资源描述
7.3随机变量及其分布,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,条件概率与相互独立事件的概率【思考】如何求事件的条件概率?判断相互独立事件的常用方法有哪些?例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的满意度评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.条件概率的两种求解方法:2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B).(3)具体背景下,有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1(1)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A为“取到的两个数之和为偶数”,事件B为“取到的两个数均为偶数”,则P(B|A)=(),答案,解析,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工的零件为一等品的概率分别为,加工的两个零件是否为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为.,答案,解析,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,离散型随机变量及其分布列【思考】如何求离散型随机变量及其分布列?例2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练2从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0),命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,二项分布与正态分布【思考】应用独立重复试验概率公式应满足怎样的条件?例3乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;(3)求比赛局数的分布列.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式P(X=k)=pk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.0027,故XB(16,0.0027).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9973160.0423.X的数学期望为E(X)=160.0027=0.0432.(2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,离散型随机变量的分布列、均值与方差【思考】求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有哪些?例4为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“”表示服药者,“+”表示未服药者.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论),命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.,解：(1)当日需求量n16时,利润y=80.当日需求量n16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X的数学期望为E(X)=600.1+700.2+800.7=76.X的方差为D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为,Y的数学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.Y的方差为D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,D(X)D(Y),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然E(X)E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,E(X)E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.,规律总结,拓展演练,1.对于离散型随机变量,它的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.2.古典概型中,在A发生的条件下B发生的条件概率公式为3.相互独立事件与互斥事件的区别.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(AB)=P(A)+P(B).4.对于二项分布,如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X=k)=pkqn-k.其中k=0,1,n,q=1-p.,规律总结,拓展演练,5.若X服从正态分布,即XN(,2),要充分利用正态曲线关于直线x=对称和正态曲线与x轴之间的面积为1.6.求离散型随机变量的均值与方差的三种基本方法:(1)已知随机变量的分布列可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X的均值、方差,求Y=aX+b的均值、方差可直接用均值、方差的性质求解.(3)若随机变量服从常用的分布,可直接利用常用分布的均值、方差公式求解.,规律总结,拓展演练,1.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312,答案,解析,规律总结,拓展演练,2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(),答案,解析,规律总结,拓展演练,3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.,答案,解析,规律总结,拓展演练,4.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.,答案,解析,规律总结,拓展演练,5.现有一个寻宝游戏,规则如下:在起点P处有A,B,C三条封闭的单向线路,走完这三条线路所花费的时间分别为10min、20min、30min,游戏主办方将宝物放置在B线路上(参赛方并不知晓),开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序,若没有寻到宝物,重新回到起点后,再从没有走过的线路中随机选择线路继续寻宝,直到寻到宝物并将其带回至P处,期间所花费的时间记为X.(1)求X30分钟的概率;(2)求X的分布列及E(X)的值.,规律总结,拓展演练,解：(1)记事件A为“选择A线路”,事件B为“选择B线路”,事件C为“选择C线路”,则X30分钟的概率为,
展开阅读全文