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8.7立体几何的综合问题,第八章立体几何与空间向量,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,课时作业,1,基础知识自主学习,PARTONE,知识梳理,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为,ZHISHISHULI,非零,2.空间中平行、垂直关系的证明方法,(2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系.3.求两条异面直线所成的角(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角).(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角.,4.求直线与平面所成的角(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影)解三角形.(2)直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin|cos|_.,5.求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.,(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1，n2|,(6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.(),基础自测,JICHUZICE,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面的单位法向量是唯一确定的.()(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.P104T2设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.,解析当v(3，2，2)时，uv(2，2，5)(3，2，2)0得.当v(4，4，10)时，v2u得.,1,2,3,4,5,6,3.P111T3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,垂直,1,2,3,4,5,6,ON与AM垂直.,1,2,3,4,5,6,4.P104T2已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为_.,两平面所成二面角为45或18045135.,45或135,1,2,3,4,5,6,题组三易错自纠5.直线l的方向向量a(1，3，5)，平面的法向量n(1，3，5)，则有A.lB.lC.l与斜交D.l或l,解析由an知，na，则有l，故选B.,090，30.,30,1,2,3,4,5,6,2,题型分类深度剖析,PARTTWO,题型一证明平行或垂直问题,师生共研,A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内,解析以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,又C1D1平面BB1C1C，,又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.,2.(2010浙江)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若lm，m，则lB.若l，lm，则mC.若l，m，则lmD.若l，m，则lm,解析对于A，由lm及m，可知l与的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A不正确.B正确.对于C，由l，m知，l与m的位置关系为平行或异面，故C不正确.对于D，由l，m知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D不正确.,3.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.求证：MN平面BDE.,由题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).,设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，,因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.,4.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：,(1)PABD；,证明取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.,(2)平面PAD平面PAB.,又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.,(1)证明平行或垂直问题要以两条直线的平行或垂直为基础，灵活转化线线、线面、面面的关系.(2)利用向量法证明平行、垂直问题时，要充分应用直线的方向向量和平面的法向量，将空间线面关系转化为向量的关系.,题型二空间角的计算,命题点1求直线和平面所成的角,(1)求AC的长；,多维探究,AD2AB2BD2，即ABBD.又平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，AB平面ABD，AB平面CBD，ABBC，,(2)点E是线段AD的中点，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值.,解方法一由(1)可知AB平面CBD，如图，过点B作BGDC的延长线于点G，连接AG，则有CD平面ABG，平面AGD平面ABG，过点B作BHAG于点H，平面AGD平面ABGAG，BH平面AGD，连接HE，则BEH为直线BE与平面ACD所成的角.,方法二在平面BCD上作BFBC，分别以B为原点，BC，BF，BA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，,设直线BE与平面ACD所成的角为，,命题点2求二面角例2(2018浙江名校(诸暨中学)交流卷四)如图，已知ABC为等边三角形，M为AB的中点，AA1，BB1分别垂直平面ABC于点A，B，AA1AB，BB1MNA1B1，垂足为N.,(1)求证：CNA1B1；,证明因为AA1，BB1分别垂直平面ABC于点A，B，所以平面AA1B1B平面ABC，又M为AB的中点，所以CMAB，于是CM平面A1ABB1，所以CMA1B1.又因为MNA1B1，CMMNM，所以A1B1平面CMN，又CN平面CMN，所以A1B1CN.,(2)求平面ABC与平面A1B1C所成的锐二面角的正切值.,解方法一如图，延长AB，A1B1相交于点D，连接CD，则CD为所求二面角的棱.,于是BDBCBA，于是ACD90，即CDCA.又因为CDAA1，CAAA1A，所以CD平面AA1C，所以CDCA1.于是A1CA即为所求二面角的平面角.在RtA1AC中，AA1ABAC，所以A1CA45，所以tanA1CA1.综上，平面ABC与平面A1B1C所成的锐二面角的正切值为1.,方法二如图，以M为原点，MA为x轴，MC为y轴建立空间直角坐标系，设AB2.,设平面A1B1C的法向量为n1(x，y，z).,设所求二面角的大小为，又平面ABC的一个法向量为n2(0，0，1).,(1)利用定义法计算空间角的三步曲：一作二证三计算.(2)利用向量法求角时，可利用基底法或建立空间直角坐标系，要注意两个向量的夹角和所求角的关系.,(1)证明：AEMB；,证明方法一在梯形ABCD中，连接BD交AE于点N，,BC2BD2CD2，故BCBD.又BCAE，AEBD，从而AEBN，AEMN，且BNMNN，AE平面MNB，又MB平面MNB，AEMB.,得ME2CE2MC2，故CEME.又CEBE，且MEBEE，CE平面BEM.MB平面BEM，CEMB，又ABCE，ABMB.,又ABBEB，MB平面ABE，又AE平面ABE，AEMB.,(2)求直线CM与平面AME所成角的正弦值.,解方法一设直线MC与平面AME所成角为，,AEBC，点C到平面AME的距离即为点B到平面AME的距离.,方法二MB平面ABCE，建立空间直角坐标系如图所示，,设平面AME的法向量为m(x，y，z)，,设直线CM与平面AME所成角为，,思维点拨本题主要考查线线平行的证明，线面角的正弦值的求法以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.,例(15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PCD为正三角形且二面角PCDA的大小为60.(1)设侧面PAD与侧面PBC的交线为m，求证：mBC；(2)设直线AB与侧面PBC所成的角为，求sin的值.,答题模板,DATIMUBAN,利用空间向量求空间角,规范解答(1)证明因为BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC侧面PAD.又侧面PAD侧面PBCm，所以mBC.5分(2)解方法一取CD的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，则PMCD，MNCD.所以PMN是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角，从而PMN60.作POMN于点O，则PO底面ABCD.,以O为原点，ON所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，,取n(0，3，2).,方法二如图，取CD的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，则PMCD，MNCD，所以PMN是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角，从而PMN60.作POMN于点O，则PO底面ABCD.,作OEAB交BC于点E，连接PE.因为BCPO，BCOE，OPOEO，所以BC平面POE.从而平面POE平面PBC.,所以PEO就是直线OE即直线AB与平面PBC所成的角.所以PEO.,答题模板利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角.,3,课时作业,PARTTHREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，1，1)，则A.lB.lC.l或lD.l与斜交,解析a(1，0，2)，n(2，1，1)，an0，即an，l或l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.如图，在空间直角坐标系中，有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设CA2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n1(1，2，2).平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018金华模拟)如图，平面，l，A，B，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，线段AB在，内的射影长分别是m和n，若ab，则A.，mnB.，mn,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知正三棱柱ABCA1B1C1，ABAA12，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，,设异面直线AB1和A1C所成的角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018宁波十校高三适应性考试)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱AB上的动点(P点可以运动到端点A和B)，设在运动过程中，平面PDB1与平面ADD1A1所成的最小角为，则cos等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，APa(0a1)，则易得D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，1，1)，,设平面PDB1的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令xa，得平面PDB1的一个法向量为n(a，1，a1)，易得平面ADD1A1的一个法向量为m(0，1，0)，由图易得平面PDB1与平面ADD1A1所成的二面角为锐角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由ABAC1，PA2，,设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,取z1，则n(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD则AF与CE所成角的余弦值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AEED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设ABEFCD2，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，,异面直线所成角的范围是(0，90，EF和BC1所成的角为60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求锐二面角的平面角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，,设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令y1，z3，x1，则n(1，1，3)，取平面ABC的法向量为m(0，0，1)，设平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为，,证明由题易知ADEABC60，ADCD，E是CD的中点，AECD.又ABCD，AEAB.PA平面ABCD，PAAE，又PAABA，AE平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018嘉兴基础测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，PAAB2，E为CD的中点，ABC60.(1)求证：AE平面PAB；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一连接PE，过点A作AHPE于点H(图略).CDEA，CDPA，EAPAA，CD平面PAE，CDAH.又AHPE，CDPEE，CD，PE平面PCD，AH平面PCD.AEP为直线AE与平面PCD所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二以A为坐标原点，AB，AE，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设直线AE与平面PCD所成的角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江“七彩阳光”联盟联考)如图，四边形ABCD为正方形，四边形PDCE为直角梯形，PDCE，PDC90，平面ABCD平面PDCE，且PDAD2EC2.(1)若PE和DC的延长线交于点F，求证：BF平面PAC；,证明在梯形PDCE中，PD2EC，C为DF的中点，CFCDAB，又ABCF，四边形ABFC为平行四边形，BFAC，又AC平面PAC，BF平面PAC，BF平面PAC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角的正弦值的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一设点Q在平面PBD上的射影为O，连接OQ，OB(图略)，则QBO为直线BQ与平面PDB所成的角.ECPD，EC平面PBD，EC平面PBD.四边形ABCD为正方形，ACBD，又平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC，PD平面PDCE，PD平面ABCD，PDAC，又BDPDD，AC平面PBD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,EC平面PBD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC，PD平面PDCE，PD平面ABCD，PDDA.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设Q(0，2，t)(0t1)，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2019金华模拟)已知点P是正方体ABCDA1B1C1D1表面上一动点，且满足PA2PB，设PD1与平面ABCD所成的角为，则的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，P(x，y，z)，则A(0，2，0)，因为PA2PB，,即为如图的、，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,要使得PD1与底面ABCD所成的角最大，则PD1与底面ABCD的交点R到点D的距离最短，从而点P在上，且在QD上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018浙江名校联盟联考)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA11，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令D(0，b，0)，F(a，0，0)，0a1，0b1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析连接AC与BD交于点O，连接A1O，C1O，A1B，A1D，依题意得，ACBD，AA1BD，又ACAA1A，BD平面AA1C1C.BDA1O，BDC1O，故A1OC1为二面角A1BDC1的平面角.,由勾股定理的逆定理，知A1OC190，故平面A1BD平面C1BD.连接PO，若A1PC1为直角，即A1PPC1，又A1OPC1，A1PA1OA1，C1P平面POA1，则C1PPO，此时P在BDC1内的一段圆弧(该圆弧所在的圆的直径为C1O)上，符合题意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当P在OC1上时，A1PC1为钝角三角形；当P无限接近B或D时，A1PC1为锐角三角形；若A1PC1为等腰三角形，,当A1C1为等腰三角形A1PC1的底边时，点P与A1C1中点的连线必垂直于A1C1，此时，在BDC1内部不存在这样的点P.故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018杭州地区四校联考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAD2，BCCDAB1，ADBC.,(1)若M是PD的中点，证明：CM平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明如图，取AP的中点F，连接MF，BF.,所以MFBC，MFBC，所以四边形MFBC是平行四边形，所以CMBF，又BF平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解假设存在满足条件的点E.方法一如图，过点B作BH平面PCD，连接EH，则BEH即直线BE与平面PCD所成的角.,所以PC2CD2PD2，所以PCCD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为VPBCDVBPCD，,所以PB2BD2PD2，所以PBBD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又BE2PB2PE22PBPEcosBPE，,所以当E是线段PD的中点或是线段PD的靠近点D的四等分点时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二建立如图所示的空间直角坐标系，其中O，G，N分别为AD，BC，PD的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，,设直线BE与平面PCD所成的角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以当点E是线段PD的中点或是线段PD的靠近点D的四等分点时，,
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