2019-2020年高三（上）期中数学试卷（文科）含解析.doc

2019-2020年高三（上）期中数学试卷（文科）含解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）命题p：“xR，使得x2+x+10”，则p：xR，均有x2+x+10考点：命题的否定分析：根据命题p：“xR，使得x2+x+10”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“改为“”即可得答案解答：解：命题p：“xR，使得x2+x+10”是特称命题p：xR，均有x2+x+10故答案为：xR，均有x2+x+10点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题2（5分）若函数y=loga（3ax） 在0，1上是减函数，则a 的取值范围是（1，3）考点：对数函数的单调性与特殊点专题：计算题分析：由于 函数y=loga（3ax） 在0，1上是减函数，故 a1，且3a0，由此求得a 的取值范围解答：解：由于 函数y=loga（3ax） 在0，1上是减函数，故 a1，且3a0，3a1，故答案为：（1，3）点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a1，且3a0，是将诶提的关键3（5分）若函数f（x）=ex2xa在R上有两个零点，则实数a的取值范围是 （22ln2，+）考点：函数的零点专题：计算题分析：画出函数f（x）=ex2xa的简图，欲使函数f（x）=ex2xa在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0由此求得实数a的取值范围解答：解：令f，（x）=ex2=0，则x=ln2，xln2，f，（x）=ex20；xln2，f，（x）=ex20；函数f（x）在（ln2，+）上是增函数，在（，ln2）上是减函数函数f（x）=ex2xa在R上有两个零点，所以f（ln2）=22ln2a0，故a22ln2故填：（22ln2，+）点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷4（5分）函数y=1（xR）的最大值与最小值之和为2考点：奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：构造函数g（x）=，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案解答：解：f（x）=1，xR设g（x）=，因为g（x）=g（x），所以函数g（x）是奇函数奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为M所以函数f（x） 的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1M函数f（x） 的最大值与最小值之和为2故答案为2点评：本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是恰当构造奇函数5（5分）定义在R上的函数f（x） 满足 且 为奇函数给出下列命题：（1）函数f（x） 的最小正周期为；（2）函数y=f（x） 的图象关于点 对称；（3）函数y=f（x） 的图象关于y 轴对称其中真命题有（2）（3）（填序号）考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性专题：计算题分析：本题可先由恒等式 得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数 是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件 ，故有 恒成立，故函数周期是3，故（1）错；又函数 是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点 对称，由此知（2）（3）是正确的选项，故答案为：（2）（3）点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数6（5分）已知函数，给定条件p：，条件q：2f（x）m2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（3，5）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，及正弦型函数的定义域和值域，由若p是q的充分条件，则满足条件p的x的取值范围P，与满足条件q的x的取值范围Q之间满足PQ，然后结合正弦型函数的定义域和值域即可得到答案解答：解：p是q的充分条件PQ，又P=x|此时f（x）3，5又Q=x|2f（x）m2m（3，5）故答案为：（3，5）点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系7（5分）已知函数的解集为（0，2）考点：运用诱导公式化简求值；指、对数不等式的解法专题：计算题；三角函数的求值；不等式的解法及应用分析：根据三角函数的奇偶性得f（x）是奇函数，从而得到f（1）=1再用正弦、正切的诱导公式，化简整理可得f（24）=1，原不等式化简为log2x1，解之即可得到所求解集解答：解：=f（x），可得f（x）是奇函数f（1）=1，f（1）=1而f（24）=f（24）=1，不等式f（24）log2x即log2x1=log22解之得0x2，得原不等式的解集为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题给出三角函数式，要求根据此函数式解关于x的不等式，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数诱导公式和对数不等式的解法等知识，属于中档题8（5分）如图，平面四边形ABCD中，若AC=，BD=2，则（+）（+）=1考点：平面向量数量积的运算专题：综合题分析：先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论解答：解：（+）（+）=（+）（+）=（）（+）=AC=，BD=2，=1（+）（+）=1故答案为：1点评：本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题9（5分）若正六棱锥的底面边长为3cm，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是cm考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；转化思想分析：由已知中正六棱锥的全面积是底面积的倍，得到其侧高与底面中心到对称棱的距离之间为：1，构造直角三角形PQO（其中P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心），解三角形即可得到侧面与底面所成的角，最后利用直角三角形求出棱锥的高解答：解：由于正六棱锥的全面积是底面积的3倍，不妨令P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心侧面积是底面积的3倍，则PQ=3OQ则PQO即为侧面与底面所成的角cosPQO=，sinPQO=，tanPQO=，在直角三角PQO中，PO=QOtanPQO=故答案为：点评：本题考查棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题10（5分）设（，2），若，则的值为考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数专题：三角函数的求值分析：利用两角和差的正切公式求得tan=58，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2 和 cos2 的值，再由 =coscos2+sinsin2，运算求得结果解答：解：=，tan=58再由sin2=，cos2=，可得 =coscos2+sinsin2=，故答案为 点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题11（5分）设关于x的不等式组解集为A，Z为整数集，且AZ共有两个元素，则实数a的取值范围为考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算专题：数形结合分析：由条件|x+1|2得3x1AZ共有两个元素，说明不等式x2+2ax+30的解的集合的区间长度有着限制解答：解：由条件|x+1|2得3x1由分析知，不等式x2+2ax+3a0的解的集合的区间长度有着限制，也即方程x2+2ax+3a=0的解的集合的区间长度有着限制，设f（x）=x2+2ax+3a则有f（0.5）=3.250，结合3x1和抛物线的图象，得或解之得，实数a的取值范围为故填点评：本题属于难题了，难在对于条件的转化，难在数形结合思想的应用12（5分）（xx山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2sin2，1cos2）考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用专题：计算题；综合题；压轴题分析：设滚动后圆的圆心为O，切点为A，连接OP过O作与x轴正方向平行的射线，交圆O于B（3，1），设BOP=，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cos，1+sin），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出=2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2sin2，1cos2），即为向量的坐标解答：解：设滚动后的圆的圆心为O，切点为A（2，0），连接OP，过O作与x轴正方向平行的射线，交圆O于B（3，1），设BOP=O的方程为（x2）2+（y1）2=1，根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cos，1+sin），单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）AOP=2，可得=2可得cos=cos（2）=sin2，sin=sin（2）=cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2sin2，1cos2）的坐标为（2sin2，1cos2）故答案为：（2sin2，1cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题13（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，ADC，BCE均为等边三角形，则CDE的外接圆的半径的最小值是考点：解三角形专题：计算题分析：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在CDE中，由余弦定理知DE2=93mn，利用基本不等式，可得，再利用CDE的外接圆的半径，即可得到结论解答：解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE22CDCEcosDCE=m2+n2mn=（m+n）23mn=93mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又CDE的外接圆的半径CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查正弦定理的运用，确定DE的范围是关键14（5分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k0考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质专题：计算题；转化思想分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案解答：解：由题意，当k0时，函数定义域是（0，+），当k0时，函数定义域是（1，0）当k0时，lgkx=2lg（x+1）lgkx2lg（x+1）=0lgkxlg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+）仅有一个解x2（k2）x+1=0在（0，+）仅有一个解令f（x）=x2（k2）x+1又当x=0时，f（x）=x2（k2）x+1=10=（k2）24=0k2=2k=0舍，或4k=0时lgkx无意义，舍去k=4当k0时，函数定义域是（1，0）函数y=kx是一个递减过（1，k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（1，0）递增且过两点（1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k0符合题意故答案为：k=4或k0点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题二、解答题：（本大题6小题，共90分）15（14分）已知集合A=x|（x2）（x2a5）0，函数的定义域为集合B（1）若a=4，求集合AB；（2）已知，且”xA”是”xB”的必要条件，求实数a的取值范围考点：必要条件；一元二次不等式的解法；指、对数不等式的解法专题：计算题分析：（1）由a=4，确定集合A，利用对数函数的定义域，确定集合B，从而可求集合AB（2）根据已知，确定集合A，B，利用“xA”是“xB”的必要条件，可知BA，从而建立不等式，即可求得实数a的取值范围解答：解：（1）当a=4时，集合A=x|（x2）（x13）0=x|2x13，函数=的定义域为x|8x18，B=x|8x18，集合AB=x|8x13；（2），2a+52，A=（2，2a+5）a2+22a，B=（2a，a2+2）“xA”是“xB”的必要条件，BA1a3实数a的取值范围是1，3点评：本题主要考查了集合的运算，集合之间的关系，考查四种条件的运用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义16（14分）（xx枣庄一模）如图，已知AB平面ACD，DEAB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点（）求证：AF平面BCE；（）求证：平面BCE平面CDE考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：证明题分析：（）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AFBP，AF平面BCE，BP平面BCE，满足定理条件；（）欲证平面BCE平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP平面CDE，BP平面BCE，满足定理条件解答：证明：（）取CE中点P，连接FP、BP，F为CD的中点，FPDE，且FP=又ABDE，且AB=ABFP，且AB=FP，ABPF为平行四边形，AFBP（4分）又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE（6分）（）ACD为正三角形，AFCDAB平面ACD，DEABDE平面ACD又AF平面ACDDEAF又AFCD，CDDE=DAF平面CDE（10分）又BPAFBP平面CDE又BP平面BCE平面BCE平面CDE（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题17（15分）（xx普陀区一模）已知ABC中，记（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6mf（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理专题：计算题分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值解答：解：（1）由正弦定理有：=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，因为m0时，的值域为（1，m+1又g（x）的值域为，解得；存在实数，使函数f（x）的值域恰为点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键18（15分）（xx成都模拟）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，xR，其中a是与气象有关的参数，且a，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）（1）令t=，xR，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？考点：函数最值的应用；实际问题中导数的意义专题：计算题分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）f（x）=g（t）=|ta|+2a+下面分类讨论：当 0a，当 a，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）2即可求出所求解答：解：（1）当x=0时，t=0；（2分）当0x24时，=x+对于函数y=x+，y=1，当0x1时，y0，函数y=x+单调递减，当1x24时，y0，函数y=x+单调递增，y2，+）综上，t的取值范围是0，（2）当a（0，时，f（x）=g（t）=|ta|+2a+=g（0）=3a+，g（）=a+，g（0）g（）=2a故M（a）=当且仅当a时，M（a）2，故a（0，时不超标，a（，时超标点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题19（16分）已知定义域为0，1的函数同时满足以下三个条件：对任意x0，1，总有f（x）0；f（1）=1；若x10，x20，x1+x21，则有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立（1）求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x1在区间0，1上是否同时适合？并予以证明；（3）假定存在x00，1，使得f（x0）0，1，且f（f（x0）=x0，求证：f（x0）=x0考点：函数的值；函数恒成立问题专题：综合题；压轴题分析：（1）由知：f（0）0；由知f（0）0，从而得到f（0）=0（2）由题设知g（1）=1；由x0，1知2x1，2，得g（x）0，1，有g（x）0；设x10，x20，x1+x21，则，；由此能够证明函数g（x）=2x1在区间0，1上同时适合（3）若f（x0）x0，则由题设知f（x0）x00，1，且由知ff（x0）x00，由此入手能证明f（x0）=x0解答：解：（1）由知：f（0）0；由知：f（0+0）f（0）+f（0），即f（0）0；f（0）=0（2 ） 证明：由题设知：g（1）=21=1；由x0，1知2x1，2，得g（x）0，1，有g（x）0；设x10，x20，x1+x21，则，；即g（x1+x2）g（x1）+g（x2）函数g（x）=2x1在区间0，1上同时适合（3）证明：若f（x0）x0，则由题设知：f（x0）x00，1，且由知ff（x0）x00，由题设及知：x0=f（f（x0）=f（f（x0）x0）+x0=ff（x0）x0+f（x0）f（x0）矛盾；若f（x0）x0，则则由题设知：x0f（x0）0，1，且由知fx0f（x0）0，同理得：f（x0）=f（x0f（x0）+f（x0）=fx0f（x0）+f（f（x0）f（f（x0）=x0，矛盾；故由上述知：f（x0）=x0点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答20（16分）已知函数f（x）=（x36x2+3x+t）ex，tR（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（abc）处取到极值求t的取值范围；若a+c=2b2，求t的值（2）若存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式f（x）x恒成立求正整数m的最大值考点：利用导数研究函数的极值；不等式的综合专题：计算题；压轴题分析：（1）根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围，将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t值（2）先将存在实数t0，2，使不等式f（x）x恒成立转化为将t看成自变量，f（x）的最小值）x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围解答：解：（1）f（x）=（3x212x+3）ex+（x36x2+3x+t）ex=（x33x29x+t+3）exf（x）有3个极值点，x33x29x+t+3=0有3个根a，b，c令g（x）=x33x29x+t+3，g（x）=3x26x9=3（x+1）（x3），g（x）在（，1），（3，+）上递增，（1，3）上递减g（x）有3个零点8t24a，b，c是f（x）的三个极值点，x33x29x+t+3=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）xabcb=1或（舍b（1，3）t=8（2）不等式f（x）x，即（x36x2+3x+t）exx，即txexx3+6x23x转化为存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式txexx3+6x23x恒成立即不等式0xexx3+6x23x在x1，m上恒成立即不等式0exx2+6x3在x1，m上恒成立设（x）=exx2+6x3，则（x）=ex2x+6设r（x）=（x）=ex2x+6，则r（x）=ex2，因为1xm，有r（x）0故r（x）在区间1，m上是减函数又r（1）=4e10，r（2）=2e20，r（3）=e30故存在x0（2，3），使得r（x0）=（x0）=0当1xx0时，有（x）0，当xx0时，有（x）0从而y=（x）在区间1，x0上递增，在区间x0，+）上递减又（1）=e1+40，（2）=e2+50，（3）=e3+60，（4）=e4+50，（5）=e5+20，（6）=e630所以当1x5时，恒有（x）0；当x6时，恒有（x）0；故使命题成立的正整数m的最大值为5点评：本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值