2019-2020年高考数学大一轮复习 第九章 第52课 平面与平面的垂直要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第九章 第52课 平面与平面的垂直要点导学面面垂直的证明如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点.(1) 求证:PA底面ABCD;(2) 求证:平面BEF平面PCD.(例1)思维引导(1) 直接利用两个平面垂直的性质定理是关键;(2) 线面垂直是证明面面垂直的前提,证明线面垂直是关键;特别注意表述的规范性.证明(1) 因为平面PAD平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA平面ABCD.(2) 因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABED,所以四边形ABED为平行四边形.又因为ABAD,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD,又PAAD=A,所以CD平面PAD,所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF,所以CDEF,又BEEF=E,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.精要点评(1) 判定两个平面垂直的方法:利用定义:证明二面角是直二面角;利用判定定理:a,a.(2) 在证明两平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决.(3) 证明线面垂直是证得面面垂直的前提与本质.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点,求证:平面A1CD平面A1ABB1.(变式)证明由已知得底面ABC是正三角形,又D为AB的中点,故CDAB.由侧棱AA1底面ABC,CD平面ABC,所以A1ACD,又A1AAB=A,因此CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD平面A1ABB1.面面垂直性质的应用如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB,过A点作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.(1) 求证:平面EFG平面ABC;(2) 求证:BCSA.(例2)思维引导对于(1),先判定E,F,G分别为各边中点,然后得到线面平行关系,再结合两平面平行的判定定理进行证明;对于(2),关键在于证明BC平面SAB.证明(1) 因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2) 因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.精要点评证明面面平行的关键是线面平行,证明线线垂直可先证明线面垂直.掌握并能熟练应用线面垂直的判定与性质定理,进行正确合理地转化,是解决此类问题的关键.如图,已知BC是半径为1的半圆O的直径,A是半圆周上不同于B,C的点,F为的中点.在梯形ACDE中,DEAC,且AC=2DE,平面ACDE平面ABC.(1) 求证:平面ABE平面ACDE;(2) 求证:平面OFD平面BAE.(变式)证明(1) 因为平面ACDE平面ABC,平面ACDE平面ABC=AC,AB平面ABC,又在半圆O中,ABAC,所以AB平面ACDE.因为AB平面ABE,所以平面ABE平面ACDE.(2) 设线段AC与OF交于点M,连接MD.因为F为的中点,所以OFAC,M为AC的中点.因为ABAC,OFAC,所以OFAB.又OF平面BAE,AB平面ABE,所以OF平面BAE.因为M为AC的中点,且DEAC,AC=2DE,所以DEAM,且DE=AM,所以四边形AMDE为平行四边形,所以DMAE.又DM平面BAE,AE平面ABE,所以DM平面BAE.又MDOF=M,MD平面OFD,OF平面OFD,所以平面OFD平面BAE.面面垂直的探索性问题如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1) 求证:APBC.(2) 在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.(例3)思维引导可以通过直线BC平面PAD来证明BCAP;二面角A-MC-B为直二面角即平面AMC平面BMC,题目本意上是要找点,使得两平面垂直,因此可先考虑把面面垂直作为条件,然后去找点M需要满足的条件.解答(1) 因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC.因为PO平面ABC,所以POBC.因为POAD=O,所以BC平面PAD,所以BCPA.(2) 如图,在平面PAB内,作BMPA于点M,连接CM,由(1)知APBC,则AP平面BMC,又AP平面APC,所以平面BMC平面APC.在RtADB中,由AB2=AD2+BD2=41,得AB=.在RtPOD中,PD2=PO2+OD2,在RtPDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+DB2=36,则PB=6.在RtPOA中,由PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.又cosBPA=,从而PM=PBcosBPA=2,所以AM=PA-PM=3.综上所述,存在点M符合题意,AM=3.精要点评(1) 证明线面平行、垂直都可以通过转化为线线的平行、垂直来证明.(2) 探求符合要求的点或线的问题时可以先假设存在,即增加条件后再证明;或通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线,再通过对其进行平移,来寻找正确的结果,然后再反过来直接证明.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,PA=AB,ABC=60,BCA=90,点D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC.(1) 求证:BC 平面PAC.(2) 是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角?请说明理由.(变式)解答(1) 因为PA底面ABC,BC平面ABC,所以PABC.因为BCA=90,所以ACBC.又ACPA=A,所以BC平面PAC.(2) 存在点E,当AEPC时,二面角A-DE-P为直二面角.因为DEBC,又由(1)知,BC平面PAC,所以DE平面PAC.又AE平面PAC,PE平面PAC,所以DEAE,DEPE.所以AEP为二面角A-DE-P的平面角,此时AEP=90,故存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AD的中点.(1) 求证:直线EF平面PCD;(2) 求证:平面BEF平面PAD.(范题赏析)思维引导先证EFPD,再说清“面内线,面外线”即可证明直线EF平面PCD.用好条件“面面垂直”是正确快速解决第(2)问的关键.规范答题(1) 在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.(3分)又EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.(6分)(2) 连接DB,因为AB=AD,BAD=60,所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BFAD.(8分)因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.(12分)又BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.(14分)1. 已知直线a,b与平面,下列条件中,能使的是.(填序号),;=a,ba,b;a,a;a,a.答案解析由面面垂直的定义、判定定理可得.2. 设,表示三个不同的平面,a,b,c表示三条不同的直线.给出下列命题:若a,b,则ab;若a,b,=c,a,b,则ab;若ab,ac,b,c,则a;若,则或.其中正确命题的序号是.答案解析中直线a与b的关系不确定,故不正确;中缺少条件“直线b与c相交”,故不正确;中与同一个平面都垂直的两个平面的位置关系不确定,故不正确.3. (xx苏州模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,AB=,BC=1,E,F分别是AB,PC的中点,DEPA.求证:平面PAC平面PDE.(第3题)证明设ACDE=H,由AEHCDH及E为AB的中点得=.又因为AB=,BC=1,所以AC=,AH=AC=,所以=,又BAC为公共角,所以HAEBAC,所以AHE=ABC=90,即DEAC.又DEPA,PAAC=A,所以DE平面PAC.又DE平面PDE,所以平面PAC平面PDE.4. (xx赣州模拟)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.求证:平面O1DC平面ABCD.(第4题)证明连接AC,BD,A1C1,则O为AC,BD的交点,O1为A1C1,B1D1的交点.由平行六面体的性质知A1O1OC且A1O1=OC,所以四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.由题意知A1O平面ABCD,所以O1C平面ABCD,又因为O1C平面O1DC,所以平面O1DC平面ABCD.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第103-104页).