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9.6双曲线,第九章平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,课时作业,1,基础知识自主学习,PARTONE,知识梳理,1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做_.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在.,ZHISHISHULI,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线,的焦距,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,(1，),2a,2b,a2b2,【概念方法微思考】,1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？,提示不一定.当2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.,2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？,提示若A0，B0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0，0a0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故选A.,1,2,3,4,5,6,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类深度剖析,PARTTWO,题型一双曲线的定义,师生共研,例1(1)已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆,解析如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，|MF2|2.点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|20，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若16，则双曲线的实轴长是A.32B.16C.84D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，,又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为则该双曲线的标准方程为_，渐近线方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,10.已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(0，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又APQ的一个内角为60，PAF30，PFA120，|AF|PF|ca，|PF1|3ac，在PFF1中，由余弦定理得|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设内切圆的圆心M(x，y)，圆M分别切AF1，BF1，AB于S，T，Q，如图，连接MS，MT，MF1，MQ，则|F1T|F1S|，故四边形SF1TM是正方形，边长为圆M的半径.由|AS|AQ|，|BT|BQ|，得|AF1|AQ|SF1|TF1|BF1|BQ|，又|AF1|AF2|BF1|BF2|，Q与F2重合，|SF1|AF1|AF2|2a，|MF2|2a，即(xc)2y24a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.如图，已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2y21相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|AB|，求b的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，,化简得b64b55b44b340，得(b22b2)(b42b33b22b2)0，而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)20，故b22b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，连接AF2，则|AF2|2|AF1|4.连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，,所以c232b，又在双曲线中，c21b2，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一当A在第一象限时，如图1，设AF1F2的内切圆O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N，则|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P为双曲线的右顶点，同理，BF1F2的内切圆O2也切F1F2于双曲线的右顶点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2F1F2.连接O1F2，O2F2，又O1F2平分F1F2A，O2F2平分F1F2B，O1F2O290，RtO1F2PRtF2O2PRtO1O2F2，|O1F2|2|O1P|O1O2|，|O2F2|2|O2P|O1O2|，,O2O1F230，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则O1F2P60，AF2P120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二当A在第一象限时，如图2，设AF1F2的内切圆O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N，则|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P为双曲线的右顶点，同理，BF1F2的内切圆O2也切F1F2于双曲线的右顶点，连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2F1F2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设O2切BF2于点H，连接O1N，O2H，则在直角梯形O2HNO1中，|O2H|r2，|O1N|r13r2，|O1O2|r1r24r2，作O2TO1N于点T，则|O1T|r1r22r2，故在RtO1O2T中，O2O1T60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1c2(2c)22c2ccos603c2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为直线PF2的倾斜角为120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,整理得c48c2a24a40，即e48e240，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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