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2019-2020年高考数学5年真题备考题库 第五章 第5节 数列的综合应用 理(含解析)1(xx安徽,5分)数列an是等差数列,若a11,a33,a55构成公比为q的等比数列,则q_.解析:法一:因为数列an是等差数列,所以a11,a33,a55也成等差数列,又a11,a33,a55构成公比为q的等比数列,所以a11,a33,a55是常数列,故q1.法二:因为数列an是等差数列,所以可设a1td,a3t,a5td,故由已知得(t3)2(td1)(td5),得d24d40,即d2,所以a33a11,即q1.答案:12.(xx天津,5分)设an是首项为a1,公差为1的等差数列,Sn为其前n项和若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为_解析:由已知得S1S4S,即a1(4a16)(2a11)2,解得a1.答案:3.(xx浙江,5分)设函数f1(x)x2,f2(x)2(xx2),f3(x)|sin 2x|,ai,i0,1,2,99.记Ik|fk(a1)fk(a0)|fk(a2)fk(a1)|fk(a99)fk(a98)|,k1,2,3.则()AI1I2I3 BI2I1I3CI1I3I2 DI3I20,f1(a2)f1(a1)0,f1(a99)f1(a98)0,所以I1|f1(a1)f1(a0)|f1(a2)f1(a1)|f1(a99)f1(a98)|f1(a1)f1(a0)f1(a2)f1(a1)f1(a99)f1(a98)f1(a99)f1(a0)201.f2(x)2(xx2)在上单调递增,在上单调递减,可得f2(a1)f2(a0)0,f2(a49)f2(a48)0,f2(a50)f2(a49)0,f2(a51)f2(a50)0,f2(a99)f2(a98)0,所以I2|f2(a1)f2(a0)|f2(a2)f2(a1)|f2(a99)f2(a98)|f2(a1)f2(a0)f2(a49)f2(a48)f2(a51)f2(a50)f2(a99)f2(a98)f2(a49)f2(a0)f2(a99)f2(a50)2f2(a50)f2(a0)f2(a99)40,f3(a24)f3(a23)0, f3(a25)f3(a24)0,f3(a26)f3(a25)0,f3(a49)f3(a48)0,f3(a74)f3(a73)0,f3(a75)f3(a74)0,f3(a76)f3(a75)0,f3(a99)f3(a98)2sinsin1.因此I2I160n800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由解:(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2d,24d成等比数列,故有(2d)22(24d),化简得d24d0,解得d0或d4.当d0时,an2;当d4时,an2(n1)44n2,从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时,Sn2n.显然2n60n800成立当an4n2时,Sn2n2.令2n260n800,即n230n4000,解得n40或n60n800成立,n的最小值为41.综上,当an2时,不存在满足题意的n;当an4n2时,存在满足题意的n,其最小值为41.5.(xx广东,14分)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn2nan13n24n,nN*,且S315.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式解:(1)由Sn2nan13n24n,nN*,取n1,2得又S315,a1a2a315,a315(a1a2)联立解得a13,a25,a37.(2)法一:当n1时,由已知得两式相减得2nan1(2n1)an6n1,即2nan14n26n(2n1)an4n21,即2nan1(2n3)(2n1)an(2n1),令bnan(2n1),则2nbn1(2n1)bn,由(1)知b1b20,则由知bn0,an2n1,且n1时也成立,故an2n1,nN*.法二:由(1)猜想an2n1,下面用数学归纳法证明n1时,结论显然成立;假设当nk(k1)时,ak2k1,则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k,k(k2)2kak13k24k,解得2ak14k6,ak12(k1)1,即当nk1时,结论成立由知,nN*,an2n1.6.(xx湖南,13分)已知数列an满足a11,|an1an|pn,nN*.(1)若an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(2)若p,且a2n1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式解:(1)因为an是递增数列,所以an1an|an1an|pn.而a11,因此a2p1,a3p2p1.又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2a13a3,因而3p2p0,解得p或p0.当p0时,an1an,这与an是递增数列矛盾,故p.(2)由于a2n1是递增数列,因而a2n1a2n10,于是(a2n1a2n)(a2na2n1)0.但,所以|a2n1a2n|0,因此a2na2n12n1.因为a2n是递减数列,同理可得,a2n1a2n0,故a2n1a2n2n.由即知,an1an.于是ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11.故数列an的通项公式为an7.(xx江苏,16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Snam,则称an是“H数列”(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*),证明:an是“H数列”;(2)设an是等差数列,其首项a11,公差d0.若an是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得anbncn(nN*)成立解:(1)证明:由已知,当n1时,an1Sn1Sn2n12n2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数mn1,使得Sn2nam.所以an是“H数列”(2)由已知,得S22a1d2d.因为an是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2am,即2d1(m1)d,于是(m2)d1.因为d0,所以m20,故m1.从而d1.当d1时,an2n,Sn是小于2的整数,nN*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m2Sn2,使得Sn2mam,所以an是“H数列”因此d的值为1.(3)证明:设等差数列an的公差为d,则ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1,cn(n1)(da1),则anbncn(nN*)下面证bn是“H数列”设bn的前n项和为Tn,则Tna1(nN*)于是对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Tnbm,所以bn是“H数列”同理可证cn也是“H数列”所以任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得anbncn(nN*)成立8.(xx天津,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合M0,1,2,q1,集合Ax|xx1x2qxnqn1,xiM,i1,2,n(1)当q2,n3时,用列举法表示集合A;(2)设s,tA,sa1a2qanqn1,tb1b2qbnqn1,其中ai,biM,i1,2,n.证明:若anbn,则st.解:(1)当q2,n3时,M0,1,Ax|xx1x22x322,xiM,i1,2,3可得,A0,1,2,3,4,5,6,7(2)证明:由s,tA,sa1a2qanqn1,tb1b2qbnqn1,ai,biM,i1,2,n及anbn,可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn110.所以s0),因为所有AnBn平行且a11,a22,所以S梯形AnBnBn1An1S梯形A1B1B2A23m,当n2时,故aa,aa,aa,aa,以上各式累乘可得:a(3n2)a,因为a11,所以an.答案:an11(xx北京,14分)设数列an的前n项和为Sn.已知a11,an1n2n,nN*.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.解:本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法,考查化归与转化思想、分类与整合思想,考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力(1)依题意,2S1a21,又S1a11,所以a24.(2)当n2时,2Snnan1n3n2n,2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1),两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1),整理得(n1)annan1n(n1),即1,又1,故数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以1(n1)1n,所以ann2.(3)证明:当n1时,1;当n2时,1;当n3时,此时111.综上,对一切正整数n,有.12(xx北京,13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an1,an2, 的最小值记为Bn,dnAnBn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,an4an),写出d1,d2,d3,d4的值;(2)设d是非负整数证明:dnd(n1,2,3,)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列;(3)证明:若a12,dn1(n1,2,3,),则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.解:本题主要考查无穷数列的有关知识,考查了考生对新定义类数列的理解与运用,对考生的逻辑思维能力要求较高(1)d1d21,d3d43.(2)证明:(充分性)因为an是公差为d的等差数列,且d0,所以a1a2an,因此Anan,Bnan1,dnanaa1d(n1,2,3)(必要性)因为dnd0(n1,2,3,),所以AnBndnBn,又anAn,an1Bn,所以anan1,于是,Anan,Bnan1,因此an1anBnAndnd,即an是公差为d的等差数列(3)证明:因为a12,d11,所以A1a12,B1A1d11.故对任意n1,anB11.假设an(n2)中存在大于2的项设m为满足am2的最小正整数,则m2,并且对任意1km,ak2.又a12,所以Am12,且Amam2.于是,BmAmdm211,Bm1minam,Bm2.故dm1Am1Bm1220,与dm11矛盾所以对于任意n1,有an2,即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1,an2a1,所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n,存在m满足mn,且am1,即数列an有无穷多项为1. 13(xx福建,4分)数列an的通项公式anncos1,前n项和为Sn,则S2 012_.解析:anncos1,a1a2a3a46,a5a6a7a86,a4k1a4k2a4k3a4k46,kN,故S2 01250363 018.答案:3 01814(2011福建,13分)已知等比数列an的公比q3,前3项和S3.(1)求数列an的通项公式;(2)若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式解:(1)由q3,S3,得,解得a1.所以an3n13n2.(2)由(1)可知an3n2,所以a33.因为函数f(x)的最大值为3,所以A3;因为当x时f(x)取得最大值,所以sin(2)1.又0,故.所以函数f(x)的解析式为f(x)3sin(2x)
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