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2019-2020年高二实验班数学竞赛模拟试卷（1） (I)参考公式：样本数据,的方差，其中为样本平均数；数据的线性回归方程为，其中：一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1命题“”的否定是 2 设集合A=5，,集合若=2，则= 3函数的最小正周期是 4长方体中，则与平面所成的角的大小为 5已知实数满足则的最小值是 6已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .7. 执行右边的程序框图，若，则输出的 8将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 .9若直线过点，则以坐标原点为圆心，长为半径的圆的面积的最小值是 10已知集合，在集合任取一个元素，则事件“”的概率是 11已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F1，若的周长为，则椭圆的离心率为 12等边三角形中，在线段上，且，若，则实数的值是 13数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：，若存在整数，使，则 14若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）在ABC中，分别是角A，B，C的对边，（）求角的值;（）若，求ABC面积16（本题满分14分）在正方体中，分别是中点（）求证：平面平面；（）若在棱上有一点，使平面，求与的比17、（本题满分15分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104101106（）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议18、(本题满分15分) 已知圆交轴于两点，曲线是以为长轴，直线为准线的椭圆（）求椭圆的标准方程；（）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；（）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长19（本小题满分16分）已知函数（）若，求的单调区间；（）若恒成立，求的取值范围20（本题满分16分）已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为(其中均为正整数)() 若，求数列、的通项公式；()在()的条件下，若成等比数列，求数列的通项公式；() 若，且至少存在三个不同的值使得等式成立，试求、的值江苏省六合高级中学高二实验班数学竞赛模拟试卷（一）参考答案121,2,53 45167. 891 1011 12 13 1415解：（）由得， 3分， 5分又， 。 7分（）由可得， 9分由得，, 12分所以，ABC面积是 14分16证明：（）连AC，则AC，又分别是中点， ， ， 3分 是正方体， 平面， 平面， ， 5分 ， 平面， 平面， 平面平面； 7分（）设与的交点是，连， 平面，平面，平面平面=PQ， ， 10分 =31。 14分17解：（）； ； 4分，从而，所以物理成绩更稳定。8分（）由于与之间具有线性相关关系， 11分线性回归方程为。当时，。 13分建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高。 15分18解：（）设椭圆的标准方程为，则：，从而：，故,所以椭圆的标准方程为 4分（）设，则圆方程为 6分与圆联立消去得的方程为， 过定点。 9分（）解法一：设，则, ，即： 代入解得：（舍去正值）， 12分，所以，从而圆心到直线的距离，从而。 15分解法二：过点分别作直线的垂线，垂足分别为，设的倾斜角为，则：，从而， 11分由得：，故，由此直线的方程为，以下同解法一。 15分解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则。11分，所以代入韦达定理得：，消去得：，由图得：，13分所以，以下同解法一。 15分19解：（），其定义域是令，得，（舍去）。3分当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；即函数的单调区间为，。 6分（）设，则， 8分当时，单调递增，不可能恒成立， 10分当时，令，得，（舍去）。当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减； 13分故在上的最大值是，依题意恒成立， 即，又单调递减，且，故成立的充要条件是，所以的取值范围是。 16分20解：（）由得：，解得：或， ，从而 4分()由()得，构成以为首项，为公比的等比数列，即： 6分又，故， 9分() 由得：，由得：；由得：，而，即：，从而得：，当时，不合题意，故舍去，所以满足条件的. 12分又，故，即： 13分若，则，不合题意； 14分若，则，由于可取到一切整数值，且，故要至少存在三个使得成立，必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以的最小值为，此时或或12。 16分
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