程：,M(j),根据内力方程绘出内力图，如图所示。,第六章弯曲应力,最基本常见的弯曲问题,对称弯曲,对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是平面弯曲。,6-1引言,6-2梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,纯弯曲,横力弯曲,Fa,.纯弯曲时梁横截面上的正应力,几何方面,表面变形情况纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸长；横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正交，只是横线间相对转动。,平面假设梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵向对称轴的某一轴转动。,即中性轴,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。,中性层,中性轴,中性层与横截面的交线就是中性轴。,r中性层的曲率半径,物理方面单向应力状态下的胡克定律,不计挤压，即认为梁内各点均处于单向应力状态。当s5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。,Fl,4,例图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa。,375kN.m,M,解：1、作弯矩图如上，,2、查型钢表得,56号工字钢,3、所求正应力为,或根据正应力沿梁高的线性分布关系的,梁的正应力强度条件,由于smax处t=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：,材料的许用弯曲正应力,中性轴为横截面对称轴的等直梁,拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,例图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力s=152MPa。试选择工字钢的号码。,解：1、支反力为,作弯矩图如上。,单位：kNm,2、根据强度条件确定截面尺寸,与要求的Wz相差不到1%，可以选用。,查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值,例图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力st=30MPa，许用压应力sc=90MPa。试求梁的许可荷载F。,解：1、梁的支反力为,据此作出梁的弯矩图如下,发生在截面C,发生在截面B,2、计算最大拉、压正应力,注意到,因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。,而,考虑截面B：,考虑截面C：,因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制,6-3梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,、梁横截面上的切应力,推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程,分离体的平衡,横截面上切应力分布规律的假设,横截面上弯曲切应力的计算公式,一、矩形截面梁,横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。,面积AA1mm对中性轴z的静矩,而横截面上纵向力的大小为,纵截面上水平剪力值为,要确定与之对应的水平切应力t还需要补充条件。,矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律,(1)由于梁的侧面为t=0的自由表面，根据切应力互等定理，横截面两侧边处的切应力必与侧边平行；(2)对称轴y处的切应力必沿y轴方向，即平行于侧边；(3)横截面两侧边处的切应力值大小相等，对于狭长矩形截面则沿截面宽度其值变化不会大。,窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：,(1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行；,(2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。,根据切应力互等定理,推得：(1)t沿截面宽度方向均匀分布；(2)在dx微段长度内可以认为t没有变化。,根据前面的分析,即,又,由两式得,其中：FS横截面上的剪力；Iz整个横截面对于中性轴的惯性矩；b与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；,矩形截面梁弯曲切应力计算公式,横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩,矩形横截面上弯曲切应力的变化规律,t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=h/2)，切应力为零。,二.工字形截面梁,1、腹板上的切应力,腹板与翼缘交界处,中性轴处,2、翼缘上的切应力,a、因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于y轴的切应力为零；b、计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力,(1)平行于y轴的切应力,可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。,(2)垂直于y轴的切应力,即翼缘上垂直于y轴的切应力随按线性规律变化。,且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。,、梁的切应力强度条件,一般tmax发生在FS,max所在截面的中性轴处，该位置s=0。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。,梁的切应力强度条件为,材料在横力弯曲时的许用切应力,对等直梁，有,m,q,G,ql/2,梁上smax所在点处于单应力状态，其正应力强度条件为,梁上任意点G和H平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（强度理论）。,E,m,m,l/2,q,G,H,C,D,F,l,ql/2,横力弯曲梁的强度条件：,强度足够,确定截面尺寸,验证,设计截面时,例跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块100103000mm的钢板制成。材料均为Q235钢，其=170MPa，=100MPa。试校核该梁的强度。,解计算反力得,FS(kN),x,80,20,30,70,x,M(kNm),120,150,105,最大弯矩为,E,C截面弯矩为,FS(kN),x,80,20,30,70,x,M(kNm),120,150,105,但未超过s的5%，还是允许的。,例跨度l=4m的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷载q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已知材料为红松，其弯曲容许正应力，顺纹容许剪应力；胶合缝的容许剪应力。试求该梁的容许荷载集度q之值。,解：,6-4梁的合理设计,一、合理配置梁的荷载和支座,控制强度条件：,MWz,l,F,l,4,F,Fl,4,l,4,l,2,Fl,8,D,二、合理选取截面形状,1、尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。,2、对于由拉伸和压缩强度相等的材料制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。,3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc。,三、合理设计梁的外形,考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。,若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。,6-5拉伸(压缩)与弯曲,包括：轴向拉伸(压缩)和弯曲偏心拉（压）1.横向力与轴向力共同作用,对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。,上图示由两根槽钢组成杆件的计算图，在其纵对称面内有横向力F和轴向拉力Ft共同作用，以此说明杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计算。,在拉力Ft作用下，杆各个横截面上有相同的轴力FN=Ft,拉伸正应力t在各横截面上的各点处均相等,在横向力F作用下，杆跨中截面上的弯矩为最大，Mmax=Fl/4。跨中截面是杆的危险截面。该截面上的最大弯曲正应力,按叠加原理，杆件的最大正应力是危险截面下边缘各点处的拉应力,值为,正应力沿截面高度的变化情况还取决于b、t值的相对大小。可能的分布还有：,Note:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。,危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。,2.偏心拉伸(压缩)当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。,如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。,以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e(称为偏心距)的偏心拉力F为例，来说明.,将偏心拉力F用静力等效力系来代替。把A点处的拉力F向截面形心O1点简化，得到轴向拉力F和两个在纵对称面内的力偶Mey、Mez。,因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。,在任一横截面n-n上任一点C(y,z)处的正应力分别为,轴力FN=F引起的正应力,弯矩My=Mey引起的正应力,弯矩Mz=Mez引起的正应力,按叠加法，得C点的正应力,A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。,对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、My=FzF，Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：,按叠加法叠加得,可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1、D2处，其值为,危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为,剪力,弯矩,弯曲正应力及强度条件,弯曲切应力及强度条件,弯曲刚度分析,静不定梁分析,弯曲变形的计算,第七章弯曲变形,弯曲内力,弯曲强度,弯曲变形,366,1、齿轮传动,轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；,加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。,7-1引言,一、弯曲实例,弊端：,367,2、继电器中的簧片,电磁力,当变形足够大时，可以有效接通电路；,触点,当变形不够大时，不能有效接通电路；,簧片,工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。,368,x,w,挠曲轴,mm,nn,（1）挠度w：横截面形心在垂直于轴线方向的位移,（2）转角：横截面绕中性轴的转过的角度,w,符号规定：向上为正，向下为负。,符号规定：逆时针为正，顺时针为负。,（3）轴向位移x：横截面形心在轴线方向的位移，小变形情况下，略去不计。,X,x,（连续、,光滑,平坦的平面曲线）,w,z,二、梁变形的表示方法,369,(通常0,My。,在、坐标系内按比例尺确定两点：,417,以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。,连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。,418,2）证明,对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：,从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。,由于,可得：,419,因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且,该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。,则：,420,另外，E点横坐标为：,可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值。,即：,同理可得E点的纵坐标为：,421,由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。,解：按一定比例画出应力圆。,例：用图解法求图示=30斜截面上的应力值。,因为图示应力状态有：,422,按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：,则x、y截面在应力圆上两点为：,423,3、主平面和主应力,对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。,主平面：剪应力=0的平面；,主应力：主平面上的正应力。,可证明：,并规定：,可见：,424,具体值可在应力圆上量取，即：,主平面位置：图a中1主平面的方位角0对应于应力圆（图b）上的圆心角20。,主应力值和主应力平面的计算：,由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：,425,，IV象限,由此可得两个主应力值为：,因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上20，而,426,IV象限。,注意：20的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：,I象限；,II象限；,III象限；,所以，1主平面方位角0为：,427,例求图a所示应力状态的主应力及方向。,解：1、应力圆图解法：,因为：,所以：,按一定比例作出应力圆（图b）。,428,由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：,由此可得：,主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：,429,2、解析法：,所以：,430,例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a、b两点处的主应力。,解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示：,431,M(kNm),80,x,由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：,又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所需的静矩为：,432,且：,由此可得C截面上a点处正应力和切应力分别为：,433,该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图g所示。,由应力圆可得a点处的主应力为：,434,且：,则1主平面的方位角0为：,显然，3主平面应垂直与1主平面，如下图所示。,435,对C截面上的b点，因yb=0.15m可得：,该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图i所示。,436,b点处的主应力为：,1主平面就是x平面，即梁的横截面C。,437,8-3空间应力状态的概念,下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。,图中x平面有：,图中y平面有：,图中z平面有：,在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。,438,可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：,空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：,空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。,该单元体称为主单元体。,439,例：下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，其应力状态即为图b所示三向压应力状态。,440,考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。,对与3平行的斜截面：,同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。,下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。,进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。,由图b可知，该面上应力、与3无关，由1、2的应力圆来确定。,441,max作用面为与2平行，与1或3成45角的斜截面。,所以，由1、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：,因为：,注意：max作用面上，0。,442,例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。,解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。,443,图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。,最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。,由此可得：,444,作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。,最大剪应力对应于B点的纵坐标，即,445,例：对下列图示应力状态，求剪应力最大值。,446,可求得：,447,8-4应力与应变之间的关系,1、各向同性材料的广义胡克定律,时，,2）纯剪应力状态：,1）单向应力状态：,横向线应变：,时，,448,3）空间应力状态：,对图示空间应力状态：,正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。,六个应力分量，,对应的六个应变分量，,449,正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。,对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：,三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：,450,同理可得：,则可得：,对切应力分量与切应变的关系，有：,451,上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。,对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：,452,若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：,二向应力状态：,453,可见，即使3=0，但30，而且各向同性材料有,例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。,解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：,即为平面应力状态，有,454,联立两式可解得：,主应变2为：,其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。,455,例：边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。,解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：,456,联解可得：,受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：,457,利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：,则铜块的主应力为：,由此可得其体应变为：,458,第九章复杂应力状态强度问题,对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。,而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。,关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。,9-1概述,459,9-2强度理论及其相当应力,1、概述,1）单向应力状态：,图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：,塑性屈服：极限应力为,脆性断裂：极限应力为,此时，s、p0.2和b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：,460,2)纯剪应力状态：,其中n为安全系数。,图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：,塑性屈服：极限应力为,脆性断裂：极限应力为,其中，s和b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：,461,前述强度条件对材料破坏的原因并不深究。例如，图示低碳钢拉(压)时的强度条件为：,然而，其屈服是由于max引起的，对图示单向应力状态，有：,依照切应力强度条件，有：,462,3）复杂应力状态,来建立，因为与之间会相互影响。,研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。,与,相当(等效)。,可见，,对图示平面应力状态，不能分别用,463