2019年高考数学 3.8正弦定理、余弦定理的应用举例课时提升作业 理 北师大版.doc

2019年高考数学 3.8正弦定理、余弦定理的应用举例课时提升作业 理 北师大版一、选择题1.某水库大坝的外斜坡的坡度为,则坡角的正弦值为( )(A)(B)(C)(D)2.(xx太原模拟)如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是,(),则A点离地面的高度AB等于( )(A)(B)(C) (D)3.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则SABC等于( )(A)(B)(C)(D)24.(xx咸阳模拟)如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角CAB=45,沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点,又测得山顶仰角DSB=75,则山高BC为( )(A)500m(B)200m(C)1000m(D)1000m5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( )(A)20(+)海里/小时(B)20(-)海里/小时(C)20(+)海里/小时(D)20(-)海里/小时6.(xx宜春模拟)从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60,从电视塔的西偏南30的B处,测得塔顶仰角为45,A,B间距离是35m,则此电视塔的高度是( )(A)5m(B)10m(C)m(D)35m二、填空题7.(xx延安模拟)在ABC中,A=60,AC=8,SABC=4,则BC=.8.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距m.9.(xx长沙模拟)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30方向上,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,且与灯塔S相距8n mile.此船的航速是32n mile/h,则灯塔S对于点B的方向角是.三、解答题10.(xx宝鸡模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cosA-acosC=0.(1)求角A的大小.(2)求sinB+sinC的取值范围.(3)若a=,SABC=,试判断ABC的形状,并说明理由.11.如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?12.(能力挑战题)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.答案解析1.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】选B.由tan=,得sin=cos,代入sin2+cos2=1,得sin=.2.【解析】选A.由已知得DAC=-,由正弦定理得,=,所以AC=,故AB=ACsin=.3.【思路点拨】由角A,B,C依次成等差数列可得B,由正弦定理得A,从而得C,再用面积公式求解即可.【解析】选C.角A,B,C依次成等差数列,A+C=2B,B=60.又a=1,b=,=,sinA=.又ab,AB,A=30,C=90.SABC=1=.【变式备选】在ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=,B=,则ABC的面积为( )(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=,则ac=3,又B=,SABC=acsinB=3=.4.【解析】选D.SAB=45-30=15,SBA=ABC-SBC=45-(90-75)=30,在ABS中,AB=1000,BC=ABsin45=1000=1000(m).5.【解析】选B.由题意知SM=20,SNM=105,NMS=45,MSN=30.在MNS中利用正弦定理可得,=,MN=10(-)(海里),货轮航行的速度v=20(-)(海里/小时).6.【思路点拨】画出示意图,将条件转化为三角形的边和角,然后利用三角函数和余弦定理求解.【解析】选A.作出示意图(如图所示).设塔高为hm.在RtAOC中,tanOAC=,OA=.在AOB中,AOB=150,OB=h,AB=35.由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB,即352=()2+h2-2hcos150,整理得h2=352,解得h=5.【方法技巧】测量高度的一般思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由条件知SABC=bcsinA=bcsin60=bc=4.bc=16.又b=AC=8,c=2.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=82+22-282cos60=52.a=2,即BC=2.答案:28.【解析】如图,OM=OAtan45=30,ON=AOtan30=30=10,由余弦定理得MN=10(m).答案:109.【解析】由已知可得,AB=32n mile/hh=16n mile,BS=8n mile,BAS=30,由正弦定理得=,sinASB=.又0ASB180,得ASB=45或135,若ASB=45,则ABS=105,此时,S在点B的北偏东75方向上;若ASB=135,则ABS=15,此时,S在点B的南偏东15方向上.答案:北偏东75或南偏东15【方法技巧】测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)将解得的结果转化为实际问题的解.同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形时条件不具备,需要先在其他三角形中求解相关量.10.【解析】(1)(2b-c)cosA-acosC=0,由正弦定理得,(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,2sinBcosA-sin(A+C)=0,即sinB(2cosA-1)=0.0B,sinB0,cosA=.0A,A=.(2)sinB+sinC=sinB+sin(-B)=sin(B+).B(0,),B+(,),sin(B+)(,1,sinB+sinC.(3)SABC=bcsinA=.即bcsin=,bc=3a2=b2+c2-2bccosA,b2+c2=6由得b=c=,a=b=c,ABC为等边三角形.11.【解析】在BCD中,BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得cosBDC=-.所以cosADC=,故sinADC=.在ACD中,由条件知CD=21,BAC=60,所以sinACD=sin(60+ADC)=+=.在ACD中,由正弦定理得=,即=,所以AD=15(km).所以此车距离A城15千米.12.【思路点拨】第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式.第(2)问建立速度与时间的函数关系式.【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s=,故当t=时,smin=10(海里),此时v=30(海里/时),即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),故v2=900-,0v30,900-900,即-0,解得t.又t=时,v=30海里/时,故v=30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.