2019-2020年高二数学下学期校级知识竞赛试题 理.doc

2019-2020年高二数学下学期校级知识竞赛试题 理一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知复数的虚部为（ ）A B C D 12、菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是（ ）A大前提 B小前提C推理形式 D大小前提及推理形式 3、已知x与y之间的一组数据： x0123 y1357则y与x的线性回归方程为 必过点 （ ） A .(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D(1.5,4)4、曲线y=与直线x=1,x=4及x轴所围成的区域的面积是（ ）A Bln2 C2ln2 Dln225、设随机变量等于 ( ) A. B. C. D.6平面四边形中，则四边形是 A矩形 B菱形 C正方形 D梯形7等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积）， ，中值为正数的个数是A B C D 8定义域的奇函数，当时恒成立，若，c=-2f(2)，则A B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9某校有名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是，现用分层抽样的方法在全校抽取名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为_高一高二高三女生男生10如果实数、满足条件，那么的最大值为_11在中角、的对边分别是、，若， 则_12右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是_？13由数字、组成无重复数字的五位数，其中奇数有 个14若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分12分）已知函数，是的导函数（1）求函数的最小值及相应的值的集合；（2）若，求的值16（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”数据如下表（计算过程把频率当成概率） （1）如果甲、乙来自小区，丙、丁来自小区，求这人中恰有人是低碳族的概率； （2）小区经过大力宣传，每周非低碳族中有的人加入到低碳族的行列如果周后随机地从小区中任选个人，记表示个人中低碳族人数，求17（本小题满分14分）已知点、，若动点满足 （1）求动点的轨迹； （2）在曲线上求一点，使点到直线：的距离最小18 (本小题满分14分)已知梯形中，、分别是、上的点，沿将梯形翻折，使平面平面(如图)是的中点，以、为顶点的三棱锥的体积记为（1）当时，求证： ；（2）求的最大值；（3）当取得最大值时，求异面直线与所成的角的余弦值19（本题满分14分）数列中，前项和，（1）证明数列是等差数列；（2）求关于的表达式；（3）设 ，求数列的前项和20（本题满分14分）二次函数满足，且最小值是（1）求的解析式；（2）设常数，求直线： 与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是； （3）已知，求证：饶平县凤洲中学xx年高二级（理科）数学竞赛参考答案一、选择题题目12345678答案DADCBBBA9 ；10；11；12；13；1415解：（1），故， 2分， 4分当，即时，取得最小值，相应的值的集合为 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣分（2）由，得， ，故， 10分 12分16解：（1）设事件表示“这人中恰有人是低碳族” 1分 4分答：甲、乙、丙、丁这人中恰有人是低碳族的概率为； 5分 （2）设小区有人，两周后非低碳族的概率故低碳族的概率 9分随机地从小区中任选个人，这个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是，故这个人中低碳族人数服从二项分布，即 ，故 12分17解：（1）设动点，又点、， 3分由，得， 4分，故，即， 轨迹是焦点为、长轴长的椭圆； 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分（2）椭圆上的点到直线的距离的最值等于平行于直线：且与椭圆相切的直线与直线的距离 设直线的方程为 8分 由，消去得 （*）依题意得，即，故，解得当时，直线：，直线与的距离当时，直线：，直线与的距离由于，故曲线上的点到直线的距离的最小值为12分当时，方程（*）化为，即，解得由，得，故 13分曲线上的点到直线的距离最小 14分18（法一）（1）证明：作，垂足，连结，平面平面，交线，平面，平面，又平面，故，四边形为正方形，故又、平面，且，故平面又平面，故 （2）解：，平面平面，交线，平面面又由（1）平面，故，四边形是矩形，故以、为顶点的三棱锥 的高，又三棱锥的体积 当时，有最大值为 （3）解：由（2）知当取得最大值时，故，由（2）知，故是异面直线与所成的角在中，由平面，平面，故在中，异面直线与所成的角的余弦值为法二：（1）证明：平面平面，交线，平面，故平面，又、平面，又，取、分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示当时，又，即； （2）解：同法一； （3）解：异面直线与所成的角等于或其补角又， 故，故异面直线与所成的角的余弦值为19（1）证明：由，得，故分数列由是首项，公差的等差数列； 4分（2）解：由（1）得 6分； 分 （3）由（），得 10分数列的前项和 分 14分20解：（1）由二次函数满足设，则 分又的最小值是，故解得； 分（2）依题意，由，得，或（）分由定积分的几何意义知 分（3）的最小值为，故， 分 ，故 12分， 13分， 14分