2019-2020年高三数学一模试题 理（含解析）.doc

2019-2020年高三数学一模试题 理（含解析）一填空题1已知，则cos2=_2若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为_3设i是虚数单位，复数z满足（2+i）z=5，则|z|=_4函数f（x）=x22（x0）的反函数f1（x）=_5若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_6如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_（结果用反三角函数值表示）7设数列an的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=0（nN*），则an的通项公式为_8若全集U=R，不等式的解集为A，则UA=_9已知圆C：（x1）2+（y1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为_10如图：在梯形ABCD中，ADBC且，AC与BD相交于O，设，用，表示，则=_11已知函数，将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则的值为_12已知函数，其中nN*，当n=1，2，3，时，fn（x）的零点依次记作x1，x2，x3，则=_13在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是_14设集合A=（x1，x2，x3，x10）|xi1，0，1，i=1，2，3，10，则集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x10|9”的元素个数为_二选择题15“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件；16已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m的是( )A且mB且mCmn且nDmn且n；17某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（nN*），分别编号为1，2，n，买家共有m名（mN*，mn），分别编号为1，2，m若aij=1im，1jn，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )Aa11+a12+a1m+a21+a22+a2mBa11+a21+am1+a12+a22+am2Ca11a12+a21a22+am1am2Da11a21+a12a22+a1ma2m18对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）；三解答题19已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=（1）求A的值；（2）若f（）+f（）=，（0，），求f（）20已知函数f（x）=2x+k2x（kR）（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（，2上为减函数，求k的取值范围21如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角=arctan若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r0）（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离22已知椭圆：=1（常数a1）的左顶点R，点A（a，1），B（a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆上任意一点，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两个动点，满足kOMkON=kOAkOB，试探究OMN的面积是否为定值，说明理由23已知有穷数列an各项均不相等，将an的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列pn，称pn为an的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1a3a2，则其序数列pn为1，3，2；（1）写出公差为d（d0）的等差数列a1，a2，an的序数列pn；（2）若项数不少于5项的有穷数列bn、cn的通项公式分别是（nN*），（nN*），且bn的序数列与cn的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列dn满足d1=1，（nN*），且d2n1的序数列单调递减，d2n的序数列单调递增，求数列dn的通项公式上海市徐汇区xx届高考数学一模试卷（理科）一填空题1已知，则cos2=考点：二倍角的余弦专题：三角函数的求值分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值解答：解：，cos2=12sin2=12=，故答案为：点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题2若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得解答：解：xy=4，y=x2+4y2=x2+2=16，当且仅当x2=，即x=2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题3设i是虚数单位，复数z满足（2+i）z=5，则|z|=考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案解答：解：由（2+i）z=5，得，|z|=故答案为：点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题4函数f（x）=x22（x0）的反函数f1（x）=（x2）考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：由y=x22（x0）解得x=，把x与y互换即可得出解答：解：由y=x22（x0）解得x=，把x与y互换可得y=f1（x）=（x2）故答案为：（x2）点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题5若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=2考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得 =2，即可得到结果解答：解：双曲线的标准形式为：，c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重合，=2，可得p=4故答案为：x=2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题6如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角专题：计算题分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tanD1BC=，D1BC=arctan，故答案为arctan点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题7设数列an的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=0（nN*），则an的通项公式为an=考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：当n2时，an=SnSn1，利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：当n2时，an=SnSn1=an，化为an+1=3ana1a2=0，解得a2=2当n2时，数列an为等比数列，an的通项公式为an=故答案为：an=点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题8若全集U=R，不等式的解集为A，则UA=1，0考点：其他不等式的解法；补集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得（x+1）（1）1，即 1，求得A，可得UA解答：解：由不等式，可得（x+1）（1）1，即 1+0，即 1，x0，或 x1，故A=（0，+）（，1），UA=1，0，故答案为：1，0点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题9已知圆C：（x1）2+（y1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为考点：直线与圆的位置关系专题：计算题；直线与圆分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为xy+4=0圆心C到直线的距离为d=2圆C：（x1）2+（y1）2=2的半径为C上各点到l的距离的最大值为2+=故答案为：点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题10如图：在梯形ABCD中，ADBC且，AC与BD相交于O，设，用，表示，则=考点：向量加减混合运算及其几何意义专题：平面向量及应用分析：因为在梯形ABCD中，ADBC且，AC与BD相交于O，设，过D作DEAB，得到DE是BDC的中线，利用中线的性质可得解答：解：因为在梯形ABCD中，ADBC且，AC与BD相交于O，设，过D作DEAB，则E是BC的中点，所以2，所以=故答案为：点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算11已知函数，将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则的值为考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2+）=2，从而求得 的值解答：解：把函数 的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）=2sin2（x+）+=2sin（2x+2+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2+）=2，=，故答案为：点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题12已知函数，其中nN*，当n=1，2，3，时，fn（x）的零点依次记作x1，x2，x3，则=3考点：极限及其运算专题：导数的综合应用分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数fn（x）=+，令fn（x）=0，解得xn=1再利用极限的运算法则即可得出解答：解：函数=+=+，令fn（x）=0，解得xn=1=211=3故答案为：3点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题13在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3考点：分段函数的应用专题：函数的性质及应用分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=x+4，x0关于原点对称的图象，利用对称图象在x0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数解答：解：由题意知函数f（x）=sinx，x0关于原点对称的图象为y=sinx，即y=sinx，x0在x0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x0上的交点个数有3个，函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键14设集合A=（x1，x2，x3，x10）|xi1，0，1，i=1，2，3，10，则集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x10|9”的元素个数为3102101考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断专题：计算题；集合；排列组合分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+|x10|=10的有210个元素；从而求得解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x10|9”的元素个数为3102101故答案为：3102101点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题二选择题15“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑；坐标系和参数方程分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式=14a0，解得a，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键16已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m的是( )A且mB且mCmn且nDmn且n；考点：直线与平面垂直的判定专题：阅读型；空间位置关系与距离分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果解答：解：，且mm，或m，或m与相交，故A不成立；，且mm，或m，或m与相交，故B不成立；mn，且nm，故C成立；由mn，且n，知m不成立，故D不正确故选：C点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题17某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（nN*），分别编号为1，2，n，买家共有m名（mN*，mn），分别编号为1，2，m若aij=1im，1jn，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )Aa11+a12+a1m+a21+a22+a2mBa11+a21+am1+a12+a22+am2Ca11a12+a21a22+am1am2Da11a21+a12a22+a1ma2m考点：进行简单的合情推理专题：推理和证明分析：由已知中aij=1im，1jn，可知：ai1ai2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案解答：解：aij=1im，1jn，ai1ai2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+am1am2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解aij=1im，1jn的含义是解答的关键18对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程专题：作图题；简易逻辑分析：分x0，y0，x0，y0，x0，y0，x0，y0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可解答：解：，当x0，y0时，+=1，解得y=1+；同理可得，当x0，y0时，+=1，整理得：y=1；当x0，y0时，=1，整理得：y=1+；x0，y0时，=1，整理得：y=1；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确故选：B点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题三解答题19已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=（1）求A的值；（2）若f（）+f（）=，（0，），求f（）考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（）+f（）=，求得cos 的值，再由 （0，），求得sin 的值，从而求得f（） 的值解答：解：（1）函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=Asin（+）=Asin=A=，A=（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），f（）+f（）=sin（+）+sin（+）=2sincos=cos=，cos=，再由 （0，），可得sin=f（）=sin（+）=sin（）=sin=点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题20已知函数f（x）=2x+k2x（kR）（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（，2上为减函数，求k的取值范围考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质专题：函数的性质及应用分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（x）=（k+1）（2x+2x）=0对一切的xR成立，所以k=1（2）若k0，则函数f（x）在（，2单调递增（舍），当k0时，令t=2x（0，4，则函数在（0，4上单调递减，所以，即k16点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义21如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角=arctan若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r0）（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档22已知椭圆：=1（常数a1）的左顶点R，点A（a，1），B（a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆上任意一点，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两个动点，满足kOMkON=kOAkOB，试探究OMN的面积是否为定值，说明理由考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出，配方后求出的最大值与最小值，即可确定出的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值解答：解：（1）点A（a，1），B（a，1），O为坐标原点，=m+n=（mana，m+n），即P（mana，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（mn）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则=（3ax，y）（ax，y）=（x3a）（x+a）+y2=（x3a）（x+a）+1=x22ax+13a2=（x）2（axa），由a1，得a，当x=a时，的最大值为0；当x=a时，的最小值为4a2，则的范围为4a2，0；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两个动点，满足kOMkON=kOAkOB，由条件得：=，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2x12）（a2x22），即x12+x22=a2，SOMN=|x1y2x2y1|=，则OMN的面积为定值点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键23已知有穷数列an各项均不相等，将an的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列pn，称pn为an的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1a3a2，则其序数列pn为1，3，2；（1）写出公差为d（d0）的等差数列a1，a2，an的序数列pn；（2）若项数不少于5项的有穷数列bn、cn的通项公式分别是（nN*），（nN*），且bn的序数列与cn的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列dn满足d1=1，（nN*），且d2n1的序数列单调递减，d2n的序数列单调递增，求数列dn的通项公式考点：等差数列的性质；等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：（1）由新定义当d0时，序数列为1，2，3，n；当d0时，序数列为n，n1，n2，3，2，1；（2）由题意可得b2b3b1b4bn，可得序数列为2，3，1，4，n，进而可得2，解不等式可得；（3）由d2n1的序数列单调递减可得d2nd2n1=，同理可得d2n+1d2n=，进而可得dn+1dn=，可得dn=d1+（d2d1）+（d3d2）+（dndn1）=1+=1+=+，既得答案解答：解：（1）由题意，当d0时，序数列为1，2，3，n；当d0时，序数列为n，n1，n2，3，2，1；（2），bn+1bn=，当n=1时，易得b2b1，当n2时，易得bn+1bn，又b1=，b3=3（）3，b4=4（）4，b4b1b3，即b2b3b1b4bn，故数列bn的序数列为2，3，1，4，n，对于数列cn有2，解得4t5；（3）d2n1的序数列单调递减，数列d2n1单调递增，d2n+1d2n10，（d2n+1d2n）+（d2nd2n1）0，而，|d2n+1d2n|d2nd2n1|，d2nd2n10，d2nd2n1=，d2n的序数列单调递增，数列d2n单调递减，同理可得d2n+1d2n0，d2n+1d2n=，由可得dn+1dn=，dn=d1+（d2d1）+（d3d2）+（dndn1）=1+=1+=+即数列dn的通项公式为dn=+点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题