2019-2020年高考数学专题复习 第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用练习 新人教A版.doc

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资源描述
2019-2020年高考数学专题复习 第20讲 函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的应用练习 新人教A版考情展望1.考查函数yAsin(x)的图象变换.2.考查函数yAsin(x)的图象画法或解析式的求法.3.以新问题新情景为切入点,考查三角函数模型的应用一、yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0,0),x0,)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx二、用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0 三、由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(其中A0,0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的1已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6,BT6,CT6, DT6,【解析】由题意知f(0)2sin 1,sin ,又|,又T6,故选A.【答案】A2函数ysin在区间上的简图是下列选项中的()【解析】当x时,ysin0;当x时,ysin,从而排除B、C、D,选A.【答案】A3将函数ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象上所有的点向右平行移动个单位,得到图象的函数解析式为()Aysin BysinCysin Dysin【解析】将ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为ysin x,再把所得图象上所有点向右平移个单位,得到的图象解析式为ysin sin.【答案】D图3414已知函数yAsin(x)(0,|)的部分图象如图341所示,则()A1,B1,C2,D2,【解析】由图象知A1,T4,2,排除A,B,再由2,得.【答案】D5(xx安徽高考)要得到函数ycos(2x1)的图象,只要将函数ycos 2x的图象()A向左平移1个单位 B向右平移1个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位【解析】ycos(2x1)cos 2,只要将函数ycos 2x的图象向左平移个单位即可,故选C.【答案】C6(xx四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图342所示,则,的值分别是()图342A2, B2,C4, D4,【解析】,T.又T(0),2.由五点作图法可知当x时,x,即2,.故选A.【答案】A考向一 056作函数yAsin(x)的图象已知函数f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.(1)将f(x)化为yAcos(x)的形式;(2)用“五点法”在给定的坐标中,作出函数f(x)在0,上的图象【思路点拨】(1)运用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化为yAcos(x)的形式;(2)在表中列出0,上的特殊点及两个区间端点,根据变化趋势画出图象【尝试解答】(1)f(x)cos2xsin2x2sin xcos xcos 2xsin 2xcos.(2)列表:2x2x0f(x)1001图象为:规律方法11.寻找0,上的特殊点时,可先求出2x的范围,在此范围内找出特殊点,再求出对应的x值.2.用“五点法”作图应注意四点:(1)将原函数化为yAsin(x)(A0,0)或yAcos(x)(A0,0)的形式;(2)求出周期T;(3)求出振幅A;(4)列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点和区间端点.对点训练已知函数f(x)sin.画出函数yf(x)在区间0,上的图象【解】0x,2x.列表如下:2x2x0y1010画出图象如图所示考向二 057函数yAsin(x)的图象变换(1)(xx浙江高考)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()(2)(xx课标全国卷)函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位后,与函数ysin的图象重合,则_.【思路点拨】(1)写出变换后的函数解析式,再根据图象变换找图象;(2)先进行平移,得出的三角函数与所给的三角函数进行比较,求出的值. 【尝试解答】(1)ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1ycos(x1)结合选项可知应选A.(2)ycos(2x)的图象向右平移个单位得到ycos的图象,整理得ycos(2x)其图象与ysin(2x)的图象重合,2k,2k,即2k.又,.【答案】(1)A(2)规律方法2对yAsin(x)进行图象变换时应注意以下两点:(1)平移变换时,x变为xa(a0),变换后的函数解析式为yAsin(xa);(2)伸缩变换时,x变为(横坐标变为原来的k倍),变换后的函数解析式为yAsin(x).对点训练(xx济南一中等四校联考)为了得到函数ysin 2x的图象,只需把函数ysin的图象()A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位 D向右平移个单位【解析】ysinsin 2,故只需把该函数的图象向右平移个单位便可得到函数ysin 2x的图象【答案】D考向三 058求函数yAsin(x)的解析式(1)如图343是函数yAsin(x)2(A0,0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是()图343AA3,T,BA1,T,CA1,T, DA1,T,(2)如图344是函数yAsin(x)(A0,0,|)的部分图象,则该函数的解析式为_图344【思路点拨】(1)利用求A,借助T求,利用点求.(2)借助图象特征求A及T,进而求出,利用点或(,0),等条件确定的值【尝试解答】(1)由图象知,A1,T,由2k,得2k,kZ,令k0得,故选C.【答案】C(2)由图知A5,由,得T3,此时y5sin.下面求初相.法一(单调性法):点(,0)在递减的那段曲线上,(kZ)由sin0得2k(kZ),2k(kZ)|,.该函数的解析式为y5sin.法二(最值点法):将最高点坐标代入y5sin,得5sin5,2k(kZ),2k(kZ)又|,.该函数的解析式为y5sin.法三(起始点法):函数yAsin(x)的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x正是由x0解得的故只需找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得.由图象易得x0,x0.该函数的解析式为y5sin.法四(平移法):由图象知,将y5sin的图象沿x轴向左平移个单位,就得到本题图象,故所求函数解析式为y5sin.规律方法31.求参数是确定函数解析式的关键,由特殊点求时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.2.用五点法求值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0.“第二点”(即图象的“峰点”)时,x;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x;“第四点”(即图象的“谷点”)时x;“第五点”时x2.对点训练(xx大纲全国卷)若函数ysin(x)(0)的部分图象如图345,则()图345A5B4C3D2【解析】设函数的最小正周期为T,由函数图象可知x0,所以T.又因为T,可解得4.【答案】B考向四 059三角函数模型的简单应用图346如图346为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设B点与地面间的距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式;(2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?【思路点拨】【尝试解答】(1)以圆心O为原点,建立如图所示的直角坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为.故点B的坐标为,h5.64.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是,故t秒转过的弧度数为t,h5.64.8sin,t0,)到达最高点时,h10.4 m.由sin1且用时最少得t,t30,缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒规律方法41.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面:一是已知三角函数模型,准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是合理建模2建模的方法是,认真审题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程对点训练图347(xx郑州模拟)如图347所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】P0(,),P0Ox.按逆时针转时间t后,得POP0t,POxt.由三角函数定义,知点P的纵坐标为2sin,因此d2.当点P在P0处时,t0,d,排除A、D;当t时,点P在x轴上,此时d0,排除B.【答案】C规范解答之四三角函数的图象性质及平移变换1个示范例1个规范练(12分)(xx山东高考)已知向量m(sin x,1),n(A0),函数f(x)mn的最大值为6.(1)求A;(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,求g(x)在上的值域【规范解答】(1)f(x)mnAsin xcos xcos 2xAAsin.4分因为A0,由题意知A6.6分(2)由(1)得f(x)6sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象;8分再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y6sin的图象.10分因此g(x)6sin.因为x,所以4x,故g(x)在上的值域为3,6.12分【名师寄语】(1)伸缩变换时,只是x的系数发生变化,横坐标缩短为原来的倍,则x变为2x,其他量不变.(2)求yAsin(x)的值域问题,应先根据x的范围,确定x的范围,再数形结合求值域.(xx安徽高考)设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数yf(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变化得到【解】(1)因为f(x)sin xsin xcos xsin xcos xsin(x),所以当x2k(kZ),即x2k(kZ)时,f(x)取得最小值.此时x的取值集合为.(2)先将ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得ysin x的图象;再将ysin x的图象上所有的点向左平移个单位,得yf(x)的图象
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