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,第二章几个重要的不等式,3数学归纳法与贝努利不等式,3.1数学归纳法3.2数学归纳法的应用,一、阅读教材P36P37“数学归纳法”的有关内容，完成下列问题：1数学归纳法(1)数学归纳法的概念：设有一个关于正整数n的命题，若当n取第1个值n0时该命题成立，又在假设当n取第_个值时该命题成立后可以推出n取第_个值时该命题成立，则该命题对_都成立，这种证明方法叫作数学归纳法(2)数学归纳法适用范围：可用于证明与_有关的命题,k(kN，kn0),k1,一切自然数nn0,正整数,2数学归纳法证明命题的步骤(1)验证当n取_(如n01或2等)时命题正确(2)假设当nk(kN，kn0)时命题正确，证明当_时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确,第一个值n0,nk1,1(1)数学归纳法中，n取得的第一个值n0是否一定是1?(2)如何理解归纳假设在证明中的作用？提示：(1)n0不一定是1，是符合命题的第一个正整数(2)归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，用于联系第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明，否则，就不是数学归纳法,用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程如下：(1)当n1时，左边201，右边2111，等式成立(2)假设nk(k1，且kN)时，等式成立，即12222k12k1，,没有用到归纳假设,二、阅读教材P38P39“数学归纳法的应用”的有关内容，完成下列问题：3贝努利不等式对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n_.,1nx,2在贝努利不等式中，当指数n推广到任意实数且x1时，不等式形式将有何变化？提示：当指数n推广到任意实数且x1时，若01，则(1x)a1ax.,用数学归纳法证明等式,【点评】应用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在运用归纳假设，分析p(k)与p(k1)的差异及联系，利用拆、添、并、放等手段，从p(k1)中分离出p(k)，再进行局部调整，也可考虑寻求两者的结合点，以便顺利过渡，利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式,用数学归纳法证明不等式,【点评】在用数学归纳法证明不等式问题中，从nk到nk1的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步它不像用数学归纳法证明恒等式问题，只需拼凑出所需要的结构来而证明不等式的第二步中，从nk到nk1，只用拼凑的方法，有时也行不通因为对不等式来说，它还涉及放缩的问题，它可能需通过放大或缩小的过程，才能利用上归纳假设因此，我们可以利用比较法、综合法、分析法等来分析从nk到nk1的变化，从中找到放缩尺度，准确地拼凑出所需要的结构,贝努利不等式的应用,【点评】贝努利不等式可把二项式的乘方(1x)n缩小为1nx的形式，这在用数值估计和放缩法证明不等式中可发挥较大的作用,3已知n为正整数，求证：(1cosx)n(1n)cosx.证明：因为cosx1，所以由贝努利不等式，得(1cosx)n1(cosx)n1ncosx.又1ncosx(1cosx)(1n)cosx(1n)cosx，所以(1cosx)n(1n)cosx.,用数学归纳法解决与正整数n有关的探索型问题,【点评】解决该类问题的思路：先通过给n赋一些特殊值，通过对得到的结果观察、判断，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法证明,1数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证n的初始值至关重要，它是递推的基础，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范围内的最小值2第二步证明的关键是运用归纳假设在运用归纳假设时，应分析p(k)与p(k1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，从p(k1)中分离出p(k)再进行局部调整,3数列中的不少问题都可用数学归纳法予以证明，既可以是恒等式也可以是不等式，有一定的综合性，其中用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是常见题型4在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明，其一般解题步骤是归纳猜想证明,谢谢观看！,
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