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成才之路数学,路漫漫其修远兮吾将上下而求索,人教版必修2,点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.1空间点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,在初中，我们已经学习了在同一平面内的两条直线的位置关系：_，还学习了一些平行线的性质：过直线外一点_一条直线和这条直线平行在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线_这一性质通过本节的学习也能进一步推广到空间,知识衔接,相交或平行,有且只有,也互相平行,两直线平行同位角_，内错角_，同旁内角_,相等,相等,互补,1异面直线(1)概念：不同在_平面内的两条直线叫做异面直线归纳总结对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线“异面”的含义就是“不能共面”的意思定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”,自主预习,任何一个,(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托,2空间两条直线的位置关系(1)相交直线同一平面内，_一个公共点(2)平行直线同一平面内，_公共点(3)异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点,有且只有,没有,3公理4,平行,ac,传递性,名师点拨公理4是今后论证平行问题的主要依据在公理4中，若把直线a，b，c的平行关系限制在同一平面内，则可看作是公理4的一种特殊情况,4等角定理,相等,互补,归纳总结等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否则不成立,5两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的_(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)名师点拨在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a，b所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的,锐角,直角,(2)异面直线所成的角的范围：_.(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是_，那么就说这两条直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a，b，记作a_b.归纳总结两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直,090,直角,1在三棱锥SABC中，与SA是异面直线的是()ASBBSCCBCDAB答案C,预习自测,解析如图所示，SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线,2已知空间两个角，且与的两边对应平行，60，则为()A60B120C30D60或120答案D解析与的两边对应平行，与相等或互补，故为60或120.,答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面,解析,规律总结：(1)判断两直线平行、相交可用平面几何中的定义和方法(2)判断异面直线的方法有如下几种,4.如图，AA是长方体ABCDABCD的一条棱，那么长方体中与AA平行的棱共有_条答案3,解析四边形ABBA，ADDA均为长方形，AABB，AADD.又四边形BCCB为长方形，BBCC，AACC.故与AA平行的棱共有3条，它们分别是BB，CC，DD.,5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，则：(1)AA1与C1D1所成的角的度数为_.(2)AA1与B1C所成的角的度数为_.(3)A1B与B1C所成的角的度数为_.答案(1)90(2)45(3)60,解析(1)AA1DD1，DD1C1即为所求的角DD1C190，AA1与C1D1所成的角为90.(2)AA1BB1，BB1C即为所求的角BB1C45，AA1与B1C所成的角为45.(3)易证A1DB1C，BA1D(或其补角)即为所求，易知BA1D为正三角形，BA1D60，故A1B与B1C所成的角为60.,已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命题：如果ab，bc，那么ac；如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；如果a，b是相交直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面在上述命题中，正确命题的个数是()A0B1C2D3,空间两条直线位置关系的判定,互动探究,解析a与c可能相交，也可能异面；a与c可能相交，也可能平行；a与c可能异面，也可能平行；a与c可能不在一个平面内故均不正确答案A,规律总结：1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系特别关注异面直线(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系,2判定两条直线是异面直线的方法(1)方法一：证明两条直线既不平行又不相交(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，BlAB与l是异面直线(如图),(2015河北馆陶一中月考试题)分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A一定平行B一定相交C一定异面D相交或异面答案D,解析画出图形，得到结论如图，分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是相交关系；如图，分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是异面关系综上可知，应选D,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点求证：(1)EF綊E1F1；(2)EA1FE1CF1.,公理4、等角定理的应用,所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BMA1E，所以CF1A1E.同理可证A1FCE1.因为EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以EA1FE1CF1.方法探究在证明EA1FE1CF1时，还可以通过证明A1EFCF1E1来实现，由于EFE1F1，所以只需要证明A1EA1FCE1CF1(在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明),规律总结：求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似,已知E、E1分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证：BECB1E1C1.分析欲证两个角相等，可通过等角定理来实现证明如图所示，连接EE1.,E、E1分别是AD、A1D1的中点，AEA1E1，且AEA1E1.四边形AEE1A1是平行四边形AA1EE1，且AA1EE1.又AA1BB1，且EE1BB1.四边形BEE1B1是平行四边形BEB1E1.同理可证CEC1E1.又BEC与B1E1C1的两边方向相同，BECB1E1C1.,求异面直线所成的角,探究1PA、BC如何移至同一个三角形中2找出PA和BC所成的角,易错警示DFE是否异面直线PA与BC所成的角，还要检验它的值是否在(0，90内若在，则为所求，否则其补角才是所求这是容易忽略的一步,规律总结：1.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求,2求两异面直线所成角的大小(1)求两异面直线所成角的关键在于作角，总结起来有如下“口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形柱中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行线若在外，补上原体在外边,(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角,四面体ABCD中，ABCD，AB与CD成30角，E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角解析如图，取BD的中点G，连接EG，FG.,截面四边形形状的判定,探索延拓,探究由平面几何中的平行线截线段成比例定理不难得出EHBD，FGBD，从而EHFG，然后根据两条线段的长度关系证明,拓展1若E、F、G、H分别是四面体ABCD的棱AB、BC、CD、DA上的中点，且ACBD，则四边形EFGH为_拓展2若E、F、G、H分别是四面体ABCD的棱AB、BC、CD、DA上的中点，且ACBD，则四边形EFGH为_拓展3若E、F、G、H分别是四面体ABCD的棱AB、BC、CD、DA上的中点，且ACBD，ACBD，则四边形EFGH为_(以上三个问题你会证明吗？不妨一试),菱形,矩形,正方形,设点P是直线a外一定点，过点P与a成30角的异面直线有()A无数条B两条C至多有两条D一条错解B错因分析错误产生的原因是局限在平面内了，而我们现在研究的平台是三维空间,易错点没有形成立体感考虑问题易出错,误区警示,思路分析如图，与成30角的圆锥面上的母线有无数条正解A,已知AOB30，过点O与直线OA、OB成等角的直线有()条()A无数B2C1D至多2答案A,1不平行的两条直线的位置关系是()A相交B异面C平行D相交或异面答案D解析由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面,2如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b()A共面B平行C异面D平行或异面答案D解析直线a，b没有公共点时，a，b可能平行，也可能异面,3(2015沈阳二中月考试题)空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系()A平行B相交C异面D不确定答案D,4已知ABC120，异面直线MN、PQ其中MNAB，PQBC，则异面直线MN与PQ所成的角为()A60B120C60或120D30答案A,5如图所示，在正方体ABCDABCD中，E、F、E、F分别是AB、BC、AB、BC的中点，求证：EEFF.,证明E、E分别是AB、AB的中点，BEBE，且BEBE.四边形EBBE是平行四边形EEBB，同理可证FFBB.EEFF.,
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