2019-2020年高三数学一模试卷含解析.doc

2019-2020年高三数学一模试卷含解析一.填空题1已知集合A=1，2，4，B=m，4，7，若AB=1，4，则AB=2已知复数z=，则z的实部为3如图，该程序运行后输出的结果为4若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2=5在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为6设函数f（x）=|x+1|+|xa|的图象关于直线x=1对称，则a的值为7已知tan（+）=，tan=，则tan（+）的值为8若直线y=3x2是曲线y=x32a的一条切线，则实数a的值为9已知正数x，y满足x+2y=1，则的最大值为10已知双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线与直线l： xy=1平行，且双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的标准方程为11在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BAD=60，E为线段CD上一动点，则的取值范围是12一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为13已知A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（xB，yB），已知m0，若myA2yB的最大值为2，则实数的值为14已知数列an的前n项和为Sn，且an=2+（）n1，若对任意的nN*，都有1p（Sn2n）3，则实数p的取值范围是二.解答题15如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点（1）求证：PD面AEC；（2）求证：平面AEC平面PDB16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c已知向量，且（1）求的值；（2）若，求ABC的面积S17某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高AA1=10m，两底面ABCD，A1B1C1D1是高为2m，面积为10m2的等腰梯形，且ADC=（0）若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元（1）试将储水窖的造价y表示为的函数；（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取=1.73）18已知椭圆方程b0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x25x+2=0的根，（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值19已知公差不为0的等差数列an的首项为1，前n项和为Sn，且数列是等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设lgbn=（nN*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1km）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由20已知函数f（x）=+2x+（2a）lnx，（1）当a=2时，求f（x）的最大值；（2）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（3）若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求正数a的取值范围xx年江苏省泰州市姜堰市蒋垛中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题1已知集合A=1，2，4，B=m，4，7，若AB=1，4，则AB=1，2，4，7【考点】并集及其运算【分析】根据A，B，以及两集合的交集，确定出m的值，进而确定出B，找出两集合的并集即可【解答】解：A=1，2，4，B=m，4，7，且AB=1，4，m=1，即B=1，4，7，则AB=1，2，4，67，故答案为：1，2，4，72已知复数z=，则z的实部为【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=，z的实部为故答案为：3如图，该程序运行后输出的结果为15【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=1，n3，S=1+7=8，n=3；n3，S=8+7=15，n=5；n3，终止循环，输出S=15故答案为：154若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2=【考点】极差、方差与标准差【分析】本题可运用平均数的公式： =解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可【解答】解：数据2，3，7，8，a的平均数为5，2+3+7+8+a=25，解得a=5，方差s2= =故答案为：5在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=故答案为：6设函数f（x）=|x+1|+|xa|的图象关于直线x=1对称，则a的值为3【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称又因为函数f（x）=|x+1|+|xa|=的图象关于直线x=1对称，所以有=1a=3故答案为：37已知tan（+）=，tan=，则tan（+）的值为【考点】两角和与差的正切函数【分析】先利用两角差的正切公式求出tan，再利用两角和的正切公式求出tan（+）的值【解答】解：tan（+）=，tan=，tan=tan=，tan（+）=故答案为：8若直线y=3x2是曲线y=x32a的一条切线，则实数a的值为0或2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（m，n），代入切线的方程和曲线方程，求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得a的值【解答】解：设切点为（m，n），可得3m2=n，且m32a=n，函数y=x32a的导数为y=3x2，由切线方程y=3x2，可得3m2=3，解得m=1，可得a=（m33m+2）=（13+2）=0，或a=（1+3+2）=2故答案为：2或09已知正数x，y满足x+2y=1，则的最大值为【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：正数x，y满足x+2y=1，=（x+2y）=10+10+2 =18，当且仅当x=4y=时取等号，的最小值为18，的最大值是，故答案为：10已知双曲线C： =1（a0，b0）的一条渐近线与直线l： xy=1平行，且双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的标准方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线渐近线和直线平行的关系，得到方程求出a，b的关系，结合焦点到渐近线的距离公式，即可求出a，b的值【解答】解：双曲线C： =1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，双曲线的一条渐近线与直线l： xy=1平行双曲线渐近线的斜率k=，即=，即b=a，双曲线C的一个焦点（c，0）到渐近线bxay=0的距离为2，即d=2，a=2，即双曲线的标准方程为，故答案为：11在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BAD=60，E为线段CD上一动点，则的取值范围是【考点】平面向量数量积的运算【分析】设，用表示出，得出关于的函数，根据的范围得出的范围【解答】解： =ABADcos60=1设DE=，则01，=（）（）=+（1）=1+（1）4=301，330故答案为：12一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】利用球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出两个圆锥体积的和及球的体积，可得答案【解答】解：球的半径为：R；则球的表面积为：4R2，圆锥的底面积为：4R2=R2，两个圆锥的体积和为：（R2）（BO1+O1A）=（R2）2R=R3，球的体积为： r3，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为： =故答案为：13已知A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（xB，yB），已知m0，若myA2yB的最大值为2，则实数的值为2【考点】任意角的三角函数的定义【分析】设A（cos，sin），则B，则myA2yB=msin2sin（+）=sin（+），继而得到=2，解得即可【解答】解：因为A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标极点O，半径为1）上任一点，设A（cos，sin），则B，即yA=sin，yB=sin（+），则myA2yB=msin2sin（+）=msin2（sin+cos）=（m）sincos=sin（+），m0，myA2yB的最大值为2，=2，解得m=2故答案为14已知数列an的前n项和为Sn，且an=2+（）n1，若对任意的nN*，都有1p（Sn2n）3，则实数p的取值范围是【考点】数列的求和【分析】通过an=2+（）n1，利用等差数列、等比数列的求和公式计算可知Sn2n= ，进而可知1，进而计算可得结论【解答】解：an=2+（）n1，Sn=2n+=2n+ ，Sn2n= ，S12=1，S24=，（Sn2n）=，Sn2n1，1，又对任意的nN*，都有1p（Sn2n）3，对任意的nN*，都有p，p，故答案为：二.解答题15如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点（1）求证：PD面AEC；（2）求证：平面AEC平面PDB【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）设ACBD=O，连接EO，证明PDEO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD面AEC（2）连接PO，证明ACPO，ACBD，通过POBD=O，证明AC面PBD，然后证明面AEC面PBD【解答】解：（1）证明：设ACBD=O，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PDEO而PD面AEC，EO面AEC，所以PD面AEC（2）连接PO，因为PA=PC，所以ACPO，又四边形ABCD是菱形，所以ACBD而PO面PBD，BD面PBD，POBD=O，所以AC面PBD又AC面AEC，所以面AEC面PBD16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c已知向量，且（1）求的值；（2）若，求ABC的面积S【考点】解三角形；平面向量的综合题【分析】（1）由可得b（cosA2cosC）+（a2c）cosB=0法一：根据正弦定理可得，sinBcosA2sinBcosC+sinAcosB2sinCcosB法二：根据余弦定理可得，b=0化简可得，然后根据正弦定理可求（2）由（1）c=2a可求c，由|可求b，结合余弦定理可求cosA，利用同角平方关系可求sinA，代入三角形的面积公式S=可求【解答】解：（1）法一：由可得b（cosA2cosC）+（a2c）cosB=0根据正弦定理可得，sinBcosA2sinBcosC+sinAcosB2sinCcosB=0（sinBcosAsinAcosB）2（sinBcosC+sinCcosB）=0sin（A+B）2sin（B+C）=0A+B+C=sinC2sinA=0（法二）：由可得b（cosA2cosC）+（a2c）cosB=0根据余弦定理可得，b=0整理可得，c2a=0=2（2）由（1）可知c=2a=4b=3cosA=，sinA=ABC的面积S=17某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高AA1=10m，两底面ABCD，A1B1C1D1是高为2m，面积为10m2的等腰梯形，且ADC=（0）若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元（1）试将储水窖的造价y表示为的函数；（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取=1.73）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）过A作AEDC，垂足为E，令AB=x，求出CD，即可将储水窖的造价y表示为的函数；（2）利用导数确定函数的单调性，即可求出最值【解答】解：（1）过A作AEDC，垂足为E，则AE=2，令AB=x，从而，故，解得，所以y=（20+2AD10）400+（10AB）500+（10CD）100=（2）因为，所以令y=0，则，当时，y0，此时函数y单调递减；当时，y0，此时函数y单调递增所以当时，答：当ADC=60时，等价最低，最低造价为51840元18已知椭圆方程b0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x25x+2=0的根，（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由离心率为方程2x25x+2=0的根，求出e，再由题意列a，b，c的等量关系列出方程组，求解即可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），联立，解得P点的坐标，又B（2，0），直线PB的斜率为，求出PB直线方程为：，进一步求出M，N点的坐标，则线段MN的最小值可求【解答】解：（1）2x25x+2=0的根为x=2或x=，又离心率e（0，1），x=2舍去由题意列a，b，c的等量关系为：，解得a=2，b=椭圆的标准方程：；（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），联立，得：（3+4k2）x2+16k2x+（16k212）=0，则x1=2，x2=m是其方程的两个根，2m=，代入y=k（x+2），得，又B（2，0）直线PB的斜率为，PB直线方程为：，又直线AP，BP与直线x=4相交于M，N两点， ，当且仅当时“=”成立，解得满足题意，线段MN的最小值为619已知公差不为0的等差数列an的首项为1，前n项和为Sn，且数列是等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设lgbn=（nN*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1km）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【分析】（1）根据等差数列的定义与通项公式、前n项和公式，结合题意求出通项an；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、bk，bm成等比数列，得出lgb1，lgbklg，bm成等差数列，由此求出满足条件的正整数k和m的值【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d（d0），因为a1=1，所以a2=1+d，a3=1+2d，从而S2=2+d，S3=3+3d，因为数列是等差数列，所以2=+，即=1+，化简得d2d=0，而d0，所以d=1；故an=a1+（n1）d=n；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、bk、bm成等比数列，则lgb1，lgbk，lgbm成等差数列，于是=+，所以m=3m（）（*）；易知k=2，m=3满足（*）；因为k3，且kN*时，=0；数列（k3，kN）为递减数列，于是0，所以，当k3时，不存在正整数k和m满足（*）；综上，当且仅当k=2，m=3时，b1，bk，bm成等比数列20已知函数f（x）=+2x+（2a）lnx，（1）当a=2时，求f（x）的最大值；（2）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（3）若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求正数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）由函数的解析式求出函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出函数的最大值（2）由函数的解析式求出函数的导数，根据在函数的定义域内，导数的符号不变，求出a的范围（3）根据导数的几何意义，利用点斜式求得曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l的方程，将此方程代入曲线C方程，转化为关于x的方程，则由题意可得，此方程应有唯一解利用导数研究函数的单调性，结合二次函数的性质，分类讨论求得a的范围【解答】解：（1）首先定义域为（0，+），当a=2时，f（x）=x2+2x+4lnx，令f（x）=0，求得x=2，故当x（0，2）时，f（x）0，f（x）单调递增，故当x（2，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以f（x）max=4ln2（2）， 当a=0时，当x0，可得，故f（x）在定义域（0，+）上单调递增，满足条件当a0时，由f（x）=ax+2+=，令f（x）=0，求得，故只要即可，求得0a2综上：a（3）由于f（1）=2，f（1）=2+，故曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l的方程为：y2=4（x1），即，与y=f（x）联立，消去y得出：记：，首先，g（1）=0，定义域为（0，+），当a2时，当x（0，1），g（x）0，g（x）单调递减；当x（1，+），g（x）0，g（x）单调递增，故g（x）=0有唯一解，切线l与C有且只有一个公共点当0a1时，x（0，1），g（x）0，g（x）单调递增，当，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）0，g（x）单调递增，而，故g（x）=0有两个解，切线l与C有且有2个公共点，不满足条件当a=1时，g（x）在（0，+）上单调递增，切线l与C有且只有一个公共点当1a2时，时，g（x）单调递增，时，g（x）单调递减，x（1，+）递增，而当0时，g（x）0，g（x）=0有两个解，故切线l与C有且有2个公共点，不满足条件综上：a12，+）xx年6月14日