2019-2020年高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学正、余弦定理的综合应用在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.(1) 求角B的大小;(2) 若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.思维引导对于(1),可结合正弦定理将bsin A=acos B转化为角的关系,然后再求角B的大小;对于(2),可先结合余弦定理求边a,然后再求c.解答(1) 因为bsin A=acos B,由正弦定理可得sin Bsin A=sin Acos B,即tan B=,所以B=.(2) 因为sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,9=a2+4a2-2a2acos,解得a=,所以c=2a=2.【题组强化重点突破】1. 在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinA=sinC,B=30,b=2,则ABC 的面积是.答案解析由正弦定理得a=c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即4=3c2+c2-2cccos30,所以c=2,a=2,所以S=acsin30=.2. (xx景德镇质检)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2sinA,+=0.(1) 求c的值;(2) 求ABC面积的最大值.解答(1) 因为+=0,所以ccosB+2acosC+bcosC=0,所以sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,所以sinA+2sinAcosC=0.因为sinA0,所以cosC=-,因为0C,所以C=,所以c=sinC=.(2) 因为cosC=-=,所以a2+b2+ab=3,所以3ab3,即ab1,当且仅当a=b=1时取等号,所以SABC=absinC,所以ABC面积的最大值为.3. (xx苏州期末)在ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+c=b.(1) 求角A的大小;(2) 若a=,b=4,求边c的大小.解答方法一:(1) 由正弦定理和acosC+c=b,得sinAcosC+sinC=sinB.因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinC=cosAsinC.因为sinC0,所以cosA=.因为0A,所以A=.(2) 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,a=,b=4,得15=16+c2-24c,即c2-4c+1=0,解得c=2.方法二:(1) 由射影定理及acosC+ccosA=b,得cosA=,而0A,所以A=.(2) 由正弦定理=及sinA=,a=,b=4,解得sinB=.由三角形大边对大角,小边对小角,知cosB=,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sin BcosA=+=,再由正弦定理得=,求得c=2.解三角形的实际应用问题如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=30,ADB=45,求BD的长.(例2)思维引导由于AB=5,ADB=45,因此要求BD,可在ABD中,由正弦定理求解,关键是确定BAD的正弦值.在ABC中,AB=5,AC=9,ACB=30,因此可用正弦定理求出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可.解答在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30.由正弦定理得=,则sinABC=.因为ADBC,所以BAD=180-ABC,所以sinBAD=sinABC=.同理,在ABD中,AB=5,sinBAD=,ADB=45,由正弦定理得=,解得BD=.精要点评此题需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,求cos.(例3)思维引导先由正弦定理求得sinBAC,注意到=ACB+30,再利用两角和的余弦求解.解答在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2 800,所以BC=20.由正弦定理得sinACB=sinBAC=.由BAC=120,知ACB为锐角,故cosACB=.故cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=-=.精要点评恰当选择三角形利用正、余弦定理解出所需要的边和角,再利用两角和与差的三角函数公式求解.(xx湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1) 求cosCAD的值;(2) 若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.解答(1) 在ADC中,由余弦定理得cosCAD=.(2) 设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理得=,故BC=3.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8s后A,C点同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(范题赏析)(1) 设点A到目标P的距离为x km,用x表示点B,C到目标P的距离,并求x的值;(2) 求目标P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01 km).规范答题(1) 依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.(2分)在PAB中,AB=20,cosPAB=.(4分)同理,在PAC中,AC=50,cosPAC=.(6分)因为cosPAB=cosPAC,所以=,解得x=31.(8分)(2) 作PDAC于点D,则D为AC的中点,AD=25.在ADP中,由cosPAD=,得sinPAD=.(12分)所以PD=PAsinAPD=31=418.33 km.故静止目标P到海防警戒线AC的距离约为18.33 km.(14分)1. 如果某人朝正东方向走x km后,向右转150,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好为km,那么x=.答案2或解析由余弦定理可得x2+32-23xcos 30=()2,解得x=2或.2. 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=.答案3. 如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点的距离为m.(第3题)答案50解析由正弦定理得=,所以AB=50(m).4. 在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时,风向是北偏东30,风速是20 km/h;水的流向是正东方向,流速是20 km/h.若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东,速度的大小为km/h.答案6020解析如图,AOB=60,(第4题)由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120=1 200,故OC=20.易得BOC=30,所以救生艇漂行的方向为北偏东60.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第63-64页).