2019-2020年高中数学 第一章 解三角形单元测试（含解析）新人教版必修5.doc

2019-2020年高中数学 第一章 解三角形单元测试（含解析）新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是( )(A)一解 (B)两解(C)一解或两解 (D)无解2.在ABC中，若b=2asinB，则A=( )(A)30或60 (B)45或60(C)120或60 (D)30或1503.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a3，b4，C60，则c的值等于( )(A)5 (B)13(C) (D)4.已知ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=3，b=2，A=60，则cosB=( )(A) (B) (C) (D)5.在ABC中，sinAsinBsinC=234,则cosAcosBcosC=( )(A)234 (B)1411(-4)(C)432 (D)711(-2)6.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C、D两点.已知ACD为正三角形，且DC= km，当目标出现在B点时，测得CDB=45，BCD=75，则炮兵阵地与目标的距离约为( )(A)1.1 km(B)2.2 km(C)2.9 km(D)3.5 km7.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的( )(A)北偏东10(B)北偏西10(C)南偏东10(D)南偏西108.若a,b,c是ABC的三边，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，则ABC一定是( )(A)直角三角形 (B)等边三角形(C)锐角三角形 (D)钝角三角形9.若ABC的三边是a,b,c，它的面积为，则角C等于( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)9010.(2011四川高考)在ABC中，sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC，则A的取值范围是( )(A)(0， (B)(C)(0， (D)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上)11.已知圆的半径为4，a,b,c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为_ 12.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c，若b2+c2-bc=a2，且=，则角C的值为_13.在ABC中，A=60，b=1，其面积为，则=_.14.在ABC中，若A=120，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=_.15.在ABC中，若tanA=，C=150，BC=1，则AB=_.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)在ABC中，已知 AC=3，sinA+cosA=，(1)求sinA的值；(2)若ABC的面积S=3，求BC的值.17.(12分)如图，在四边形ABCD中，CA=CD=AB=1，=1，sinBCD=.(1)求四边形ABCD的面积； (2)求sinD的值.18.(12分)ABC中，若，判断ABC的形状.19.(12分)已知ABC中，sinA(sinB+cosB)=sinC.(1)求角A的大小 ；(2)若BC=3，求ABC周长的取值范围.20.(12分)已知A，B是海面上位于东西方向(B在A东)相距5(3+)海里的两个观察点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？21.(12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若bcosC+(2a+c)cosB=0.(1)求内角B的大小；(2)若b=2，求ABC面积的最大值.（备选题）;1122110234567xy第18题图22（本小题满分12分）已知函数的图象的一部分如下图所示 （I）求函数的解析式； （II）求函数的最大值与最小值答案解析1.【解析】选B.bsinA=100=50，而05080b，即bsinAab,此三角形有两解.2.【解析】选D.b=2asinB，由正弦定理知，sinA=，A=30或150.3.【解析】选C.由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-12=13，c=.4.【解析】选C.由正弦定理知sinB=，又ba，A=60，所以B为锐角cosB=5.【解析】选B.由sinAsinBsinC=234知abc=234，设a=2x，则b=3x，c=4x.cosA=同理cosB=，cosC=,cosAcosBcosC=()=1411(-4).6.【解析】选C.CBD=180-BCD-CDB=60，在BCD中，由正弦定理，得BD=.在ABD中，ADB=45+60=105，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos105=5+2,AB=2.9( km).7.【解析】选B.灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得ACB=80，CAB=CBA=50，则=60-50=10，A在B的北偏西10方向上.8.【解析】选D.由直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，得，即a2+b2c2角C是钝角.9.【解析】选A.由题意知absinC=,tanC=，C=30.10.【解析】选C.由正弦定理，得a2b2+c2-bc，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，则cosA,0A,0A.二填空题：11.【解析】选C.=2R=8,sinC=,SABC=absinC= =.12.【解析】选C.由b2+c2-bc=a2，得b2+c2-a2=bc，cosA= =A=60，又=，=B=30，C=180-A-B=90.13.【解析】由bcsin60=，得c=4，又a2=b2+c2-2bccos60，得a=,=.答案：14.【解析】令AC=b，由余弦定理得，cosA=,则b2+5b-24=0，b=3或b=-8(舍去),S=53.答案：15.【解析】在ABC中，若tanA=，C=150，A为锐角，sinA=，BC=1，则根据正弦定理=.答案：三、解答题：16.【解析】(1)由sinA+cosA=sin(A+)=得sin(A+)=1，又0A，A+,，即A=,sinA=.(2)设ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,由S=bcsinA=c=3得c=2，由此及余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+8-232=5,故a=，即BC=.17.【解析】(1)由条件，得AC=CD=1,AB=2，=21cosBAC=1,则cosBAC=，BAC,BAC=，BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=3，BC=，BC2+AC2=AB2,ACB=，sinBCD=sin(+ACD)=cosACD=,sinACD=四边形ABCD的面积S=SABC+SACD=ACBC+ACCDsinACD=.(2)在ACD中，AD2=AC2+DC2-2ACDCcosACD=1+1-AD=,sinD=sinACD=.18.【解析】方法一：由正弦定理得：即：2A=2B或2A=180-2B，即：A=B或A+B=90ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二：由题设：化简：b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2)(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰三角形或直角三角形.19.【解题提示】由三角形的内角和定理、三角函数知识、正弦定理化简即可.【解析】(1)由A+B+C=,得sinC=sin(A+B)，代入已知条件得sinAsinB=cosAsinBsinB0,由此得tanA=,A=.(2)由上可知：B+C=,C=-B，由正弦定理得： AB+AC=2R(sinB+sinC)=2sinB+sin(-B)=2(sinB+cosB)=6sin(B+)由0B得sin(B+)13AB+AC6,ABC周长的取值范围为(6，9.20.【解析】由题意知，AB=5(3+)海里，DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,ADB=180-(45+30)=105,在DAB中，由正弦定理得DB=(海里),又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=20海里在DBC中，由余弦定理得：CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=300+1 200-21020=900,CD=30(海里)，则需要的时间t=1(小时)答：救援船到达D点需要1小时.21.【解析】(1)方法一：bcosC+(2a+c)cosB=0，由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosB，即sin(B+C)=-2sinAcosB.在ABC中，B+C=-A，sinA=-2sinAcosB，又sinA0 cosB=-，B=.方法二：因为bcosC+(2a+c)cosB=0，由余弦定理，化简得a2+ac+c2=b2，结合余弦定理a2+c2-2accosB=b2,所以cosB=,又,所以B=.(2)由正弦定理知：，c= =. SABC=bcsinA=,=2sinAcosAsin2A=sin2A-(1-cos2A)=sin2A+cos2A-=sin(2A+)-，0A，2A+ ,sin(2A+)sin =1sin(2A+)-，即ABC面积的最大值是.【方法技巧】计算三角形面积时应注意的问题：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式；(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式；(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.特别要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数求角时出现增根错误.(备选题)21/.由图象，知A2，得2分当时，有 4分 5分（II） 7分 10分， 12分