2019-2020年高三下学期3月调研数学试题 含答案.doc

2019-2020年高三下学期3月调研数学试题 含答案xx.3一、填空题（每小题5分，共70分）1、设复数，若为实数，则为 .2、命题“若实数a满足，则”的否命题是 命题（填“真”、“假”之一）3、半径为1的半球的表面积为 .4、某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30、50、10和10，则全班学生的平均分为 分5、若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的等于 .6、在锐角中，的对边长分别是，则的取值范围是 .7、若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 .8、已知各项均为正数的等比数列的最小值为 .9、已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，则不等式的解集为 . 10、两圆和恰有三条共切线，则 的最小值为 .11、设定义在R上的函数满足对，且，都有，则的元素个数为 12、设点在平面区域中按均匀分布出现，则椭圆（ab0）的离心率的概率为 13已知中，为内心，则的值为 . 14、已知数列的各项都是正整数，且 若存在，当且为奇数时，恒为常数，则 二、解答题15、(14分) 如图，正ABC的边长为15，（1）求证：四边形APQB为梯形；ABCPQ（2）求梯形APQB的面积16、（14分）如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm（1）求证：ADBC；（2）已知点E是CD的中点，点P在ABC的内部及边界上运动，且满足EP平面ABD，试求点P的轨迹；A（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率BD C17、（14分）在海岸处，发现北偏东方向、距离处海里的处有一艘走私船；在处北偏西方向、距离处海里的处的辑私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？BACD18、（16分）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且和分别在轴和轴上 .（1）求证：；（2）若四边形的面积为8，对角线的长为2，且，求的值；xy（3）设四边形的一条边的中点为，且垂足为.试用平面解析几何的研究方法判断点、是否共线，并说明理由.19、（16分）定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列（1）若()，证明：数列是数列；（2）设数列的通项为，且数列是数列，求的取值范围；（3）设数列()，问数列是否是数列？请说明理由20、（16分）对于正整数，存在唯一一对整数，使得.特别地，当时，称能整除，记作，已知.（1）存在，使得，试求的值；（2）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；（3）若指集合中元素的个数），且存在，则称为“和谐集”.求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.试题答案一、填空题1、4； 2、真； 3、；4、2； 5、63； 6、； 7、；8、4； 9、； 10、1； 11、或； 12、；13、； 14、1或5.二、解答题15、解：（1）因=，4分故，且|=13，|=15，|，于是四边形APQB为梯形7分（2）设直线PQ交AC于点M，则，故梯形APQB的高h为正ABC的AB边上高的，即 11分从而，梯形APQB的面积为 14分16、解：（1）取BC中点M，连AM，DM因ABC及BCD均为正三角形，故BCAM，BCDM因AM，DM为平面ADM内的两条相交直线，故BC平面ADM，于是BCAD4分（2）连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM于是EQAD，故EQ平面ABD同理MQ平面ABD因EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，故平面QEM平面ABD，从而点P的轨迹为线段QM 8分（3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，故所有等可能基本事件总数为34=81 10分走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了AB，然后走第2条棱为：或BA或BC或BD若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择 12分故小虫走12cm后仍回到A点的选择有3(3+2+2)=21种可能于是，所求的概率为 14分17、解：设辑私船小时后在处追上走私船，则有.在中，.利用余弦定理可得.4分由正弦定理，,得，即与正北方向垂直.于是.8分在中，由正弦定理得，得, 又，得.12分答： 当辑私船沿东偏北的方向能最快追上走私船，最少要花的时间为小时. 14分18、解:（1）证法一：由题意，原点必定在圆内，即点代入方程的左边后的值小于0，于是有，即证. 4分证法二：由题意，不难发现、两点分别在轴正负半轴上. 设两点坐标分别为， ，则有. 对于圆方程，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有.因为，故. 4分（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形面积，因为，可得. 6分又因为，所以为直角，而因为四边形是圆的内接四边形，故. 8分 对于方程所表示的圆，可知，所以. 10分（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为，.则可得点的坐标为，即. 12分又，且，故要使、三点共线，只需证即可.而，且对于圆的一般方程，当时可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有. 14分同理，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的纵坐标，于是有.所以，即. 故、必定三点共线. 16分19、解：(1) 由得所以数列满足. ()单调递减,所以当n=1时，取得最大值-1，即.所以，数列是数列. 4分(2) 由得，当,即时，此时数列单调递增； 6分而当时，此时数列单调递减；因此数列中的最大项是，所以，的取值范围是 . 9分（3）假设数列是数列，依题意有： 11分因为,所以当且仅当小于的最小值时,对任意恒成立，即可得. 14分又当时，,，故 综上所述：当且时，数列是数列 16分20、（1）解：因为，所以. 3分（2）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则. 设，由已知.由于，所以. 6分不妨令，这里且， 同理，,因为只有三个元素，所以. 即，但，与已知矛盾.因此，假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则. 9分（3）解：当时，记，记，则，显然对任意，不存在，使得成立.故是非 “和谐集”，此时，.同理，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为“和谐集”.因此. 12分下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.设.若1，14，21都不属于集合，构造集合，.以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.16分