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第七节二次函数的综合应用,考点一线段、周长问题例1(2017东营中考)如图，直线yx分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，ACB90，抛物线yax2bx经过A，B两点,(1)求A，B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值,【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标；(2)利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)根据题意可推出当MD取得最大值时，DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值,【自主解答】(1)直线yx分别与x轴、y轴交于B，C两点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)ACOBCO90，ACOCAO90，CAOBCO.AOCCOB90，AOCCOB，点A的坐标为(1，0),(2)抛物线yax2bx经过A，B两点，抛物线的解析式为y,(3)由题意知，DMH为直角三角形，且M30，当MD取得最大值时，DMH的周长最大,DMH周长的最大值为,1(2017东营冲刺卷)如图所示，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点A，B的坐标(2)求二次函数的解析式(3)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标,(4)在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由,1解：(1)A(1，0)，B(7，0)(2)设二次函数的解析式为ya(x1)(x7)过点(0，)，代入得7a.解得a，二次函数的解析式为y(x1)(x7),(3)点A，B关于直线x4对称，PAPB，PAPDPBPDDB，DB与对称轴的交点即为所求点P.如图，设直线x4与x轴交于点M.PMOD，BPMBDO.又PBMDBO，BPMBDO，,(4)存在由(2)可得出点C的坐标为(4，)AM3，在RtAMC中，tanACM，ACM60.ACBC，ACB120.,如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QNx轴于点N.如果ABBQ，由ACBABQ得BQ6，ABQACB120，则QBN60，QN3，BN3，ON10，此时点Q的坐标为(10，3),如果ABAQ，由对称性知Q的坐标为(2，3)，经检验，点(10，3)与(2，3)都在抛物线上当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)综上所述，存在这样的点Q，使QAB与ABC相似，点Q的坐标为(10，3)或(2，3)或(4，),考点二图形面积问题例2(2016东营中考)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别是(0，4)，(1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC.,(1)若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P，N，B，Q构成平行四边形时，求点P的坐标；当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标,【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC，且点A的坐标是(0，4)，可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)连接AA，设直线AA的解析式为ykxb，利用待定系数法即可求得直线AA的解析式，再设点M的坐标为(x，x23x4)，继而可得AMA的面积，求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案,【自主解答】(1)平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC，且点A的坐标是(0，4)，点A的坐标为(4，0)点A，C的坐标分别是(0，4)，(1，0)，抛物线过点C，A，A，,设抛物线的解析式为yax2bxc，此抛物线的解析式为yx23x4.,(2)如图，连接AA，设直线AA的解析式为ykxb，,直线AA的解析式为yx4.设点M的坐标为(x，x23x4)，则SAMA4x23x4(x4)2x28x2(x2)28，当x2时，AMA的面积最大，最大值SAMA8，M的坐标为(2，6),(3)设点P的坐标为(x，x23x4)当P，N，B，Q构成平行四边形时，平行四边形ABOC中，点A，C的坐标分别是(0，4)，(1，0)，点B的坐标为(1，4)点Q坐标为(1，0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点,当BQ为边时，PNBQ，PNBQ.BQ4，x23x44.当x23x44时，解得x10，x23，P1(0，4)，P2(3，4)；当x23x44时，,当BQ为对角线时，BPQN，BPQN，此时P与P1，P2重合,综上可得，点P的坐标为P1(0，4)，P2(3，4)，P3(，4)，P4(，4)当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为(0，0)或(3，0),2(2018遂宁中考)如图，已知抛物线yax2x4的对称轴是直线x3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；,(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求M点的坐标,解：(1)抛物线yax2x4的对称轴是直线x3，3，解得a，抛物线的解析式为yx2x4.当y0时，x2x40，解得x12，x28，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0),(2)当x0时，yx2x44，点C的坐标为(0，4)设直线BC的解析式为ykxb(k0)将B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得,直线BC的解析式为yx4.假设存在，设点P的坐标为(x，x2x4)如图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，,则点D的坐标为(x，x4)，PDx2x4(x4)x22x，SPBCPDOB8(x22x)x28x(x4)216.10，当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16.0x8，存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16.,(3)设点M的坐标为(m，m2m4)，则点N的坐标为(m，m4)，MN|m2m4(m4)|m22m|.又MN3，|m22m|3.,当0m8时，有m22m30，解得m12，m26，点M的坐标为(2，6)或(6，4)当m0或m8时，有m22m30，解得m342，m442，,点M的坐标为(42，1)或(42，1)综上所述，M点的坐标为(42，1)，(2，6)，(6，4)或(42，1),考点三动点、存在点问题例3(2018东营中考)如图，抛物线ya(x1)(x3)(a0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；,(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】(1)令y0，求出x的值，确定出OA与OB的长度，根据已知相似三角形的比例，求出OC的长即可；(2)根据C为BM的中点，求出OD的长度，利用待定系数法确定出直线BM的解析式，把点C坐标代入抛物线求出a的值，即可确定出二次函数解析式；(3)四边形ABPC面积最大即BPC面积最大，向下平移BM与抛物线有唯一公共点时，BCD面积最大，构造一元二次方程，求得0时m的值，进而求得P点坐标,【自主解答】(1)令a(x1)(x3)0，可得x11，x23，OA1，OB3.OCAOBC，OC2OAOB133，OC.,(2)如图，过点C作CDx轴，垂足为点D，则CDOM.点C是BM的中点，ODOB，,设直线BM的解析式为ykxb，将B，C两点的坐标代入得,(3)存在如图，S四边形ABPCSABCSBPC，SABC是常量，SBPC的面积随点P的位置变化而变化，向下平移直线BM，当平移后的直线BM和抛物线,000,3(2018泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE.(1)求二次函数的解析式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；,(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由,解：(1)由题意可得二次函数的解析式为yx2x6.,(2)由A(4，0)，E(0，2)，可求得AE所在直线解析式为yx2.如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H.,设D点坐标为(x0，x02x06)，则F点坐标为(x0，x02)，则DFx02x06(x02)x02x08.又SADESADFSEDF，SADEDFAGDFEH4DF,2(x02x08)(x0)2，当x0时，ADE的面积取得最大值.(3)P点的坐标为(1，1)，(1，)，(1，2),考点四二次函数综合题百变例题(2018济宁中考)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；,(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可,【自主解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，ya(x3)(x1)又抛物线经过点C(0，3)，3a(03)(01)，解得a1，抛物线的解析式为y(x3)(x1)，即yx22x3.,(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N，BAMABM90.在RtBCO中，BCOABM90，BAMBCO.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AOCO3，OB1.,又BAMBCO，BOCAON90，AONCOB，ONOB1，N(0，1)设直线AM的函数解析式为ykxb，把A(3，0)，N(0，1)代入得,解得直线AM的函数解析式为yx1.同理可求直线BC的函数解析式为y3x3.解方程组得切点M的坐标为(，),(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形设Q(t，0)，P(m，m22m3)分两种情况考虑：当四边形BCQP为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30，,解得m1.当m1时，m22m3822233，即P(1，3)；当m1时，m22m3822233，即P(1，3),当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1t0m，003(m22m3)，解得m0或2.当m0时，P(0，3)(舍去)；当m2时，P(2，3)综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(1，3)或(1，3)或(2，3),变式1：若点D是抛物线的顶点，求ACD面积与ABC面积的比解：如图，连接AC，AD，CD，作DLx轴于点L.,SACDS梯形OCDLSADLSAOC(34)124333，SABCABOC436，SACDSABC3612.,变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EFBC交抛物线于点F，随着E点的运动，在抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在理由如下：如图，当点F在x轴下方时，作FRx轴于点R.四边形BCFE为平行四边形，EFBC，ERFBOC，RFOC3，3x22x3，解得x2或x0(与C点重合，舍去)，F(2，3),如图，当F在x轴上方时，作FSx轴于点S.四边形BCEF为平行四边形，EFBC，EFSBCO，FSOC3，3x22x3，解得x11，x21.综上所述，F点为(2，3)或(1，3)或(1，3),变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G作GHy轴交抛物线于H，若点G的横坐标为m，请用m的代数式表示GH的长,解：设直线AC的解析式为ykx3，则有03k3，解得k1，故直线AC的解析式为yx3.已知点G的横坐标为m，则G(m，m3)，H(m，m22m3)，GHm3(m22m3)m23m(0m3),变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使WBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点W的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在点W的坐标为(1，0)或(1，)或(1，)或(1，1)提示：设对称轴上的点W为(1，m)，BC，,
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