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第二章 概 率,1 离散型随机变量及其分布列,第1课时 离散型随机变量,1.在对具体问题的分析中,了解随机变量、离散型随机变量的意义. 2.了解离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系. 3.能写出随机变量所取的值及所表示的随机试验的结果.,1,2,1.随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个随机变量,通常用大写的英文字母如X,Y来表示.实际上,随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射. 说明:(1)一般地,一个试验如果满足下列条件: 试验可在相同的情形下重复进行; 试验所有可能出现的结果是明确可知的,并且不止一个; 每次试验的结果总是这些可能出现的结果中的一个,但是在每一个试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,也简称试验.,1,2,(2)随机变量与函数的联系与区别: 联系:随机变量和函数都是一种映射,随机变量把试验结果映射为实数,函数把实数映射为实数;随机试验的结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域. 区别:随机变量的自变量是试验结果,而函数f(x)的自变量是实数x. (3)若是随机变量,=a+b,a,b是常数,则也是随机变量.,1,2,【做一做1】 下列选项中不能作为随机变量的是( ) A.投掷一枚硬币80次,正面向上的次数 B.某家庭每月的电话费 C.某人射击n次,中靶的次数 D.一个口袋中装有3个号码都为1的小球,从中取出两个球的号码之和为3 答案:D,1,2,2.随机变量的取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 说明:(1)并不是所有的随机变量的取值都能一一列出.例如,电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数,我们是无法一一列出的. (2)一般地,如果随机变量可以取一个区间内的任意一个值,则称这样的随机变量为连续型随机变量.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 区别:对于离散型随机变量而言,它所有可能取的值为有限个或至多可列个,或者说能将它的可取值按一定次序一一列举出来;而连续型随机变量可取某一区间内的任意值,我们无法对其中的值进行一一列举.,1,2,1,2,【做一做2】 抛掷两枚骰子,所得点数之和记为,那么=4表示的试验结果是( ) A.一枚是3点,一枚是1点 B.两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点 答案:D,题型一,题型二,题型三,【例1】 指出哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由: (1)某人射击一次命中的环数; (2)任意掷一枚均匀硬币5次,出现正面向上的次数; (3)掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数; (4)某个人的属相随年龄的变化. 分析:根据随机变量的定义判断.,题型一,题型二,题型三,解:(1)某人射击一次,可能命中的所有环数是0,1,10,而且出现哪一个结果是随机的,因此命中的环数是随机变量. (2)任意掷一枚硬币1次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此掷5次硬币,出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果是随机的,因此出现正面向上的次数是随机变量. (3)掷一枚骰子,出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点中的一个且出现哪一个结果是随机的,因此出现的点数是随机变量. (4)一个人的属相在他出生时就确定了,不随年龄的变化而变化,因此属相不是随机变量.,题型一,题型二,题型三,反思解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果,随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射,即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数,但这些数是预先知道所有可能取的值,而不知道在一次试验中哪一个结果发生,随机变量取哪一个值.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 (1)抛掷一枚均匀硬币,随机变量为 ( ) A.抛掷硬币的次数 B.出现正面的次数 C.出现正面或反面的次数 D.出现正面和反面的次数之和 (2)6件产品中有2件次品,4件正品,从中任取1件,则可以作为随机变量的是( ) A.取到的产品个数 B.取到的正品个数 C.取到正品的概率 D.取到次品的概率,题型一,题型二,题型三,解析:(1)投掷一枚硬币,可能出现的结果是正面向上或反面向上.以某一个为标准,如正面向上的次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量,的取值是0,1,故选B.而A项中抛掷次数就是1,不是随机变量;C项中标准不明;D项中,出现正面和反面的次数之和为必然事件,试验前便知是必然出现的结果,也不是随机变量. (2)由随机变量的定义知,随机变量是随机试验的结果,排除C,D项,又取到的产品个数是一个确定值.排除A项.故选B. 答案:(1)B (2)B,题型一,题型二,题型三,【例2】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的号数; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中树木的高度; (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 分析:根据离散型随机变量的定义判断.,题型一,题型二,题型三,解:(1)只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义. (2)从10个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球.即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义. (3)林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30内的一切值,无法一一列举,不是离散型随机变量. (4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量.,题型一,题型二,题型三,反思离散型随机变量判定的关键及方法 (1)关键:判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出. (2)具体方法: 明确随机试验的所有可能结果; 将随机试验的试验结果数量化; 确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 下列变量中 某人投篮6次投中的次数; 将一枚质地均匀的骰子掷两次,面朝上的点数之和; 标准状态下,水沸腾时的温度; 某人射击一次中靶的环数. 其中属于离散型随机变量的是 .(只填序号) 解析:由于某人投篮6次投中的次数的可能值能一一列出,且变量的取值是有限的,但在试验之前却无法确定出现哪种结果,故是离散型随机变量,同理可知,也是离散型随机变量.由于在标准状态下,水沸腾的温度是100 ,是一个定值,不是随机变量,故是离散型随机变量的是. 答案:,题型一,题型二,题型三,【例3】 写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数,所含红粉笔的支数; (2)从4张已编号(14号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片编号之和. 解:(1)可取1,2,3,=i表示取出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=1,2,3. 可取0,1,2,=i表示取出i支红粉笔,3-i支白粉笔,其中i=0,1,2.,题型一,题型二,题型三,(2)可取3,4,5,6,7,其中, =3表示取出分别标有1,2号的两张卡片; =4表示取出分别标有1,3号的两张卡片; =5表示取出分别标有1,4号或2,3号的两张卡片; =6表示取出分别标有2,4号的两张卡片; =7表示取出分别标有3,4号的两张卡片.,题型一,题型二,题型三,反思解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)抛掷两枚骰子各一次,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数差的绝对值Y; (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数. 解:(1)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 用(a,b)来表示一次基本事件中第一枚骰子掷出的点数为a,第二枚骰子掷出的点数为b. Y=0表示两次掷骰子的点数相同,其包含的基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6). Y=1表示两次掷骰子的点数相差1,其包含的基本事件有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).,题型一,题型二,题型三,Y=2表示两次掷骰子的点数相差2,其包含的基本事件有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4). Y=3表示两次掷骰子的点数相差3,其包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3). Y=4表示两次掷骰子的点数相差4,其包含的基本事件有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2). Y=5表示两次掷骰子的点数相差5,其包含的基本事件有(1,6),(6,1). (2)可取0,1,n. =i,表示被呼叫i次,其中i=0,1,2,n(nN).,1,2,3,4,5,1.给出下列四个命题: 15秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量;在一段时间内,某候车室内候车的旅客人数是随机变量;一条河流每年的最大流量是随机变量;一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D,1,2,3,4,5,2.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是( ) A.取到产品的件数 B.取到正品的概率 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率 解析:对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量,B,D也是一个定值,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量. 答案:C,1,2,3,4,5,3.袋中装有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回取出的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量,则所有可能取值的个数是 ( ) A.5 B.9 C.10 D.25 解析:两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个. 答案:B,1,2,3,4,5,解析:甲可能在3次射击中,一次也未中,也可能中1次,2次,3次. 答案:0,1,2,3,1,2,3,4,5,5.写出下列各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果: (1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中,任取3球,被取出的球的最大编号为X; (2)一个袋中装有10个红球,5个白球,从中任取4个球,其中所含红球的个数为X; (3)投掷两枚骰子,所得点数之和是偶数为X.,1,2,3,4,5,解:(1)X的可能取值为3,4,10. X=k(k=3,4,10)表示取出3个球中最大编号. (2)X的可能取值为0,1,2,3,4. X=k表示取出k个红球,4-k个白球,其中k=0,1,2,3,4. (3)X的可能取值为2,4,6,8,10,12. X=2表示(1,1);X=4表示(1,3),(2,2),(3,1); X=6表示(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1); X=8表示(2,6),(4,4),(6,2); X=10表示(4,6),(5,5),(6,4); X=12表示(6,6).,
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