概率论与数理统计 习题课.ppt

,第三章习题课,一、二维随机向量概率分布的描述方式,1、联合概率函数与边缘概率函数,2、联合密度函数与边缘密度函数,3、联合分布函数与边缘分布函数,1、联合概率函数与边缘概率函数,联合概率,边缘概率,联合概率函数的性质,正定性:,归一性:,联合概率与边缘概率的关系,即已知联合概率,如何求边缘概率?,方法:把联合概率列成二维表的形式，然后逐行累加,逐列累加。,判断题,对于离散型二维随机向量，(X,Y)的联合概率和边缘概率一定有,(),对,如果(X,Y)的分布列为,则其中c可以是任意常数。,(),错,填空题,设随机变量X与Y的联合分布为,则如果X与Y相互独立，则,设X与Y相互独立且同服从参数的0-1分布，则,2、联合密度与边缘密度,联合密度,边缘密度,联合密度函数的性质,正定性:,归一性:,联合密度与边缘密度的关系:,即已知联合密度,如何求边缘密度?,方法:联合密度对其中一个变量积分，得关于另一个变量的边缘密度，即,对于连续型二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)和边缘密度一定有,(),判断题,对,(),如果则,对,交换积分次序,设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中,则,填空题,设(X,Y)的密度函数为,则,设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D由曲线,及直线围成，则(X,Y),的关于X的边缘密度在点的值为_.,3、联合分布函数与边缘分布函数,联合分布函数,边缘分布函数,联合分布函数的概率意义,y,o,(x,y),x,联合分布函数的概率意义:,求矩形区域上概率的两种方法：,联合分布函数的性质,规范性,单调不减性,右连续性,设（X，Y）的分布函数为,则常数,联合分布函数与边缘分布函数的关系,即已知联合分布函数,如何求边缘分布函数?,方法:在联合分布函数中，令其中一个变量趋于正无穷求极限，得关于另一个变量的边缘分布函数，即,9.已知二维随机向量(X,Y)的分布函数为,求常数A；关于X、Y的边缘分布函数；,解：,已知联合分布函数,可以求出边缘分布函数.,反过来,已知边缘分布,可否求出联合分布呢?,一般来说,光知道X和Y的边缘分布函数,是求不出(X,Y)的联合分布函数的。,因为联合分布中还蕴含着X和Y之间的关系。你必须提供这种关系，我才能写出联合分布。,对于联合概率函数和联合密度函数也是一样的。,例如对于二维正态分布,可得,但是，反过来，由,能得到,由,联合密度函数与联合分布函数的关系,联合分布函数是联合密度函数的二次变上限积分,联合密度函数是联合分布函数的二阶混合偏导数,12设(X,Y)的密度函数为,求(1)常数a；(2)联合分布函数,解,（）,当x0时,随机向量的独立性,1、独立的三个充分必要条件,2、一个有用的结论,若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X)与h(Y)也相互独立。,如果则,(),如果X与Y相互独立，且则(X,Y)服从区域上的均匀分布。（）,设则,(),二维随机向量函数的概率分布,1、离散型,2、连续型,方法:列表法或代数式法,方法:分布函数法,加一道例题,二维随机向量的数字特征,一、期望向量与方差向量,二、函数的期望,（离散型）,（连续型）,变函数不变分布,不必求X的边缘分布,若(X,Y)为二维离散型随机变量，则,若(X,Y)为二维连续型随机变量，则,直接由联合分布求X的期望,如果EX，EY都存在，则,(),三、期望和方差的性质,一维：,二维：,1.E(X+Y)=EX+EY,2.E(XY)=EXEY,独立,独立,独立,如果则X与Y相互独立。（）,设随机变量相互独立，其中服从参数,的指数分布，,令则,四、协方差,1、协方差的计算公式,离差的乘积的期望,乘积的期望减期望的乘积,8.若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)0,6.Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY,7.D(XY)=DX+DY2Cov(X,Y),4.Cov(X+a,Y+b)=Cov(X,Y),5.Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X),3.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),2.Cov(X,X)=DX,Cov(Y,Y)=DY,2、协方差的性质,（）,（）,若则X与Y相互独立.（）,五、相关系数,1、相关系数的计算,2、相关系数的性质,独立,3、相关系数的意义,相关,不相关,正相关,负相关,有一定的相关关系，且越大,相关程度越大,4、独立与不相关的关系,独立一定不相关,不相关不一定独立,若X与Y不相关，则(),设任取n件产品，其中次品数为X，正品数为Y，则X与Y的相关系数为-1。（）,设X与Y同分布且方差存在，则X+Y与X-Y不相关。（）,已知DX=1，DY=4，如果X与Y相互独立，则D（2X-Y+1）=_；如果X与Y的相关系数则,二维正态分布,1二维正态分布的两个边缘分布均为一维正态分布。,3若,则,（a、b不全为零）,设则,(),如果X与Y相互独立，且都服从正态分布，则X+Y一定服从正态分布。（）,二维正态分布的边缘分布一定为正态分布。(),二维均匀分布的边缘分布也是一维均匀分布。(),已知且X与Y相互独立，则,中心极限定理,定理.13（林德伯格列维中心极限定理）,定理3.14(棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）,定理.12（李雅普诺夫中心极限定理）,大量的独立的微小的随机变量之和渐近正态分布,独立同分布的随机变量序列之和渐近正态分布,当n充分大时,二项分布以正态分布为极限分布,在实际计算中,定理3.14以下面两个定理的形式应用:,1.局部极限定理:,2.积分极限定理:,设随机变量,解设每晚去上机的人数为X，则,由中心极限定理，近似地有,(2)设再购置k台才能使够用的概率达到95%以上,查表知,由分布函数是单调不减性知,即,故再购置50台才能使够用的概率达到95%以上.,199：54、55,