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2019-2020 年高考数学三轮复习试题汇编 专题 2 不等式、函数与导数 第 4 讲 导数与定积分（B 卷）理（含解析） 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1、(xx山东省滕州市第五中学高三模拟考试4)=（ ） A B C D 2(xx德州市高三二模（4 月）数学（理）试题9)展开式的常数 项是 15，右图阴影部分是由曲线和圆轴围成的封闭图形，则封闭图 形的面积为（ ） A B C D 3. (江西省新八校 xx 学年度第二次联考12)已知定义域为的奇函 数的导函数，当时， ，若， ， ，则下列关于的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4.（xx赣州市高三适用性考试4） 5.（xx赣州市高三适用性考试12）若函数,方程只有五个不同的实根，则实数的取值范 围是（ ） A. B. C. D. 6(xx.江西省上饶市高三第三次模拟考试12)定义:如果函数在a,b上存在满足,则称 函数是a,b上的“双中值函数” 已知函数是0,a上的“双中值函数”,则实数的取值范 围是（ ） A B() C(,1) D(,1) 7.（xx山西省太原市高三模拟试题二12） 8. (xx山东省潍坊市第一中学高三过程性检测9)已知sinco0215xfex ，则函数的各极大值之和为（ ） A. B. C. D. 二、非选择题(60 分) 9. (江西省新八校 xx 学年度第二次联考16)函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围 是 . 10、(xx山东省滕州市第五中学高三模拟考试15)若函数存在与直线平行的切线，则实 数的取值范围是 _. 11(xx.江西省上饶市高三第三次模拟考试15)设定义域为的单调函数，对任意，都有， 若是方程的一个解，且，则实数= 12. （xx山东省实验中学第二次考试11）定积分= 。 13. （xx山东省实验中学第二次考试13）函数，则不等式的解集为_. 14(xx盐城市高三年级第三次模拟考试14)若函数 f（x）=lnx+ax 2+bxa2b 有两 个极值点 x1，x 2，其中x1，则方程 2af（x） 2+bf（x） 1=0 的实根个数为 15. (XX 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟17)（本小题满分 10 分）如图，在 地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和现计划在和路边各修建一个物流 中心和. 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和设 （1）为减少周边区域的影响，试确定的位置，使与的面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定的位置，使的值最小. 16.(江西省新八校 xx 学年度第二次联考21)（本小题满分 10 分）已知函数（为不零的实 数，为自然对数的底数）. （1）若函数与的图象有公共点，且在它们的某一处有共同的切线，求的值； （2）若函数在区间内单调递减，求此时的取值范围. 17. (xx 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟20)（本小题满分 10 分）已知函数 其中为常数. （1）当时，若函数在上的最小值为求的值； （2）讨论函数在区间上单调性； （3）若曲线上存在一点使得曲线在点处的切线与经过点的另一条切线互相垂直，求的取值 范围. 专题 2 不等式、函数与导数 第 4 讲 导数与定积分（B 卷）答案与解析 1.【答案】C 【命题立意】本题主要考查定积分的运算 【解析】 02011 31()()|()2xxedee . 2.【答案】A 【命题立意】本题旨在考查定积分的计算 【解析】二项式展开的通项公式为： 故由题意有：，交点坐标为， 所求解的面积为：故选：A 3.【答案】A 【命题立意】考查导数法求函数的单调性，考查推理能力，较难题. 【解析】令，则， 当时， ， 当时， ，当时，函数单调递增， ， 函数是奇函数， ， 又， ， ， ，即. 4.【答案】C 【命题立意】本题主要考查积分的计算，根据积分的运算法则进行求解即可. 【解析】 ，选 C. 5.【答案】C 【命题立意】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数关系，利用数 形结合是解决本题的关键. 【解析】设则,作出函数和的图象如图: 若时，有一个根 t，且，只有一个解，则方程有 1 个根. 若时，有两个根，方程有 1 个解，有 1 个解，则方程有 2 个根. 若时，有 3 个根，此时每个方程有各有 1 个解.则方程有 3 个根， 若时，有 3 个根，此时方程有 1 个解，有 1 个解，有 2 个解，则方程有 4 个根， 若时，有 3 个根，此时方程有 1 个解，有 1 个解，有 3 个解，则方程有 5 个根. 若时，有 2 个根，此时方程有 1 个解，有 3 个解，则方程有 4 个根. 若时，有 2 个根，此时方程有 1 个解，有 2 个解，则方程有 3 个根. 综上满足条件的的取值范围是，选 C. 【易错警示】本题在求解的过程中，利用换元法转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问 题是解决本题的关键.同时，根据条件要对进行分类讨论，比较复杂. 6.【答案】B 【命题立意】本题重点考查了本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根 的关系，属于中档题 【解析】由题意可知，在区间0,a存在 x1，x 2（1x 1x 2a） ， 满足 f（x 1）=a 2a， f（x）=x 3x 2+a，f（x）=x 22x， 方程 x22x=a 2a 在区间（0，a）有两个解 令 g（x）=x 22xa 2+a， （0xa） 则 解得a3，实数 a 的取值范围是（，3） 故选 B 7.【答案】D 【命题立意】本题考查利用导数研究抽象函数的单调性，难度较大. 【解析】在中，令得，得，且，令， 则 11ln1ln()()()()xxgxfxfff， 当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，所以，所以，在单调递减，没有最值. 8.【答案】A 【命题立意】本题重点考查利用导数求函数的极值以及等比数列的求和公式，难度中等. 【解析】因为 ()sinco)(sin)2sixxxfeee，所以当时， ，当时， ，即当时，取得极大值，其极大值为 2 2()si()s()k kfk k ，又因为，所以函数的各极大 值之和为 10720143520152()xeeSe . 9.【答案】 【命题立意】考查导数法求函数的单调性，函数的奇偶性，考查转化能力，较难题. 【解析】 ， ，是的减函数且为奇函数，由可得在恒成立， 2sin1)si(21sin12sin2co m 在恒成立，在单调递减， ，. 10.【答案】 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义 【解析】 11.【答案】1。 【命题立意】本题考查函数的零点位置问题. 【解析】对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，可得， 可解得，故 ，又是方程的一个解，所以是函数的零点，分析易得 04ln12l1)(,02ln)1( F ，故函数的零点介于之间，故. 12.【答案】e 【命题立意】本题旨在考查定积分与微积分基本定理。 【解析】( 2x+ex)dx=（x 2+ex） =（1 2+e1）-（0 2+e0）=e 13.【答案】( ， e) 【命题立意】本题旨在考查函数的单调性与最值。 【解析】函数 f（x）=xsinx+cosx+x 2，满足 f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+（-x） 2=xsinx+cosx+x2=f（x），故函数 f（x）为偶函数 由于 f（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx）， 当 x0 时，f（x）0，故函数在（0，+）上是增函数， 当 x0 时，f（x）0，故函数在（-，0）上是减函数 不等式 f（lnx）f（1）等价于-1lnx1，xe， 【易错警示】判断函数为偶函数是关键，利用导数求得函数在（0，+）上是增函数，在 （-，0）上是减函数，将所给的不等式等价变形为-1lnx1，注意通过分类讨论解对 数不等式得解。 14.【答案】5 【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，函数的极值，方程的根 【解析】由于函数 f（x）=lnx+ax 2+bxa2b 有两个极值点 x1，x 2，那么 f（x） =+2ax+b=0，可得 x1+x2=，x 1x2=，而关于 f（x）的方程 2af（x） 2+bf（x） 1=0 有两个根，则 f（x）=x 1或 f（x）=x 2，而 f（x 2）=x 2x1，那么根据对应的图形， 数形结合可得 f（x）=x 1有三个实根，f（x）=x 2有两个实根，故方程 2af（x） 2+bf（x）1=0 的实根个数为 5 个 15.【答案】 （1）当 AE=1km， BF=8km 时， PAE 与 PFB 的面积之和最小；（2）当 AE 为 4km，且 BF 为 2km 时， PE+PF 的值最小 【命题立意】本题旨在考查三角函数的应用问题，三角形的面积公式，基本不等式，导数 及其应用，函数的单调性等 【解析】 （1）在 Rt PAE 中，由题意可知， AP=8，则 所以 2 分 同理在 Rt PBF 中， ， PB1，则， 所以 4 分 故 PAE 与 PFB 的面积之和为 5 分 =8， 当且仅当，即时，取“” ， 故当 AE=1km， BF=8km 时， PAE 与 PFB 的面积之和最小6 分 （2）在 Rt PAE 中，由题意可知，则 同理在 Rt PBF 中， ，则 令， ， 8 分 则， 10 分 令，得，记， ， 当时， ，单调减； 当时， ，单调增 所以时，取得最小值， 12 分 此时， 所以当 AE 为 4km，且 BF 为 2km 时， PE+PF 的值最小 14 分 16.【答案】 （1） ；（2）. 【命题立意】考查导数的几何意义，导数法求函数的单调性，考查转化能力，较难题. 【解析】 （1）设曲线与有共同切线的公共点为，则 （1）式 又曲线与在点处有共同切线，且， ， （2）式，联立（1） （2）有，则。 （2）由得函数， 所以 k-xkxe-xe-kxehkk 63233 ， 又由区间知， ，解得，或 当时，由，得，即函数的单调减区间为，要使得函数在区间内单调递减，则有k-k3120 解得 ， 当时，由，得，或，即函数的单调减区间为和， 要使得函数在区间内单调递减，则有 ，或，这两个不等式组均无解. 综上，当时，函数在区间内单调递减. 17.【答案】 （1）b=2；（2）当时， f(x)在区间( a，+)上是单调增函数；当时， f(x)在区 间( a，)上是单调减函数，在区间(，+)上是单调增函数；当时， f(x)在区间( a，)， (，+)上是单调增函数，在区间(，)上是单调减函数；（3） 【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的几何意义，两直线的位置关系，函数的 单调性与最值，考查分类讨论思维 【解析】 （1）当 a=1 时， f (x)=x22x1，所以函数 f(x)在0，1上单调减， 2 分 由 f (1)= ，即 11+b= ，解得 b=2 4 分 13 13 13 （2） f (x)=x2+2ax1 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为 x=a， 因为=4 a2+40， f(x)=0 有两个不等实根 x1,2= 5 分 当方程 f (x)=0 在区间( a，+)上无实根时，有 解得 6 分 当方程 f (x)=0 在区间与 ( a，+)上各有一个实根时，有 f(a)0，或 解得 8 分 当方程 f (x)=0 在区间( a，+)上有两个实根时，有 解得 综上，当时， f(x)在区间( a，+)上是单调增函数； 当时， f(x)在区间( a，)上是单调减函数， 在区间(，+)上是单调增函数； 当时， f(x)在区间( a，)，(，+)上是单调增函数， 在区间(，)上是单调减函数 10 分 （3）设 P(x1， f(x1)，则 P 点处的切线斜率 m1=x12+2ax11， 又设过 P 点的切线与曲线 y=f(x)相切于点 Q(x2， f(x2)， x1x2， 则 Q 点处的切线方程为 yf(x2)=( x22+2ax21)(xx2)， 所以 f(x1)f(x2)=( x22+2ax21)(x1x2)， 化简，得 x1+2x2=3a 12 分 因为两条切线相互垂直，所以( x12+2ax11)(x22+2ax21)= 1， 即(4 x22+8ax2+3a21)(x22+2ax21)= 1 令 t=x22+2ax21(a2+1)， 则关于 t 的方程 t(4t+3a2+3)= 1 在 t上有解， 14 分 所以 3a2+3=4t 4，当且仅当 t= 时，取“=” ， 1t 12 解得 a2 ，故 a 的取值范围是 16 分 13
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