2019-2020年高考数学 圆锥曲线之椭圆问题.doc

2019-2020年高考数学 圆锥曲线之椭圆问题（一）热点透析考查目标 1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系达成目标1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质用代数方法求解几何问题（二）知识回顾1 椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆； (2)若ac，则集合P为线段； (3)若ab0)1(ab0)图形 性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2（三）疑难解释1 椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0，椭圆的焦点在y轴上0mn.2 求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e (0e2，即k0，0kb0)的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A. B.C.1 D.1答案D解析依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因为b2a2c2，代入得c46a2c2a40，即e46e210，解得e232(32舍去)，从而e1.二、高频考点专题链接题型一求椭圆的标准方程例1(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为_；(2)(2011课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_提示：根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量答案(1)1或1(2)1解析(1)由已知从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.(2)设椭圆方程为1 (ab0)，由e知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故a4.b28. 椭圆C的方程为1.注意求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式 已知F1，F2是椭圆1 (ab0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OPAB，PF1x轴，|F1A|，则此椭圆的方程是_答案1解析由于直线AB的斜率为，故OP的斜率为，直线OP的方程为yx.与椭圆方程1联立，解得xa.因为PF1x轴，所以xa，从而ac，即ac.又|F1A|ac，故cc，解得c，从而a.所以所求的椭圆方程为1.题型二椭圆的几何性质例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关提示：(1)在PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|PF2|2a，可求|PF1|PF2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；(2)利用SF1PF2|PF1|PF2|sin 60可证(1)解设椭圆方程为1 (ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(当且仅当mn时取等号)，即e.又0eb0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240 知，a10，b5.题型三直线与椭圆的位置关系例3(2011北京)已知椭圆G：y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值提示：对于直线和椭圆的交点问题，一般要转化为方程组解的问题，充分体现数形结合思想解(1)由已知得a2，b1，所以c.所以椭圆G的焦点坐标为(，0)，(，0)离心率为e.(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，)此时|AB|.当m1时，同理可得|AB|.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m1时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，且当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.注意(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形 设F1、F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程提示第(1)问由|PF2|F1F2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2()210，得1(舍)，或.所以e.4分(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.6分得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，c)，所以|AB|c.8分于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.10分因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.12分提醒(1)解决与弦长有关的椭圆方程问题，首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数(2)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c)，这样可避免繁琐的运算方法与技巧1 求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b或m，n.2 讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2a2c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解总结1 判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小2 注意椭圆的范围，在设椭圆1 (ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因3 注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题，求函数的单调区间、最值时有重要意义巩固练习(时间：35分钟，57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (xx江西)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2答案B解析由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.2 已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A9 B1C1或9 D以上都不对答案C解析，解得a5，b3，c4.椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为ac9或ac1.3 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是 ()A.1 B.1C.y21 D.1答案A解析由 x2y22x150，知r42aa2.又e，c1，则b2a2c23.4 已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到y轴的距离为 ()A. B. C. D.答案B解析由题意，得F1(，0)，F2(，0)设M(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因为点M在椭圆上，故y21，即y21.将代入，得x22，解得x.故点M到y轴的距离为.二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230，则椭圆的离心率为_答案解析在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|，所以离心率e.6 已知椭圆1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是_答案解析F1(0，3)，F2(0,3)，3b0)，则A(a,0)，B(0，b)，C，F(，0)依题意，得，FM的直线方程是x，所以M.由于O，C，M三点共线，所以，即a222，所以a24，b22.所求方程是1.三、解答题(共22分)8 (10分)已知椭圆的两焦点为F1(1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，F2F1P120，求PF1F2的面积解(1)依题意得|F1F2|2，又2|F1F2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|42a.a2，c1，b23.所求椭圆的方程为1.(2)设P点坐标为(x，y)，F2F1P120，PF1所在直线的方程为y(x1)tan 120，即y(x1)解方程组并注意到x0，可得SPF1F2|F1F2|.9 (12分)(xx安徽)如图，点F1(c，0)，F2(c,0)分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点(1)解方法一由条件知，P，故直线PF2的斜率为kPF2.因为PF2F2Q，所以直线F2Q的方程为yx，故Q.由题设知，4,2a4，解得a2，c1.故椭圆方程为1.方法二设直线x与x轴交于点M.由条件知，P.因为PF1F2F2MQ，所以，即，解得|MQ|2a.所以解得故椭圆方程为1.(2)证明直线PQ的方程为，即yxa.将上式代入1得x22cxc20，解得xc，y.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点拓展训练（时间:25分钟，43分）一、选择题(每小题5分，共15分)1 (xx课标全国)设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.答案C解析由题意，知F2F1PF2PF130，PF2x60.|PF2|23a2c.|F1F2|2c，|F1F2|PF2|，3a2c2c，e.2 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ()A2 B3 C6 D8答案C解析由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P为椭圆上一点，1.xx03(1)x03(x02)22.2x02，的最大值在x02时取得，且最大值等于6.3 在椭圆1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为()Ax4y50 Bx4y50C4xy50 D4xy50答案A解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由，得0，因所以，所以所求直线方程为y1(x1)，即x4y50.二、填空题(每小题5分，共15分)4 设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_答案15解析|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.5. 如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆1 (ab0)上一点，若PF1PF2，tanPF1F2，则此椭圆的离心率是_答案解析由题得PF1F2为直角三角形，设|PF1|m，tanPF1F2，|PF2|，|F1F2|m，e.6 已知椭圆1 (ab0)的离心率等于，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.三、解答题7 (13分)已知椭圆1 (ab0)的长轴长为4，离心率为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l过点P且垂直于l，交y轴于点B.(1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由解(1)2a4，a2，c1，b.椭圆的方程为1.(2)能设点P(x0，y0) (x00，y00)，由题意知直线l的斜率存在设直线l的方程为yy0k(xx0)，代入1，整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的两个相等实根，2x0，解得k.直线l的方程为yy0(xx0)令x0，得点A的坐标为.又1，4y3x12.点A的坐标为.又直线l的方程为yy0(xx0)，令x0，得点B的坐标为.以AB为直径的圆的方程为xx0.整理，得x2y2y10.令y0，得x1，以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(1,0)