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2019-2020年高中数学 课时作业6 应用举例(第2课时)正、余弦定理的综合应用 新人教版必修51已知方程x2sinA2xsinBsinC0有重根,则ABC的三边a、b、c满足关系式()AbacBb2acCabc Dcab答案B解析由0,得4sin2B4sinAsinC0,结合正弦定理得b2ac.2在ABC中,已知A30,且3ab12,则c的值为()A4 B8C4或8 D无解答案C解析由3ab12,得a4,b4,利用正弦定理可得B为60或120,从而解出c的值3在ABC中,A60,AB2,且ABC的面积SABC,则边BC的长为()A. B3C. D7答案A解析由SABC,得ABACsinA.即2AC,AC1,由余弦定理,得BC2AB2AC22ABACcosA22122213.BC.4在ABC中,2acosBc,则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案A解析方法一由余弦定理,得2ac.所以a2c2b2c2.则ab.则ABC是等腰三角形方法二由正弦定理,得22RsinAcosB2RsinC,即2sinAcosBsinC.又sin(AB)sin(AB)2sinAcosB,所以sin(AB)sin(AB)sinC.又ABC,所以sin(AB)sinC.所以sin(AB)0.又0A,0B,则AB.所以有AB,则ABC是等腰三角形讲评方法一是转化为三角形的边的关系,利用代数运算获得三角形的关系式;方法二是转化为三角形的角的关系,利用三角函数知识获得了三角形的角的关系方法二中,如果没有想到等式sin(AB)sin(AB)2sinAcosB,那么就会陷入困境由于受三角函数知识的限制,提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状5(xx安徽)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若bc2a,3sinA5sinB,则角C()A. B.C. D.答案B解析3sinA5sinB,3a5b.又bc2a,由可得,ab,cb.cosC.C.6已知锐角三角形的边长分别是3,5,x,则x的取值范围是()A1x B4xC1x4 D4x0,得x4.若x最大,则3252x20,得0x.又2x8,则4x.7在ABC中,已知sinAsinB1,c2b2bc,则三内角A、B、C的度数依次是_答案45、30、105解析ab,a2b2c22bccosA.2b2b2c22bccosA,又c2b2bc,cosA,A45,sinB,B30,C105.8在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(bc)cosAacosC,则cosA_.答案解析由正弦定理,得(sinBsinC)cosAsinAcosC.化简得sinBcosAsin(AC)0sinB1,cosA.9设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a2bsinA.(1)求B的大小;(2)若a3,c5,求b.解析(1)由a2bsinA,得sinA2sinBsinA,所以sinB.由ABC为锐角三角形,得B.(2)根据余弦定理,得b2a2c22acosB2725457,所以b.10在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinBsinC1,试判断ABC的形状解析(1)由已知,根据正弦定理,得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理,得a2b2c22bccosA.故cosA,又A(0,),故A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1,得sinBsinC.因为0B90,0C90,故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形11在ABC中,已知B45,D是BC边上的一点,AD10,AC14,DC6,求AB的长解析在ADC中,AD10,AC14,DC6,由余弦定理,得cosADC.ADC120,ADB60.在ABD中,AD10,B45,ADB60,由正弦定理,得.AB5.12在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积,满足S(a2b2c2)(1)求角C的大小;(2)求sinAsinB的最大值解析(1)由题意可知absinC2abcosC,所以tanC.因为0C,所以C.(2)由已知sinAsinBsinAsin(CA)sinAsin(A)sinAcosAsinAsin(A).当ABC为正三角形时取等号,所以sinAsinB的最大值是.13在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小;(2)求sinBsinC的最大值解析(1)由已知,根据正弦定理,得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理,得a2b2c22bccosA.故cosA,A120.(2)由(1),得sinBsinCsinBsin(60B)cosBsinBsin(60B)故当B30时,sinBsinC取得最大值1.重点班选作题14在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C.(1)求sinC的值;(2)当a2,2sinAsinC时,求b及c的长解析(1)因为cos2C12sin2C,及0C,所以sinC.(2)当a2,2sinAsinC时,由正弦定理,得c4.由cos2C2cos2C1,及0Cb,则B()A.B.C. D.答案A解析根据正弦定理,得asinBcosCcsinBcosAb等价于sinAcosCsinCcosA,即sin(AC).又ab,AC,B.故选A项2(xx北京)在ABC中,若a2,bc7,cosB,则b_.答案4解析由余弦定理,得cosB,解得b4.3(2011湖北)设ABC的内角,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(abc)(abc)ab,则角C_.答案解析由(abc)(abc)ab,整理,可得a2b2c2ab.cosC,C.4(xx北京)在ABC中,a3,b2,B2A.(1)求cosA的值;(2)若c的值解析(1)因为a3,b2,B2A,所以在ABC中,由正弦定理,得.所以.故cosA.(2)由(1)知,cosA,所以sinA.又因为B2A,所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中,sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.所以c5.5(xx江西)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC(cosAsinA)cosB0.(1)求角B的大小;(2)若ac1,求b的取值范围解析(1)由已知得cos(AB)cosAcosBsinAcosB0,即有sinAsinBsinAcosB0.因为sinA0,所以sinBcosB0.又cosB0,所以tanB,又0B,所以B.(2)由余弦定理,有b2a2c22accosB.因为ac1,cosB,所以b23(a)2.又0a1,于是有b21,即b1.6(xx四川)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosBsin(AB)sinBcos(AC),(1)求cosA的值;(2)若a4,b5,求向量在方向上的投影解析(1)由2cos2cosBsin(AB)sinBcos(AC),得cos(AB)1cosBsin(AB)sinBcosB,即cos(AB)cosBsin(AB)sinB.则cos(ABB),即cosA.(2)由cosA,0Ab,则AB,故B.根据余弦定理,有(4)252c225c(),解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cosB.7(xx重庆)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2b2c2bc.(1)求A;(2)设a,S为ABC的面积,求S3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值解析(1)由余弦定理,得cosA.又因0A,所以A.(2)由(1)得sinA,又由正弦定理及a,得SbcsinAasinC3sinBsinC.因此,S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC)所以,当BC,即B时,S3cosBcosC取最大值3.8(xx新课标全国)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acosCasinCbc0.(1)求A;(2)若a2,ABC的面积为,求b,c.解析(1)由acosCasinCbc0及正弦定理,得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因为BAC,所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0,所以sin(A).又0A,故A.(2)ABC的面积SbcsinA,故bc4.而a2b2c22bcosA,故b2c28.解得bc2.9(xx辽宁)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列(1)求cosB的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值解析(1)由已知2BAC,ABC180,解得B60,所以cosB.(2)方法一由已知b2ac,及cosB,根据正弦定理,得sin2BsinAsinC.所以sinAsinC1cos2B.方法二由已知b2ac,及cosB,根据余弦定理,得cosB,解得ac.所以ACB60,故sinAsinC.1已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边若a1,b,AC2B,则sinC_.答案1解析由AC2B,且ABC得B,AC.由正弦定理,可得sinA.又因为ab,所以A,故CA,sinC1.2(xx四川)在ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且sinA,sinB.(1)求AB的值;(2)若ab1,求a、b、c的值解析(1)A、B为锐角,sinA,sinB,cosA,cosB.cos(AB)cosAcosBsinAsinB.0AB,AB.(2)由(1)知C,sinC.由正弦定理,得abc,即ab,cb.ab1,bb1,b1.a,c.3.如图所示,已知圆O的半径为1,点C在直径AB的延长线上,BC1,点P是圆O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧(1)若POB,试将四边形OPDC的面积y表示成的函数;(2)求四边形OPDC面积的最大值解析(1)在POC中,由余弦定理,得PC2OP2OC22OPOCcos1222212cos54cos.ySOPCSPCD12sin(54cos)sincos2sin().(2)当,即时,ymax2.4已知周长l18,S6,C60,求a、b边解析周长l18,S6,C60,(方程思想的应用)整理(从解这个方程组的过程中掌握方法)将代入,得c2a2b224.、联立:消去c,整理得ab11.由、得a3,b8或a8,b3.5(xx浙江)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos,3.(1)求ABC的面积;(2)若c1,求a的值解析(1)因为cos,所以cosA2cos21,sinA.又由3,得bccosA3,所以bc5.因此SABCbcsinA2.(2)由(1)知,bc5.又c1,所以b5.由余弦定理,得a2b2c22bccosA20.所以a2.6(xx江苏)在ABC中,已知3.(1)求证:tanB3tanA;(2)若cosC,求A的值解析(1)证明:因为3,所以ABACcosA3BABCcosB.即ACcosA3BCcosB,由正弦定理知,从而sinBcosA3sinAcosB.又因为0AB0,cosB0.所以tanB3tanA.(2)因为cosC,0C0,故tanA1,所以A.7在ABC中,已知内角A,边BC2.设内角Bx,周长为y.(1)求函数yf(x)的解析式和定义域;(2)求y的最大值解析(1)ABC的内角和ABC.由A,B0,C0,得0B应用正弦定理,知ACsinBsinx4sinx,ABsinC4sin(x)因为yABBCAC,所以y4sinx4sin(x)2(0x)(2)因为y4(sinxcosxsinx)24sin(x)2(x),所以,当x,即x时,y取得最大值6.8(xx安徽)设ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值;(2)若12,a2,求b,c(其中bc)解析(1)因为sin2A(cosBsinB)(cosBsinB)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B,所以sinA.又A为锐角,所以A.(2)由12,可得cbcosA12.由(1)知A,所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcosA,将a2及代入,得c2b252.由2,得(cb)2100,所以cb10.因此,c,b是一元二次方程t210t240的两个根解此方程并由cb知c6,b4.9(xx大纲全国)已知ABC的内角A,B及其对边a,b满足abacotAbcotB,求内角C.解析由abacotAbcotB及正弦定理,得sinAsinBcosAcosB,sinAcosAcosBsinB.从而sinAcoscosAsincosBsinsinBcos,sin(A)sin(B)又0AB,故AB,AB.所以C.10在ABC中,B45,AC,cosC.(1)求BC边的长;(2)记AB的中点为D,求中线CD的长解析(1)由cosC,得sinC.sinAsin(18045C)(cosCsinC).由正弦定理知BCsinA3.(2)ABsinC2.BDAB1.由余弦定理知CD.11已知函数f(x)2sinxcos2cosxsinsinx(0)在x处取最小值(1)求的值;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边已知a1,b,f(A),求角C.解析(1)f(x)2sinxcosxsinsinxsinxsinxcoscosxsinsinxsinxcoscosxsinsin(x),因为f(x)在x处取最小值,所以sin()1.故sin1.又0,所以.(2)由(1)知f(x)sin(x)cosx.因为f(A)cosA,且A为ABC的内角,所以A.由正弦定理,得sinB.所以B或B.当B时,CAB,当B时,CAB.综上所述,C或C.12(1)在锐角ABC中,已知A2B,试求的取值范围(2)在ABC中,已知c1,b2,求角C的最大值解析(1)ABC是锐角三角形,B90,A90,C90.由题意,得解得30B45.由正弦定理,得2cosB.又cosB,.(2)由正弦定理,得sinCsinB.cb,即角C为锐角,C30,即角C的最大值为30.
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