2019-2020年高考数学 函数拓展 专题一 函数的极值、最值问题理.doc

2019-2020年高考数学 函数拓展 专题一 函数的极值、最值问题理一、知识要点归纳(1)函数中与极值以及最值相关的常见题型 1直接求极值或者最值问题 这类题的一般思路为：利用导数分析单调性，结合导函数图象(或者决定导函数符号的函数图象)写出单调区间，求出极值、最值。注：对于求导后含参数的函数，一定要具备分类讨论的意识,一般来讲求导后， 若函数极值点是否存在不确定，则需要分析导函数有根或者无根的条件，说得通俗一点，就是要找到导函数有根或无根时，参数满足的相应条件是什么，之后再以条件为标准进行分类讨论若极值点与定义域的关系不确定（给定定义域与单调区间关系不确定），则需要分析极值点在定义域的条件，之后再由此得到一些条件作为标准进行分类讨论 若定义域内极值点之间大小不确定，则需要分析极值点之间大小确定的条件，之后也由此得到一些条件作为标准进行分类讨论 若求最值时，端点函数值、极值之间大小无法确定，则需要分析函数值与极值之间大小确定的条件，之后再以所得条件为标准进行分类讨论 值得指出的是，一般这类分类讨论的大题，通常都会夹杂以上几种需要讨论的情况，为此我们需要掌握分类讨论本质，才能得心应手。2间接的求极值或者最值的问题这类题的一般思路为：把要解决的问题转化化归到函数极值或者最值问题。常见的问题： 恒成立、能成立问题这类问题往往涉及需要转化化归到最值问题。 不等式证明问题这类问题细分两小类问题：第一类：纯函数不等式的证明问题，例如在指定条件下证明，这类问题需要先构造合理函数，再将函数不等式证明问题转化化归到恒成立问题，之后再转化为所构造的函数最值问题；对于不等式恒成立的证明构造函数所用的技巧有：、或对不等式作代数恒等变形后再构造函数。第二类：函数背景下的数列不等式的证明问题，这类问题一般要借助题中一些辅助函数不等式或者题外一些经典的函数辅助不等式（这个以后专题介绍）函数零点问题 由于函数零点问题一般都会与函数单调性、图象联系起来，而由导数恰好可以研究函数单调性、函数图象，这使得零点问题也成为了导数应用的一类，近些年高考对零点问题的考察，以三类问题为主流(i) 函数零点存在性、个数问题（包括方程的根个数或者图象交点个数问题）(ii) 某类的函数零点的数列特性问题(iii) 多元零点问题(此类问题前面极值点偏移问题已经专门介绍)(2)常用的数学思想与数学方法主要数学思想：分类整合思想 转化与化归思想 数形结合思想 函数与方程思想主要数学方法：构造法 换元法 放缩法 设而不求(3)求导后对导数函数的化简原则 通分 因式化简 合并同类项 十字相乘（这一点看起来简单，其实很多人都会忽视，合理的化简可以为解题减少不必要的麻烦）注：突破导数大题，必须凸现出导数工具意识，对于一个函数问题，是否需要求导、求导能带来什么好处、求导后需要干什么，这些都是我们在解题过程必须要仔细考虑的，总之，要具备对导数的应用意识，才会更有主动权对付导数大题。二、经典例题例1.（xx年安徽）设函数,其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.补充1：已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)求函数在区间上的最小值.练习1：【xx高考山东，理21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若成立，求的取值范围.例2.【xx高考新课标2，理21】设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围练习2：已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值练习3：设,.(1)当a=2时，求曲线在x=1处的切线方程；(2)如果存在，使得成立，求整数m的最大值；(3)如果对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.补充2：已知满足.当时.当时，的最大值为-4. (1)求实数的值； (2)设，函数，若对任意的总存在使，求实数的取值范围. 练习4：已知函数. (1) 求的单调区间；(2) 若不等式对任意N都成立，求的最大值.例3.设函数.(1)求的单调区间；(2)当时，证明：；(3)证明函数在上有零点.练习5：已知函数，()证明：当，；()证明：当时，存在,使得对()确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有练习6：设，证明：（1） 当，；（2） 当时，。例4.已知函数,是否存在实数使得的图象与的图象有且只有3个不同的交点.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.练习7：.已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性； （2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.练习8：设，函数(1) 求的单调区间 ；(2) 证明：在上仅有一个零点；(3) 若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标 原点）,证明：练习9：已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是 ，求c的值.