2019-2020年高三数学上学期期中试题（含解析）.doc

2019-2020年高三数学上学期期中试题（含解析）本试卷是高三试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份好试卷.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上【题文】1已知全集，集合则 【知识点】集合及其运算A1【答案】2，3【解析】则2，3【思路点拨】先求出补集再求结果。【题文】2命题：“”的否定是 【知识点】命题及其关系A2【答案】【解析】“”的否定是。【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。【题文】3若复数z1=ai，z2=1+i（i为虚数单位），且z1z2为纯虚数，则实数a的值为 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】-1【解析】=(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数 所以 a+1 = 0 a = -1【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出a.【题文】4已知角终边经过点，则 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案】-cos2【解析】r=2由任意三角函数的定义：sin=-cos2【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。【题文】5“”是“对恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）【知识点】充分条件、必要条件A2【答案】充分不必要【解析】能推出在成立，a1 也可能成立。【思路点拨】根据推出关系判断条件。【题文】6已知为等比数列，则 【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】-7【解析】a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=-8a4=4，a7=-2或a4=-2，a7=4当a4=4，a7=-2时，a1=-8，a10=1，a1+a10=-7当a4=-2，a7=4时，q3=-2，则a10=-8，a1=1a1+a10=-7综上可得，a1+a10=-7【思路点拨】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=-8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项，求a1，a10，即可【题文】7已知函数，则的极大值为 .【知识点】导数的应用B12【答案】2ln2-2【解析】f(x)=2f(1)/x-1 令x=1得: f(1)=2f(1)-1 f(1)=1 所以:f(x)=2lnx-x，f(x)=2/x-1 f(x)=2/x-1的零点x=2 所以:0x0，f(x)是增函数 x2时，f(x)0，f(x)是减函数 所以:x=2是f(x)的极大值点 极大值f(2)=2ln2-2【思路点拨】利用求导数，根据单调性求出极大值。【题文】8已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_【知识点】解三角形C8【答案】15【解析】设三角形的三边分别为x-4，x，x+4，则cos120= ，化简得：x-16=4-x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC的面积S=610sin120=15【思路点拨】先设出边，再根据余弦定理求出边求出面积。【题文】9已知向量中任意两个都不共线,且与共线, 与共线,则向量= 【知识点】单元综合F4【答案】【解析】因为()/ ，()/，设=，= 两式相减得-=-，移项得（1+）=（1+） 因为向量、中不平行，所以只有1+=0，1+=0 即=-1，=-1 也就是+=- 即=【思路点拨】先根据向量共线关系找出向量的关系求出结果。【题文】10设函数（），将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 【知识点】函数的图象与性质C4【答案】6【解析】由题意得.k，解得=6k, 则最小值等于6【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。【题文】11设f（x）是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）0，则A的取值范围是 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】【解析】f（x）是定义在（-，+）上的奇函数，且在区间（0，+）上单调递增，f（x）在区间（-，0）上也单调递增，当A为锐角时，cosA0，不等式f（cosA）0变形为f（cosA）f（），0cosA，A当A为直角时，cosA=0，而奇函数满足f（0）=0，A为直角不成立当A为钝角时，cosA0，不等式f（cosA）0变形为f（cosA）f（-）cosA-，A，综上，A的取值范围为【思路点拨】根据函数在R上的奇偶性和在区间（0，+）上的单调性可以判断f（x）在区间（-，0）的单调性再分角A是锐角，直角还是钝角三种情况讨论，cosA的正负，利用f（x）的单调性解不等式【题文】12如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是 【知识点】单元综合F4【答案】【解析】连接AM、AN，等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120，=|cos120=-AM是AEF的中线，=（）=（m+n）同理，可得=（），由此可得 =（1-m）+（1-n）将此式平方得2=（1-m）2-（1-m）（1-n）+（1-n）2，结合m+4n=1消去m，得2=n2-n+当n=时，2的最小值为 ，所以|的最小值为【思路点拨】由等腰ABC中，AB=AC=1且A=120，算出=-连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到=（）且=（），进而得到 =（1-m）+（1-n）将此式平方，代入题中数据化简可得2=（1-m）2-（1-m）（1-n）+（1-n）2，结合m+4n=1消去m，得2=n2-n+ ，结合二次函数的性质可得当n=时， 2的最小值为 ，所以|的最小值为【题文】13等差数列的公差为d，关于x的不等式c0的解集0，22，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】11【解析】关于x的不等式x2+(a1-)x+c0的解集为0，22，22= ，且0即a1=-d0，则a11=a1+10d0，a12=a1+11d0故使数列an的前n项和Sn最大的正整数n的值是11【思路点拨】根据已知中等差数列an的公差为d，关于x的不等式x2+(a1-)x+c0的解集为0，22，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案【题文】14已知数列满足（q为常数），若18，6，2，6，30，则 【知识点】单元综合D5【答案】-2,126，-3【解析】由已知可得，an+1+2=q（an+2），n=1，2，当an=-2时，显然有a3，a4，a5，a6-18，-6，-2，6，30，此时a1=-2当an-2时，则，（q为常数），又因为a3，a4，a5，a6-18，-6，-2，6，30，所以a3+2，a4+2，a5+2，a6+2-16，-4，0，8，32，因为an-2，所以an+20，从而a3+2=32，a4+2=-16，a5+2=8，a6+2=-4，或a3+2=-4，a4+2=8，a5+2=-16，a6+2=32故有q=-2或q=-代入an+1=qan+2q-2得a1=-3，或a1=126【思路点拨】观察已知式子，移项变形为an+1+2=q（an+2），从而得到an+2与an+1+2的关系，分an=-2和an-2讨论，当an-2时构造等比数列an+2，公比为q计算可得答案二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】15（本题满分14分）已知 实数满足, 其中； 实数满足2x3(1) 若 且为真, 求实数的取值范围；(2) 若是的必要不充分条件, 求实数的取值范围. 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案】（1）(2) 【解析】（1）p：由原不等式得，（x-3a）（x-a）0，a0为，所以ax3a；当a=1时，得到1x3；q：实数x满足2x3；若pq为真，则p真且q真，所以实数的取值范围是. (2) p是q的必要不充分条件，即qp,且pq， 设A=, B =, 则AB， 又，A=；所以有解得所以实数的取值范围是. 【思路点拨】（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：ax3a，a=1时，所以p：1x3根据pq为真得p，q都真，所以解该不等式组即得x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，解不等式即得a的取值范围【题文】16（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点（1）证明：EF平面ABC；（2）证明：C1E平面BDE ABCDEC1A1B1F（第16题）【知识点】 空间中的平行关系垂直关系G4 G5【答案】（1）略（2）略【解析】（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG因为F为C1B的中点，所以FGC1C在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AC1C，且E为A1A的中点，所以FGEA所以四边形AEFG是平行四边形 所以EFAG因为EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF平面ABC （2）因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，BD平面ABC，所以A1ABD 因为D为AC的中点，BABC，所以BDAC因为A1AACA，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD平面A1ACC1因为C1E平面A1ACC1，所以BDC1E 根据题意，可得EBC1EAB，C1BAB，所以EBC1EC1B2从而C1EB90，即C1EEB 因为BDEBB，BD 平面BDE， EB平面BDE，所以C1E平面BDE 【思路点拨】根据线线垂直证明线面垂直，根据线面平行判定证明平行。 【题文】17（本题满分15分）已知向量.（1）若，且，求的值；（2）定义函数，求函数的单调递减区间；并求当 时，函数的值域.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，因为，所以，即，所以（2）， 令，得，所以函数的单调递减区间是 因为，所以，所以当 时，函数的值域 【思路点拨】根据向量的关系求出结果三角函数性质求出值域。【题文】18（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.（）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）【知识点】函数模型及其应用B10【答案】（）（）万元【解析】（）由题意得，（）因为 当时，当且仅当，即时等号当时，可证在上单调递减，所以当时，取最小值为 由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元【思路点拨】根据等量关系求出关系式，利用单调性求出最小值。【题文】19（本题满分16分）已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数单调递增区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围【知识点】导数的应用B12【答案】（2）（3）【解析】因为函数，所以， 又因为，所以函数在点处的切线方程为 由，因为当时，总有在上是增函数， 又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为 因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可又因为，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值因为，令，因为，所以在上是增函数而，故当时，即；当时，即 所以，当时，即，函数在上是增函数，解得；当时，即，函数在上是减函数，解得综上可知，所求的取值范围为 【思路点拨】根据导数的意义求出切线方程，根据单调性求出参数的范围。【题文】20（本题满分16分）在数列中，且对任意的,成等比数列，其公比为（1）若=2()，求；（2）若对任意的，成等差数列，其公差为，设 求证：成等差数列，并指出其公差； 若=2,试求数列的前项的和【知识点】单元综合D5【答案】（1）（2），或【解析】（1）因为，所以，故是首项，公比为4的等比数列，所以 （2）因为，成等差数列，所以2 ，而，所以， 所以，即，所以成等差数列，其公差为1（3）因为，所以，即，所以或 （）当时，所以，所以，即，得所以 ，所以， （ii）当时，所以，即，得所以 ，所以，综合得，或 【思路点拨】利用等比数列求和公式求出，数列性质求出。【题文】数学（附加题）【题文】21（B）（本题满分10分）已知矩阵M =，N =，试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式【知识点】选修4-2 矩阵N2【答案】【解析】MN = = 即在矩阵MN变换下 即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为 【思路点拨】利用矩阵求出函数解析式。【题文】21（C）（本题满分10分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为（ 为参数），求直线l被曲线截得的线段长度.【知识点】参数与参数方程N3【答案】【解析】将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆,直线方程的普通方程为， 圆C的圆心到直线l的距离， 故直线l被曲线截得的线段长度为 【思路点拨】先把参数方程转化成普通方程，再由勾股定理求出长度。【题文】22（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.(1)试确定、两点的位置.(2)求二面角大小的余弦值.ADBCPA1B1C1QD1第22题【知识点】空间向量及运算G9【答案】(1) 分别为中点(2) 【解析】(1)以为正交基底建立空间直角坐标系，设，则， ,，解得 PC=1,CQ=1,即分别为中点(2)设平面的法向量为，,又，令，则,为面的一个法向量,而二面角为钝角,故余弦值为 【思路点拨】根据空间向量求出法向量求出余弦值。【题文】23（本题满分10分）已知函数（1）若函数在处取极值，求的值；（2）如图，设直线将坐标平面分成、四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内判断其所在的区域并求对应的的取值围；xxO（第23题）（3）比较与的大小，并说明理由【知识点】导数的应用B12【答案】（1）（2）（3）略【解析】xxO（第23题）（1），在处取极值，（经检验符合题意）（2）因为函数的定义域为，且当时，又直线恰好通过原点，所以函数的图象应位于区域内，于是可得，即 ，令，令，得，时，单调递增，时，单调递减的取值范围是 （3）由（2）知，函数时单调递减，函数p（x）= ，在x（e，+）时，单调递减，xln（x+1）（x+1）lnx，ln（x+1）xlnx（x+1），即（x+1）xx（x+1），令x=3，4，2011，则4334，5445，xx20112011xx又32432334，324354xx20112334452011xx【思路点拨】根据导数极值求出a,再利用单调性求出范围证明大小。