2019-2020年高考数学大一轮复习 第六章 第36课 平面向量的数量积要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第六章 第36课 平面向量的数量积要点导学平面向量数量积的运算(1) 已知|a|=4,|b|=5,且a与b的夹角为60,求(2a+3b)(3a-2b)的值.(2) 已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60,c=3a+5b,d=ma-3b.当m为何值时,cd?当m为何值时,cd?思维引导根据数量积的运算律来进行计算.解答(1) (2a+3b)(3a-2b)=6a2-4ab+9ab-6b2=6a2+5ab-6b2=642+545cos60-652=96+50-150=-4.(2) 因为cd,所以c=d,所以3a+5b=(ma-3b),所以3a+5b=ma-3b,所以解得因为cd,所以cd=0,所以(3a+5b)(ma-3b)=0,所以3ma2-9ab+5mab-15b2=0,所以3m9-932cos60+5m32cos60-1522=0,所以m=.精要点评数量积的运算律自身的特点要弄清,模和夹角是数量积计算中必须关注的两个关键因素.(xx苏北四市期末)在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E,F分别在边AD,BC上,且=3,=3.若向量与的夹角为60,则的值为.思维引导由题意可知与为目标向量,求的值的关键是将用与线性表示.答案7解析由题意得=+,且=+,将以上两式相加,得2=+=(+)+,=+,于是=+,从而=+=9+32cos60=7.利用向量的数量积求模和夹角已知向量x=a-b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,ab,求x与y的夹角的余弦值.思维引导根据数量积的定义式的等价变形cos =,可求得两个向量的夹角.解答因为|x|2=x2=a2-2ab+b2=1-0+1=2,|y|2=y2=4a2+4ab+b2=5,xy=2a2-ab-b2=1,所以cos =.(xx南京、盐城二模)已知|=1,|=2,AOB=,=+,那么与的夹角大小为.答案60解析由题意得=|cosAOB=-1,=+=1+(-1)=,|=,故cosAOC=,则AOC=60.向量数量积的综合应用如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上.若=,则=.(例3)思维引导利用=+,=+,=+进行运算与求值.答案解析由题意得=+,所以=(+)=+=cos 0=,从而得到=1,=-1.又=+,=+,所以=(+)(+)=+=-(-1)+12=.【题组强化重点突破】1. (xx淮安、宿迁摸底)已知非零向量a,b满足(a-2b)a,(b-2a)b,那么向量a与b的夹角为.答案解析设向量a与b的夹角为,由(a-2b)a,(b-2a)b,得|a|2-2ab=0,|b|2-2ab=0,即|a|=|b|,所以cos =,又0,故=.2. (xx南京、盐城一模)在ABC中,BC=2,A=,则的最小值为.答案-解析设AB=x,AC=y,由余弦定理得22=x2+y2-2xycos,即4=x2+y2+xy2xy+xy,故xy,当且仅当x=y时取等号,=|cosA=-xy-=-,即的最小值为-.3. (xx苏中三市、宿迁一调)在ABC中,D是BC的中点,AD=8,BC=20,则的值为.答案-36解析方法一:因为=+,=+,所以=(+)(+)=-=64-100=-36.方法二:以BC为x轴,点D为原点建立平面直角坐标系,则B(-10,0),C(10,0),A(8cos,8sin),所以=(-10-8cos,-8sin)(10-8 cos,-8sin)=64 cos2-100+64 sin2=64-100=-36.方法三:以BC为x轴,点D为原点建立平面直角坐标系,则B(-10,0),C(10,0),A(xA,yA).由AD=8,则+=64.又=(-10-xA,-yA)(10-xA,-yA)=-100+=64-100=-36.4. (xx南通期末)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且|a+b|2ab,则cos(-)的值是.答案1解析由题意得2cos(-),且cos(-)0,所以2+2cos(-)4cos2(-),所以cos(-)-12cos(-)+10,所以cos(-)1,所以cos(-)=1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点,满足=(R).(1) 求|2+|的值;(2) 求cosBAC;(3) 若,求实数的值.规范答题 (1) 因为=(-1,1),=(1,5),所以2+=(-1,7).(2分)所以|2+|=5.(4分)(2) cosBAC=.(9分)(3) =-=(1,5)-(-1,1)=(+1,5-1).(11分)因为,所以=0,(13分)即(+1)1+(5-1)(-1)=0,解得=.(14分)1. (xx江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos=,向量a=3e1-2e2,b=3e1-e2,a与b的夹角为,那么cos=.答案解析cos=.2. (xx全国卷)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=.答案1解析由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得4ab=4,所以ab=1.3. 已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,那么t=.答案24. 已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,那么|b|=.答案5解析(a+b)2=50=a2+2ab+b2,解得|b|=5.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第71-72页).