2019-2020年高考数学大一轮复习 第三章 第20课 导数的综合应用要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第三章 第20课 导数的综合应用要点导学利用导数研究函数的性质(xx重庆卷)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c.(1) 确定a,b的值;(2) 若c=3,判断f(x)的单调性.思维引导(1) 由f(x)为偶函数和曲线在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c列方程,求出a,b的值;(2) 通过求导,判断f(x)的单调性.解答(1) f(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x),即2(a-b)(e2x+e-2x)=0,因为e2x+e-2x0,所以a=b.又f(0)=2a+2b-c=4-c,即a+b=2.联立解得a=1,b=1.(2) 当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,f(x)=2e2x+2e-2x-32-3=10.故f(x)在R上为增函数.精要点评含有参数的导数试题,主要考查两个方面:一是根据给出的某些条件,求出这些参数值,基本思想方法是方程的思想;二是确定参数的范围(或取值)使得函数具有某种性质,基本解题思想是函数思想,分类讨论思想.(xx梁丰高级中学)已知函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间-1,1上单调递减,在区间1,2上单调递增.(1) 求实数a的值;(2) 若关于x的方程f(x)=m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围.解答(1) f(x)=-x3+2x2+2ax-2.由题意得f(1)=0,则a=,经检验符合题意.(变式)(2) 由(1)知f(x)=-(x-1)(x+1)(x-2),易知函数f(x)在(-,-1),(1,2)上单调递增,在(-1,1),(2,+)上单调递减,所以函数f(x)的极大值为f(-1)=-,极小值为f(1)=-,f(2)=-,f(x)=m有三个不同的实数解等价于函数y=f(x)与y=m有3个交点,结合图象可知m.利用导数研究实际生活中的优化问题(xx淄博期末)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个四棱柱形状的包装盒,其中E,F是AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问:x应取何值?(2) 某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问:x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.(例2)解答设包装盒的高为hcm,底面边长为acm,由已知得a=x,h=(30-x),0x30.(1) S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时,S取得最大值.(2) V=a2h=-2x3+60x2,0x0,当x(20,30)时,V0,又由h0,可得r0,V(r)单调递增;当r(5,5)时,V(r)0,V(r)单调递减.由此可知,V(r)在r=5处取最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.(xx萧县模拟)已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).(1) 若f(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2) 求f(x)在区间0,2上的最大值.规范解答(1) f(x)=3x2-2ax,由f(1)=3,得a=0,从而可得曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x-y-2=0.(4分)(2) 令f(x)=0,得x1=0,x2=.当0,即a0时,f(x)在0,2上单调递增,f(x)max=f(2)=8-4a.(7分)当2,即a3时,f(x)在0,2上单调递减,f(x)max=f(0)=0.(10分)当02,即0a3时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,函数f(x)(0x2)的最大值只可能在x=0或x=2处取到,因为f(0)=0,f(2)=8-4a,令f(2)f(0),得a2,所以f(x)max=综上,f(x)max= (14分)1. 设aR,函数f(x)=ax3-3x2.若x=2是函数y=f(x)的极值点,则实数a的值为.答案1解析f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f(2)=0,即6(2a-2)=0,所以a=1.经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.2. 曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 .答案y=4x-33. 已知函数y=f(x)及其导函数y=f(x)的图象如图所示,那么曲线y=f(x)在点P处的切线方程是.(第3题)答案x-y-2=0解析根据导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率等于f(2) =1.又过点P(2,0),所以切线方程为x-y-2=0.4. 将一块20 cm32 cm的矩形铁片的四个角各减去一个相同的正方形,再将四边折起,制成一个无盖的长方体盒子,则该盒子的体积的最大值为cm3.答案1 152解析设长方体的高为x,则体积V=x(20-2x)(32-2x),则V=4(3x2-52x+160)=0,解得x=4或x=(舍去).由导数知识易知,当x=4时,Vmax=1 152.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第39-40页).