2019-2020年高考数学 抛物线练习.doc

2019-2020年高考数学 抛物线练习1、已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且，过点向直线作垂线，垂足分别为，的面积分别为记为与，那么（ ）A. B. C. D.2、已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M证明：ABMF；（3）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积；若不存在，试说明理由3、已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点（I）求点M的轨迹C的方程；（）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|4、已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.5、已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是坐标原点，点、是两曲线的交点，若，则双曲线的实轴长为 .6、已知抛物线，圆 （1）在抛物线上取点，的圆周上取一点，求的最小值； （2）设为抛物线上的动点，过作圆的两条切线，交抛物线于、点，求中点的横坐标的取值范围 7、已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足（I）求动点N的轨迹E的方程；（II）过点F且斜率为k的直线，与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得成立，请说明理由，8、已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标9、如图，已知抛物线C：y2=2px和M：（x4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y01）作两条直线与M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为（）求抛物线C的方程；（）当AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值10、如图，已知抛物线，焦点为，过点作直线交抛物线于两点，设（I）若，求抛物线的方程；（II）若直线与轴不垂直，直线交抛物线于另一点,直线交抛物线于另一点.求证：直线与直线斜率之比为定值.11、已知抛物线C：y=-x2+4x-3 .（1）求抛物线C在点A（0，3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.12、如图，已知抛物线的焦点在抛物线上（）求抛物线的方程及其准线方程；（）过抛物线上的动点作抛物线的两条切线、， 切点为、若、的斜率乘积为，且，求的取值范围13、已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率为。（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M，若=1，=，求证：1+为定值14、用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点为已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米（1）求横梁的长度;（2）求梯形外框的用料长度（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米）15、如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A（）求实数b的值；（）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程16、已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面积的最小值；（2） 若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点.17、已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点 (1)证明：抛物线在点处的切线与平行；(2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由18、如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（）求抛物线的方程；（）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由19、如图，抛物线：与坐标轴的交点分别为、.求以、为焦点且过点的椭圆方程；经过坐标原点的直线与抛物线相交于、两点，若，求直线的方程20、已知抛物C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为.（I）求抛物线C的标准方程；（II）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由. 答 案1、C2、解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c由已知条件，F（0，1），b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1所以椭E的方程为（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x24kx4=0x1x2=4抛物线的方程为y=x2，求导得y=x，过抛物线上A，B两点的切线方程分别是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）即y=x1x，y=x2xx22解得两条切线的交点M的坐标为（，1）=0ABMF（3）假设存在点M满足题意，由（2）知点M必在直线y=1上，又直线y=1与椭圆有唯一交点，故M的坐标为（01），设过点M且与抛物线C相切的切线方程为yy0=x0（xx0）：，其中点（x0，y0）为切点令x=0，y=1得，1x02=x0（0x0），解得x0=2或x0=2，故不妨取A（2，1）B（2，1），即直线AB过点F综上所述，椭圆E上存在一点M（0，1），经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），能使直线AB过点F此时，两切线的方程分别为y=x1和y=x1抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积为=3、（I）先确定F1、F2的坐标，再根据线段PF2的中垂线与与PF1、PF2交于M点，结合椭圆的定义，可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，从而可得点M的轨迹C的方程；（）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，），不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x1），由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|解：（I）由题意得，F1（1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4|F1F2|，（2分）点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，（4分）其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，椭圆方程为： （5分）（）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，），又F1（1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1不满足条件（6分）当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x1）由即（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（1，0）所以（1x1）（1x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，（8分）由得k2x2（2k2+4）x+k2=0因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4=2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2+2=（12分）4、解析：（I）由题意知，设，则FD的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得. 所以抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，因为，则，由得，故， 故直线AB的斜率为， 因为直线和直线AB平行， 设直线的方程为，代入抛物线方程得， 由题意，得.设，则，.当时，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为， 因为点在直线AE上，故，设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16.【思路点拨】（I）设，因为 ，则FD的中点为，由为正三角形求得p=2，所以抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，得， 故直线AB的斜率为，设直线的方程为，代入抛物线方程，由得.从而得切点. 当时，可得直线AE的方程为，由，得直线AE的方程，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点. 所以直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，故，因为直线AB的方程为，即：，代入抛物线方程得，设，则 ，可求得，所以点B到直线AE的距离为：d.则的面积，当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16.5、解析：抛物线与双曲线有相同的焦点，点的坐标为（1，0），轴.设点在第一象限，则点坐标为（1，2）设左焦点为，则=2,由勾股定理得，由双曲线的定义可知.6、解析：（1）设，则， 则 ，当且仅当是取等号3分 的最小值为的最小值减，为5分 （2） 由题设知，切线与轴不垂直， ，设切线 设，中点，则 将与的方程联立消得 即得（舍）或 设二切线的斜率为，则， 8分 又到的距离为1，有， 两边平方得 9分 则是的二根，则10分 则 11分 在上为增函数 ， 13分7、（）设N（x，y），则由，得P为MN的中点，M（x，0），即y2=4x动点N的轨迹E的方程y2=4x（）设直线l的方程为y=k（x1），由，消去x得设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，y1y2=4假设存在点C（m，0）满足条件，则，=，关于m的方程有解假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立8、（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x）（k0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+=+=为定值当PQx轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQx轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y22pty2pm=0，设P（，y1），Q（，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=2pm即有|MP|2=（m）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m）2+y22=（1+t2）y22即有+=，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为=为定值；（3）解：，可得=，可得（+）（）=0，即为NP2=2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），设，则y1=y2，p=（p），又设N（n，0）（n0），则（n）2+y12=2（n）2+y22，即为n=（n），将平方可得，y12=2y22，将代入，化简可得n=p则N（p，0）9、【分析】： （）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；（）法一：根据当AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得kHE=kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=2yH=4，从而可求直线EF的斜率；法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m1），再利用导数法，即可求得t的最小值解：（）点M到抛物线准线的距离为=，抛物线C的方程为y2=x（2分）（）法一：当AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），kHE=kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），y1+y2=2yH=4（5分）（7分）法二：当AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），AHB=60，可得，直线HA的方程为，联立方程组，得，（5分）同理可得，（7分）（）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线HA的方程为（4x1）xy1y+4x115=0，同理，直线HB的方程为（4x2）xy2y+4x215=0，（9分）直线AB的方程为，令x=0，可得，t关于y0的函数在1，+）上单调递增，当y0=1时，tmin=11（12分）法二：设点H（m2，m）（m1），HM2=m47m2+16，HA2=m47m2+15以H为圆心，HA为半径的圆方程为（xm2）2+（ym）2=m47m2+15，M方程：（x4）2+y2=1得：直线AB的方程为（2xm24）（4m2）（2ym）m=m47m2+14（9分）当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m1），t关于m的函数在1，+）上单调递增，当m=1时，tmin=11（12分）10、（1）；（2）11、(1)，所以过点A（0，3）和点B(3，0)的切线方程分别是，两条切线的交点是（），4分(2)围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部分，分别计算再相加，得：即所求区域的面积是. 8分12、（）的焦点为，所以，.故的方程为，其准线方程为4分（）任取点，设过点P的的切线方程为5分由，得6分由，化简得，8分记斜率分别为，则，因为，所以10分所以，所以 12分13、（）设椭圆C的方程为+=1（ab0），KS*5U.C#O则由题意知b=1，=,即=a2=5 3分椭圆的方程为+y2=1 4分（）设A、B、M的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),(0,y0),易知点F的坐标为（2，0） =1 （x1,y1y0）=1（2x1,-y1）6分x1= ， y1= 7分KS*5U.C#O将A（x1,y1）坐标代入椭圆方程得2+2=18分整理得：12+101+55 y02=0 同理由=得：22+102+55 y02=0 10分1、2是方程x2+10x+55 y02=0的两根，得1+=1012分14、（1）如图，以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系设梯形下底与轴交于点，抛物线的方程为：由题意，得，.3取，即答：横梁的长度约为28cm.6（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设.7则，即.10得梯形周长为答：制作梯形外框的用料长度约为141cm.1415、（I）由，得：x24x4b=0，由直线l与抛物线C相切，知=（4）24（4b）=0，由此能求出实数b的值（II）由b=1，得x24x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=1的距离，由此能求出圆A的方程解：（I）由，消去y得：x24x4b=0，因为直线l与抛物线C相切，所以=（4）24（4b）=0，解得b=1；（II）由（I）可知b=1，把b=1代入得：x24x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=1的距离，即r=|1（1）|=2，所以圆A的方程为：（x2）2+（y1）2=416、(1) 时，EMN的面积取最小值4； (2) 见解析解析：（）当时，E为抛物线的焦点，ABCD设AB方程为，由，得， AB中点，同理，点2分4分当且仅当，即时，EMN的面积取最小值4 6分（）证明：设AB方程为，由，得，AB中点，同理，点8分 10分MN：，即直线MN恒过定点 12分17、解法一：(1)如图，设，把代入得，由韦达定理得，点的坐标为 设抛物线在点处的切线的方程为，点的坐标为，抛物线在点处的切线的斜率为，(2)假设存在实数，使，则，又是的中点， 由()知轴，又 ，解得即存在，使18、()因为的面积为,所以，2分代入椭圆方程得， 抛物线的方程是： 4分() 存在直线: 符合条件解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得.设,则.6分由直线OC的斜率为,故直线的方程为，与联立得，同理，所以8分可得要使，只需10分即解得，所以存在直线: 符合条件 12分19、由解得、3分所以，从而5分，椭圆的方程为6分依题意设：7分，由得8分依题意得11分，解得13分所以，直线的方程是或14分20、(I)由题意,抛物线C的方程为-3分(II) 设,直线MN的方程为联立得,-6分由对称性,不妨设, (i)时, 同号, 又不论a取何值,t均与m有关,即时A不是“稳定点”; -9分 (ii) 时, , 异号,又 所以,仅当,即时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. -13分