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立体几何,第七章,第七讲立体几何中的向量方法(理),知识梳理双基自测,1两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有_个，它们是共线向量,无数,无数,2空间位置关系的向量表示,C,2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45B60C90D120,B,C,考点突破互动探究,如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.,考点1利用向量证明空间的平行与垂直师生共研,例1,利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系；根据运算结果解释相关问题,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点(1)求证：平面A1B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD,变式训练1,证明以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4),角度1异面直线所成的角(2018江苏高考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值,考点2利用向量求空间的角多维探究,例2,角度2线面角,例3,例4,解析(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，因为BEEFE，所以ACEF.因为ABBC，所以ACBE.所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC因为BE平面ABC，所以EFBE.如图建立空间直角坐标系Exyz.,(1)(角度1,2)(2019山东模拟)如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.求证：BD平面ACFE；当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小,变式训练2,考点3利用向量求空间的距离师生共研,例5,如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，DE2，M为线段BF的中点(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥MCDE的体积(2)求证：DM平面ACE.,变式训练3,解析(1)设ACBDO，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，,名师讲坛素养提升,(2018天津高考)如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长,利用向量解决位置探究型问题,例6,对于位置探究型问题，要善于根据点的位置结合问题的有关定理灵活设出未知量，使未知数个数尽量少，综合已知和结论构造等式求解,变式训练4,
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