2019-2020年高考数学 6.4 基本不等式练习.doc

2019-2020年高考数学 6.4 基本不等式练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列不等式:a2+12a;2;x2+1,其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.不正确,正确,x2+=(x2+1)+-12-1=1.2.(xx福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.22x+2y=1,所以2x+y,即2x+y2-2,所以x+y-2.3.(xx马鞍山模拟)设x0,y0,且2x+y=6,则9x+3y有()A.最大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54【解析】选D.因为x0,y0,且2x+y=6,所以9x+3y2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是()A.B.C.D.【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab=.5.(xx黄冈模拟)若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是()A.-1,2B.1,2C.-1,1D.-2,2【解析】选A.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)20,所以x2+y2+z2xy+xz+yz,所以xy+yz+zx2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)0,所以xy+xz+yz-(x2+y2+z2)=-1.综上可得:-1xy+xz+yz2.故选A.6.设二次函数f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域为0,+),则+的最小值为()A.3B.C.5D.7【解析】选A.由题意知,a0,=16-4ac=0,所以ac=4,c0,则+2=3,当且仅当=时取等号,则+的最小值是3,故选A.7.(xx潍坊模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的均值为2,+的最小值为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意得3a+2b=2,+=6+2=,当且仅当a=,b=时取等号.故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(xx青岛模拟)下列命题中正确的是(填序号).y=2-3x-(x0)的最大值是2-4;y=sin2x+的最小值是4;y=2-3x-(x0)的最小值是2-4.【解析】正确,因为y=2-3x-=2-2-2=2-4.当且仅当3x=,即x=时等号成立.不正确,令sin2x=t,则0t1,所以g(t)=t+,显然g(t)在(0,1上单调递减,故g(t)min=g(1)=1+4=5.不正确,因为x0,最小值为2+4,而不是2-4.答案:【误区警示】此题容易出现答案为,是因为做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.9.(xx四川高考)已知函数f(x)=4x+(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.【解析】由题f(x)=4x+(x0,a0),根据基本不等式4x+4,当且仅当4x=时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.答案:3610.已知x,y为正实数,3x+2y=10,+的最大值为.【解析】由得+=2,当且仅当x=,y=时取等号.答案:2【一题多解】此题还可以这样解:设W=+0,W2=3x+2y+2=10+210+()2+()2=10+(3x+2y)=20,所以W=2,当且仅当x=,y=时等号成立.答案:2(20分钟40分)1.(5分)(xx怀化模拟)已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象经过点(0,1),则+的最小值为()A.3+2B.3-2C.4D.2【解析】选A.由已知得2a+b=1,又因为a,b为正实数,所以+=(2a+b)=3+3+2=3+2.当且仅当a=1-,b=-1时取等号.【加固训练】(xx山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()A.0B.1C.D.3【解析】选B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.所以=1,当且仅当=,即x=2y时取等号,此时z=2y2,=1.+-=+-=4=1.2.(5分)(xx吉林模拟)已知各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为()A.B.C.D.【解析】选A.由各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).因为=4a1,所以qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,所以m+n=6,所以+=(m+n)=(5+4)=.当且仅当=时,等号成立,故+的最小值等于.3.(5分)(xx太原模拟)正数a,b满足+=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A.3,+)B.(-,3C.(-,6D.6,+)【解析】选D.因为a0,b0,+=1,所以a+b=(a+b)=10+10+2=16,由题意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.【加固训练】(xx闵行模拟)若不等式(x+y)+16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.【解析】因为不等式(x+y)16对任意正实数x,y恒成立,所以16.令f(x)=(x+y)(a0),则f(x)=a+4+a+4+2=a+4+4,当且仅当=时取等号,所以a+4+416,解得a4,因此正实数a的最小值为4.答案:44.(12分)(xx郑州模拟)若a0,b0,且+=.(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)因为a0,b0,且+=,所以=+2,所以ab2,当且仅当a=b=时取等号.因为a3+b322=4,当且仅当a=b=时取等号,所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)可知,2a+3b2=246,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(能力挑战题)某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且EFG中,EGF=90,经测量得到AE=10m,EF=20m,为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏,设计时经过点G作一直线交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场,设DN=x(m).(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数.(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.【解题提示】(1)作GHEF,垂足为H,过M作MTBC交CD于T,求出AM=,可得S五边形MBCDN=S四边形MBCT+S四边形MTDN=(40-AM)60+(x+60)AM,从而可得五边形MBCDN的面积的函数表达式.(2)将函数变形,利用基本不等式,可求市民健身广场的面积最大值.【解析】(1)作GHEF,垂足为H.因为DN=x,所以NH=40-x,NA=60-x,因为=,所以=,所以AM=.过M作MTBC交CD于T,则S五边形MBCDN=S四边形MBCT+S四边形MTDN=(40-AM)60+(x+60)AM,所以y=60+=2400-.由于N与F重合时,AM=AF=30适合条件,故x(0,30.(2)y=2400-=2400-5,所以当且仅当40-x=,即x=20(0,30时,y取得最大值xx,所以当DN=20m时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为2000m2.