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渐开线与摆线,问题提出,1.直线的“点角式”参数方程是什么？其中参数t具有什么几何意义？,（t为参数）,t表示点M0(x0，y0)到点M(x，y)的有向距离.,2.用参数法求轨迹方程的基本思路是什么？,建立直角坐标系,设动点坐标,选取参数,建立动点坐标与参数的函数关系,小结.,3.用参数法求轨迹方程是一种重要的解题方法，其中合理选取参数是解题的关键，建立动点坐标与参数的函数关系是解题的主要工作.对于某些非圆锥曲线的参数方程，也可以利用上述思路求解.,探究（一）：渐开线及其参数方程,思考1：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，并保持绳子与圆相切而逐渐展开，你能想象出铅笔会画出一条什么形状的曲线吗？,呈螺旋状逐渐离开圆盘,思考2：上述曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.设开始时绳子的外端位于点A，当外端展开到点M时，绳子与基圆的切点为B，那么动点M满足的几何条件是什么？,切线BM的长等于的长.,思考3：若在平面直角坐标系中研究圆的渐开线方程，应如何建立坐标系？,基圆圆心O为原点，直线OA为x轴.,思考4：求渐开线的普通方程是很困难的，若求渐开线的参数方程，则参数如何选取？,以OA为始边，OB为终边所成的角为参数.,思考5：设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)，则点M由角惟一确定，在下图中如何求点M的轨迹的参数方程？,（为参数）,思考6：设向量e1是与同方向的单位向量，向量e2是与同方向的单位向量，则向量e1，e2的坐标分别是什么？,e1(cos，sin),e2(sin，cos),思考7：根据数乘向量的概念，向量与e2有何等量关系？,思考8：将(r)e2转化为坐标关系可得什么结论？,（为参数）,探究（二）：摆线及其参数方程,思考1：在自行车轮子上喷一个白色印记，当自行车在笔直的道路上行驶时，你能想象出白色印记会画出一条什么形状的曲线吗？,呈周期性变化的一些弧线.,思考2：上述白色印记画出的曲线叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.用轨迹的观点如何描述摆线？,当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的轨迹叫做摆线.,思考3：设B为圆心，圆周上的定点为M，开始时位于点O处，圆在直线上滚动到某一时刻与直线相切于点A，那么动点M满足的几何条件是什么？,线段OA的长等于的长.,思考4：若在平面直角坐标系中研究摆线的方程，应如何建立坐标系？,取定点M滚动时的初始位置O为原点，定直线OA为x轴.,思考5：求摆线的普通方程也是很困难的，若求摆线的参数方程，则参数如何选取？,以BM为始边，BA为终边所成的角为参数.,思考6：设圆半径为r，点M的坐标为(x，y)，则点M由角惟一确定，在下图中如何求点M的轨迹的参数方程？,（为参数）,思考7：在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？摆线一个拱的高度与宽度分别为多少？,0，），拱高是2r，拱宽是2r.,理论迁移,例1在半径为1的圆的渐开线中，若点A，B对应的参数分别为和，求线段AB的中点坐标.,例2已知一个圆的摆线经过一定点A(2，0)，当圆半径最大时，求该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的参数方程.,小结作业,1.渐开线与摆线在机械工业，产品工艺中常作为轮廓线，具有广泛的应用价值.,2.渐开线和摆线的参数方程都以旋转角为参数，曲线上的点M与参数是一一对应的.,3.渐开线和摆线的参数方程都由圆半径所惟一确定，并且它们都不能化为普通方程.,
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