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2.4正态分布,1.正态曲线及其性质(1)正态曲线:函数,(x)=_,x(-,+),其中实数,(0)为参数,我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.,(2)正态曲线的性质:曲线位于x轴_,与x轴不相交.曲线是单峰的,它关于直线_对称.曲线在x=处达到峰值_.曲线与x轴之间的面积为_.当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着_的变化而沿x轴平移.,上方,x=,1,当一定时,曲线的形状由确定.越小,曲线越“_”,表示总体的分布越_;越大,曲线越“_”,表示总体的分布越_.如图所示:,瘦高,集中,矮胖,分散,2.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)正态分布:如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)=_,则称随机变量X服从正态分布.记为:XN(_).,2,(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率:P(-X+)=_;P(-20)的密度函数图象如图所示,则有12,12.,(3)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(0).若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为.,【解析】(1)对照正态分布密度函数f(x)=,x(-,+),可得=0,=.答案：0(2)可知N(1，),N(2，)的密度曲线分别关于直线x=1,x=2对称，因此结合所给图象知12，且N(1，)的密度曲线较N(2，)的密度曲线“高瘦”，因此12.答案：,(3)可知正态分布N(1,2)的密度曲线关于直线x=1对称.若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为0.8.答案:0.8,【要点探究】知识点正态分布1.对正态曲线的三点说明(1)解析式中含有两个常数:和e,这是两个无理数,其中是圆周率,e是自然对数的底数,即自然常数.(2)解析式中含有两个参数:和.其中可取任意实数;0.在不同的正态分布中,的取值是不同的,这是正态分布的两个特征数.,(3)解析式中前面有一个系数,后面是一个以e为底数的指数函数的形式,幂指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置上出现,注意两者的一致性.,2.对正态曲线特征的认识,3.对正态分布的三点说明(1)正态分布是自然界最常见的一种分布,例如,测量的误差;人的身高、体重等;农作物的收获量;工厂产品的尺寸:直径、长度、宽度、高度都近似地服从正态分布.(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a,b上的概率等于总体密度函数在a,b上的定积分值.也就是指随机变量X的取值区间在(a,b上时的概率等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图形的面积.,(3)从正态曲线可以看出,对于固定的和而言,随机变量在(-,+)上取值的概率随着的减小而增大.这说明越小,X取值落在区间(-,+)的概率越大,即X集中在周围的概率越大.正态分布的3原则是进行质量控制的依据,要会应用给定三个区间的概率解决实际问题.,【知识拓展】小概率事件正态总体在(-3,+3)以外取值的概率只有0.26%.由于这些概率值很小(一般不超过5%),通常称这些情况发生为小概率事件.即事件在一次试验中几乎不可能发生.,【微思考】为什么正态分布中,通常认为X只取区间(-3,+3内的值?提示:正态分布中变量X几乎总取值于区间(-3,+3之内,而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,故在实际应用中,通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取(-3,+3之内的值,简称“3”原则.,【即时练】(2014汕头高二检测)若N(1,0.04),则P(1)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【解析】选D.因为N(1,0.04),所以=1,由正态分布密度曲线可知曲线关于x=1对称,故P(1)=0.5.,【题型示范】类型一正态曲线及其性质【典例1】(1)某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(),A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同,(2)(2014石河子高二检测)如图是当取不同值1,2,3的三种正态曲线N(0,2)的图象,那么1,2,3的关系是()A.11230B.02130D.012=13,【解题探究】1.题(1)中从图中看正态曲线的什么相同?什么不同?2.图中标准差反映数据的什么?【探究提示】1.根据正态曲线的特征进行判断,从图中看出,正态曲线的对称轴相同,最大值不同.2.标准差反映该组数据的离散程度.,【自主解答】(1)选A.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知越大,正态曲线越扁平;越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.(2)选D.由图象可知，此正态分布为标准正态分布，其函数的解析式为f(x)=,xR.对于正态分布密度曲线，其标准差反映该组数据的离散程度.越大，数据越分散，曲线越矮胖；越小，数据越集中，曲线越瘦高.因而一定有0123.,又由f(x)=,xR知，当x=0时,由图象知，所以2=1.,【方法技巧】求正态曲线的两个方法(1)图解法:明确顶点坐标便可,横坐标为样本的均值,纵坐标为.(2)待定系数法:求出,便可.,【变式训练】关于正态曲线，下列说法正确的是_.曲线上任一点M(x0,y0)的纵坐标y0表示X=x0的概率;表示总体取值小于a的概率;正态曲线在x轴上方且与x轴一定不相交;正态曲线关于x=对称;一定时，越小，总体分布越分散；越大，总体分布越集中.,【解析】不对，因为密度曲线中面积代表概率，而不是纵坐标；不对，因为正态曲线关于x=对称；不对，与之相反一定时，越大，总体分散越分散，越小，总体分布越集中.答案：,【补偿训练】(2014潍坊高二检测)设的概率密度函数为则下列结论错误的是()A.P(1)=P(1)B.P(-11)=P(-11)C.f(x)的渐近线是x=0D.=-1N(0，1),【解析】选C.因为的概率密度函数为所以=1，=1,所以P(1)=P(1)，P(-11)=P(-11)，当变量符合正态分布时，与一个常数的加减运算也符合正态分布，f(x)的渐近线是y=0.,类型二利用正态分布的对称性求概率【典例2】(1)已知随机变量xN(2,2),若P(xa)=0.32,则P(ax4-a)=.(2)设XN(1,22),试求:P(-1X3);P(3X5).,【解题探究】1.题(1)中正态分布的概率密度函数关于哪条直线对称?a和4-a的平均数是多少?2.题(2)中,的值分别为多少?【探究提示】1.关于直线x=2对称.a和4-a的平均数是2.2.=1,=2.,【自主解答】(1)由正态分布图象的对称性可得:P(ax4-a)=1-2P(xa)=0.36.答案:0.36(2)因为XN(1,22),所以=1,=2.P(-1X3)=P(1-2X1+2)=P(-X+)=0.6826.,因为P(3X5)=P(-3X-1),所以P(3X5)=P(-3X5)-P(-1X3)=P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2)=P(-2X+2)-P(-X+)=(0.9544-0.6826)=0.1359.,【延伸探究】在题(2)条件不变的情况下,试求P(X5).【解析】因为P(X5)=P(X-3),所以P(X5)=1-P(-3X5)=1-P(1-4X1+4)=1-P(-2X+2)=(1-0.9544)=0.0228.,【方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值.(3)注意概率值的求解转化:P(Xa)=1-P(Xa);P(X-a)=P(X+a);若b,则P(Xb)=.,【变式训练】在正态分布N中，数值落在(-，-1)(1，)内的概率为()A.0.097B.0.046C.0.03D.0.0026【解析】选D.因为=0，=，所以P(X1)=1-P(-1X1)=1-P(-3X3)=1-0.9974=0.0026.,【补偿训练】当=0，=1时，正态曲线为xR，我们称其为标准正态曲线，且定义(x0)=P(xx0)，由此得到(0)=_.【解题指南】欲求题目中：“(0)”的值，由定义知：(0)=P(x0)，由正态曲线的对称性可解决问题.【解析】根据定义，所以(0)=P(x0)，根据标准正态曲线关于x=0对称可知，P(x0)的值是整个概率1的一半，由此得到(0)=0.5.答案：0.5,类型三正态分布的应用【典例3】(1)某厂生产的零件外直径N(8.0,0.152)(mm),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,则可认为()A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常,下午生产情况异常D.上午生产情况异常,下午生产情况正常,(2)某糖厂用自动打包机打包,每包质量X(kg)服从正态分布N(100,1.22).一公司从该糖厂进货1500包,试估计质量在下列范围内的糖包数量.(100-1.2,100+1.2).(100-31.2,100+31.2).,【解题探究】1.题(1)中判断上、下午生产情况是否正常的依据是什么?2.题中如何估计质量在所求范围内的糖包数量?【探究提示】1.依据是3原则,即某产品的外径是否落在区间(7.55,8.45)内.2.先依据正态分布求所在区间对应的概率,再计算所求范围内的糖包数量.,【自主解答】(1)选C.因为零件外直径N(8.0,0.152),根据3原则,所以在8+30.15=8.45(mm)与8-30.15=7.55(mm)之外时为异常.因为上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,7.57.55,所以下午生产的产品异常,故选C.,(2)由正态分布N(100,1.22),知P(100-1.2X100+1.2)=0.6826,P(100-31.2X100+31.2)=0.9974.所以糖包质量在(100-1.2,100+1.2)内的包数为15000.68261024.糖包质量在(100-31.2,100+31.2)内的包数为15000.99741496.,【方法技巧】正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(-,+),(-2,+2),(-3,+3)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.,【变式训练】(2014漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?,【解析】由已知XN(50,102),YN(60,42).由正态分布的2区间性质P(-2+2)=0.9544.然后解决问题的关键是:根据上述性质得到如下结果:对X:=50;=10,2区间为(30,70),对Y:=60;=4,2区间为(52,68),要尽量保证用时在X(30,70),Y(52,68)才能保证有95%以上的概率准时到达.,(1)时间只有70分钟可用,应该走第二条路线.(2)时间只有65分钟可用,两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达,但是走市区平均用时比路线二少了10分钟,应该走第一条路线.,【补偿训练】某人乘车从A地到B地,所需时间X(分钟)服从正态分布N(30,100),求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.【解析】由=30,=10,P(-X+)=0.6826知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.6826,又由于P(-2X+2)=0.9544,所以此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544-0.6826=0.2718,由正态曲线关于直线x=30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1359.,【易错误区】正态曲线的特征认识不清导致错误【典例】已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2,【解析】选C.如图,正态分布的密度函数图象关于直线x=2对称,所以P(2)=0.5,并且P(02)=P(24),则P(02)=P(4)-P(2)=0.8-0.5=0.3.,【常见误区】,【防范措施】掌握正态曲线的特征正态曲线是“钟”形的对称曲线,对称轴两侧的面积相等,即概率相等,如本例中(0,2)与(2,4)为对称区间,对应概率相等.,【类题试解】已知XN(0,2)且P(-2X2)为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【解析】选A.因为XN(0,2)且P(-2X2)=(1-0.8)=0.1.故选A.,
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