2019-2020年高中数学 课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用 新人教版必修5.doc

2019-2020年高中数学 课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用 新人教版必修51已知方程x2sinA2xsinBsinC0有重根，则ABC的三边a、b、c满足关系式()AbacBb2acCabc Dcab答案B解析由0，得4sin2B4sinAsinC0，结合正弦定理得b2ac.2在ABC中，已知A30，且3ab12，则c的值为()A4 B8C4或8 D无解答案C解析由3ab12，得a4，b4，利用正弦定理可得B为60或120，从而解出c的值3在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为()A. B3C. D7答案A解析由SABC，得ABACsinA.即2AC，AC1，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA22122213.BC.4在ABC中，2acosBc，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案A解析方法一由余弦定理，得2ac.所以a2c2b2c2.则ab.则ABC是等腰三角形方法二由正弦定理，得22RsinAcosB2RsinC，即2sinAcosBsinC.又sin(AB)sin(AB)2sinAcosB，所以sin(AB)sin(AB)sinC.又ABC，所以sin(AB)sinC.所以sin(AB)0.又0A，0B，则AB.所以有AB，则ABC是等腰三角形讲评方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系方法二中，如果没有想到等式sin(AB)sin(AB)2sinAcosB，那么就会陷入困境由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状5(xx安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则角C()A. B.C. D.答案B解析3sinA5sinB，3a5b.又bc2a，由可得，ab，cb.cosC.C.6已知锐角三角形的边长分别是3,5，x，则x的取值范围是()A1x B4xC1x4 D4x0，得x4.若x最大，则3252x20，得0x.又2x8，则4x.7在ABC中，已知sinAsinB1，c2b2bc，则三内角A、B、C的度数依次是_答案45、30、105解析ab，a2b2c22bccosA.2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A45，sinB，B30，C105.8在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(bc)cosAacosC，则cosA_.答案解析由正弦定理，得(sinBsinC)cosAsinAcosC.化简得sinBcosAsin(AC)0sinB1，cosA.9设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2bsinA.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.解析(1)由a2bsinA，得sinA2sinBsinA，所以sinB.由ABC为锐角三角形，得B.(2)根据余弦定理，得b2a2c22acosB2725457，所以b.10在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解析(1)由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosA.故cosA，又A(0，)，故A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1，得sinBsinC.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形11在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解析在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理，得cosADC.ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理，得.AB5.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足S(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求sinAsinB的最大值解析(1)由题意可知absinC2abcosC，所以tanC.因为0C，所以C.(2)由已知sinAsinBsinAsin(CA)sinAsin(A)sinAcosAsinAsin(A).当ABC为正三角形时取等号，所以sinAsinB的最大值是.13在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinBsinC的最大值解析(1)由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosA.故cosA，A120.(2)由(1)，得sinBsinCsinBsin(60B)cosBsinBsin(60B)故当B30时，sinBsinC取得最大值1.重点班选作题14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC时，求b及c的长解析(1)因为cos2C12sin2C，及0C，所以sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1，及0Cb，则B()A.B.C. D.答案A解析根据正弦定理，得asinBcosCcsinBcosAb等价于sinAcosCsinCcosA，即sin(AC).又ab，AC，B.故选A项2(xx北京)在ABC中，若a2，bc7，cosB，则b_.答案4解析由余弦定理，得cosB，解得b4.3(2011湖北)设ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_.答案解析由(abc)(abc)ab，整理，可得a2b2c2ab.cosC，C.4(xx北京)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cosA的值；(2)若c的值解析(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理，得.所以.故cosA.(2)由(1)知，cosA，所以sinA.又因为B2A，所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.所以c5.5(xx江西)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC(cosAsinA)cosB0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解析(1)由已知得cos(AB)cosAcosBsinAcosB0，即有sinAsinBsinAcosB0.因为sinA0，所以sinBcosB0.又cosB0，所以tanB，又0B，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accosB.因为ac1，cosB，所以b23(a)2.又0a1，于是有b21，即b1.6(xx四川)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosBsin(AB)sinBcos(AC)，(1)求cosA的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解析(1)由2cos2cosBsin(AB)sinBcos(AC)，得cos(AB)1cosBsin(AB)sinBcosB，即cos(AB)cosBsin(AB)sinB.则cos(ABB)，即cosA.(2)由cosA，0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c225c()，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cosB.7(xx重庆)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值解析(1)由余弦定理，得cosA.又因0A，所以A.(2)由(1)得sinA，又由正弦定理及a，得SbcsinAasinC3sinBsinC.因此，S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC)所以，当BC，即B时，S3cosBcosC取最大值3.8(xx新课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解析(1)由acosCasinCbc0及正弦定理，得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin(A).又0A，故A.(2)ABC的面积SbcsinA，故bc4.而a2b2c22bcosA，故b2c28.解得bc2.9(xx辽宁)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值解析(1)由已知2BAC，ABC180，解得B60，所以cosB.(2)方法一由已知b2ac，及cosB，根据正弦定理，得sin2BsinAsinC.所以sinAsinC1cos2B.方法二由已知b2ac，及cosB，根据余弦定理，得cosB，解得ac.所以ACB60，故sinAsinC.1已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边若a1，b，AC2B，则sinC_.答案1解析由AC2B，且ABC得B，AC.由正弦定理，可得sinA.又因为ab，所以A，故CA，sinC1.2(xx四川)在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA，sinB.(1)求AB的值；(2)若ab1，求a、b、c的值解析(1)A、B为锐角，sinA，sinB，cosA，cosB.cos(AB)cosAcosBsinAsinB.0AB，AB.(2)由(1)知C，sinC.由正弦定理，得abc，即ab，cb.ab1，bb1，b1.a，c.3.如图所示，已知圆O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC1，点P是圆O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧(1)若POB，试将四边形OPDC的面积y表示成的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值解析(1)在POC中，由余弦定理，得PC2OP2OC22OPOCcos1222212cos54cos.ySOPCSPCD12sin(54cos)sincos2sin().(2)当，即时，ymax2.4已知周长l18，S6，C60，求a、b边解析周长l18，S6，C60，(方程思想的应用)整理(从解这个方程组的过程中掌握方法)将代入，得c2a2b224.、联立：消去c，整理得ab11.由、得a3，b8或a8，b3.5(xx浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若c1，求a的值解析(1)因为cos，所以cosA2cos21，sinA.又由3，得bccosA3，所以bc5.因此SABCbcsinA2.(2)由(1)知，bc5.又c1，所以b5.由余弦定理，得a2b2c22bccosA20.所以a2.6(xx江苏)在ABC中，已知3.(1)求证：tanB3tanA；(2)若cosC，求A的值解析(1)证明：因为3，所以ABACcosA3BABCcosB.即ACcosA3BCcosB，由正弦定理知，从而sinBcosA3sinAcosB.又因为0AB0，cosB0.所以tanB3tanA.(2)因为cosC，0C0，故tanA1，所以A.7在ABC中，已知内角A，边BC2.设内角Bx，周长为y.(1)求函数yf(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值解析(1)ABC的内角和ABC.由A，B0，C0，得0B应用正弦定理，知ACsinBsinx4sinx，ABsinC4sin(x)因为yABBCAC，所以y4sinx4sin(x)2(0x)(2)因为y4(sinxcosxsinx)24sin(x)2(x)，所以，当x，即x时，y取得最大值6.8(xx安徽)设ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bc)解析(1)因为sin2A(cosBsinB)(cosBsinB)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B，所以sinA.又A为锐角，所以A.(2)由12，可得cbcosA12.由(1)知A，所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcosA，将a2及代入，得c2b252.由2，得(cb)2100，所以cb10.因此，c，b是一元二次方程t210t240的两个根解此方程并由cb知c6，b4.9(xx大纲全国)已知ABC的内角A，B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求内角C.解析由abacotAbcotB及正弦定理，得sinAsinBcosAcosB，sinAcosAcosBsinB.从而sinAcoscosAsincosBsinsinBcos，sin(A)sin(B)又0AB，故AB，AB.所以C.10在ABC中，B45，AC，cosC.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长解析(1)由cosC，得sinC.sinAsin(18045C)(cosCsinC).由正弦定理知BCsinA3.(2)ABsinC2.BDAB1.由余弦定理知CD.11已知函数f(x)2sinxcos2cosxsinsinx(0)在x处取最小值(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边已知a1，b，f(A)，求角C.解析(1)f(x)2sinxcosxsinsinxsinxsinxcoscosxsinsinxsinxcoscosxsinsin(x)，因为f(x)在x处取最小值，所以sin()1.故sin1.又0，所以.(2)由(1)知f(x)sin(x)cosx.因为f(A)cosA，且A为ABC的内角，所以A.由正弦定理，得sinB.所以B或B.当B时，CAB，当B时，CAB.综上所述，C或C.12(1)在锐角ABC中，已知A2B，试求的取值范围(2)在ABC中，已知c1，b2，求角C的最大值解析(1)ABC是锐角三角形，B90，A90，C90.由题意，得解得30B45.由正弦定理，得2cosB.又cosB，.(2)由正弦定理，得sinCsinB.cb，即角C为锐角，C30，即角C的最大值为30.