2019-2020年高考数学 6.7 数学归纳法练习.doc

2019-2020年高考数学 6.7 数学归纳法练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+k2,当n=k+1时,左边=1+2+k2+(k2+1)+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.2.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=422+1=5,当n=3时,23=832+1=10,当n=4时,24=1652+1=26,当n=6时,26=6462+1=37,故起始值n0应取5.3.(xx南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+(2k)2+(2k+1)2+2(k+1)2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故选A.4.(xx潍坊模拟)某个命题与正整数有关,若当n=k(kN*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=4时该命题不成立,那么可推得()A.当n=5时,该命题不成立B.当n=5时,该命题成立C.当n=3时,该命题成立D.当n=3时,该命题不成立【解析】选D.由数学归纳法的特点可以知道,当n=4时该命题不成立,可知当n=3时,该命题不成立.5.对于不等式n+1(nN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.()A.过程全部正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解题提示】此证明中,在推出P(k+1)成立中,并没有用到假设P(k)成立的形式,不是数学归纳法.【解析】选D.在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不正确,故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx洛阳模拟)用数学归纳法证明1+1)时,第一步应验证的不等式是.【解析】由nN*,n1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1+2.答案:1+2【误区警示】此题很容易出现,第一步验证的不等式是n=2时左边为1+,缺少了,而导致答案不正确.7.设Sn=1+,则Sn+1-Sn=.【解析】因为Sn+1=1+,Sn=1+,所以Sn+1-Sn=+.答案:+8.设数列an的前n项和为Sn,且对任意的正整数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=.【解析】由(S1-1)2=得:S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=.猜想Sn=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an中,1a12,an+1=1+an-(nN*),求证:(1)a3.(2)当n3时,|an-|.【证明】(1)因为1a1-,-,所以-a3-,即|a3-|.假设当n=k(k3且kN*)时,|ak-|成立,则当n=k+1时,|ak+1-|=|ak-|ak+-2|,即n=k+1时结论成立.由可知,当n3时,|an-|.【方法技巧】数学归纳法证明不等式的种类和注意点(1)证明不等式的种类一般有三种:一是直接给出不等式;二是比较两个式子的大小,先利用n的几个特殊值猜想大小再证明;三是已知不等式成立,寻求变量的取值范围.(2)从n=k到n=k+1成立时,一定要用假设n=k的中间过渡,可以用放缩法、基本不等式、分析法等.10.已知各项均为正数的数列an的首项a1=1,对任意的正整数n都有(n2+n)(-)=1,(1)求数列an的通项公式.(2)若数列an的前n项和为Sn,求证:Sn0,所以an=.(2)因为an=,所以Sn=1+.当n=1时,左边=1,右边=2,左右,所以n=1时,Sn2.假设n=k(k1,kN*)时所证不等式成立,即Sk2,当n=k+1时,Sk+1=1+2+=0,(n2+n)(-)=1,所以a2=,a3=,a4=,猜想an=,下面用数学归纳法证明,当n=1时,因为a1=1,所以n=1时,an=.假设n=k(k1,kN*)时所证成立,即ak=,当n=k+1时,因为(k2+k)(-)=1,所以=-=-=.所以ak+1=.故当n=k+1时,an=仍成立,由可知,对任意nN*,an=成立.(2)因为=2(-),所以Sn=1+,1+1,1+,1+2,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.【解析】一般结论:1+(nN*),证明如下:(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.(2)假设当n=k(kN*)时,猜想正确,即1+.当n=k+1时,1+=+=,所以当n=k+1时,不等式成立.根据(1)(2)可知,对nN*,1+.(20分钟40分)1.(5分)(xx天津模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立,则f(10)100成立B.若f(2)4成立,则f(1)1成立C.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立D.若f(4)16成立,则当k4时,均有f(k)k2成立【解析】选D.选项A,B与题设中不等号方向不同,故A,B错;选项C中,应该是k3时,均有f(k)k2成立;选项D符合题意.2.(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是()A.假使n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(kN*)B.假使n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(kN*)C.假使n=k时正确,再推n=k+1时正确(kN*)D.假使nk(k1)时正确,再推n=k+2时正确(kN*)【解析】选B.因为n为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第k个正奇数也成立,本题即假设n=2k-1(kN*)时正确,再推第k+1个正奇数,即n=2k+1时正确,故选B.3.(5分)平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+.【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.答案:k+14.(12分)(xx汉沽模拟)如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲线C:y2=3x(y0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,n)在x轴的正半轴上,且Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点).(1)写出a1,a2,a3.(2)求出点An(an,0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式并证明.【解析】(1)a1=2,a2=6,a3=12.(2)依题意,得xn=,yn=,由此及=3xn得=(an+an-1),即(an-an-1)2=2(an-1+an).由(1)可猜想:an=n(n+1)(nN*).下面用数学归纳法予以证明:当n=1时,命题显然成立.假设当n=k(kN*)时命题成立,即有ak=k(k+1),则当n=k+1时,由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得ak+1-k(k+1)2=2k(k+1)+ak+1,即-2(k2+k+1)ak+1+k(k-1)(k+1)(k+2)=0,解得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)0,数列bn满足bn=(n=1,2,3,4,)(1)求b1,b2,b3,b4.(2)求数列bn的通项公式.(3)是否存在正数k,使得数列an的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如果存在,求出所有的k.【解析】(1)经过计算可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+.求得b1=b3=2,b2=b4=.(2)由条件可知:an+1an-2=k+anan-1.类似地有:an+2an-1=k+an+1an-有:=,即:bn=bn-2.所以b2n-1=b2n-3=b1=2,b2n=b2n-2=b2=,所以bn=+.(3)假设存在正数k,使得数列an的每一项均为整数,则由(2)可知:由a1=kZ,a6=k+4+Z可知k=1,2.当k=1时,=3为整数,利用a1,a2,a3Z,结合式,反复递推,可知an的每一项均为整数,当k=2时,变为我们用数学归纳法证明a2n-1为偶数,a2n为整数,n=1时,结论显然成立,假设n=k时结论成立,这时a2n-1为偶数,a2n为整数,故a2n+1=2a2n-a2n-1为偶数,a2n-2为整数,所以n=k+1时,命题成立,故数列an是整数列,综上所述,k的取值集合是1,2.【加固训练】设数列an的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(nN*).(1)求a1,a2.(2)猜想数列Sn的通项公式,并给出证明.【解析】(1)当n=1时,方程x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,所以(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,方程x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a1+a2-1=a2-,所以-a2-a2=0,解得a2=.(2)由题意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,当n2时,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得SnSn-1-2Sn+1=0,解得Sn=.由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=.猜想Sn=(nN*).下面用数学归纳法证明这个结论.当n=1时,结论成立.假设当n=k(kN*,k1)时结论成立,即Sk=,当n=k+1时,Sk+1=.即当n=k+1时结论成立.由知Sn=对任意的正整数n都成立.