2019-2020年高二下学期期中数学试卷含解析.doc

2019-2020年高二下学期期中数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题纸相应位置上.1函数f（x）=x2lnx的极值点为2“x+y=0”是“|x|=|y|”的条件3若函数f（x）=xex+f（1）x2，则f（1）=4已知p：4xa4，q：（x1）（2x）0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是5命题“xR，x2+6ax+10”为假命题，则a的取值范围是6已知命题p：xR，x20，命题q：xR，x，则下列说法中正确的是命题pq是假命题 命题pq是真命题命题p（q）是假命题 命题p（q）是真命题7若曲线y=sinx（0x）在点（x0，sinx0）处的切线与直线y=x+1平行，则x0的值为8若等比数列an的前n项之积为Tn，则有；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n项之和为Sn，则有9如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以72cm3/s的速度向该容器注水，则水深10cm时水面上升的速度为cm/s10如图：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点（0，1），而后接着按图所示在与x轴y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么416秒后，这个质点所处的位置的坐标是11已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），f（1）=1，则不等式f（x）ex1的解集为12若函数f（x）=x3x在（2m，1m）上有最大值，则实数m的取值范围是13已知函数f（x）=x（lnxax）在区间（，e）上有两个极值，则实数a的取值范围为14已知函数f（x）=ax2（2a+1）x+2lnx（aR）g（x）=x22x，若对任意x1（0，2，均存在x2（0，2，使得f（x1）g（x2），则a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答15（1）求证： +1+；（2）已知x，yR+，且x+y1，求证：与中至少有一个小于316已知函数f（x）=x3ax2（其中a是实数），且f（1）=3（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（x）处的切线方程；（2）求f（x）在区间1，3上的最小值17设命题p：曲线y=x2+2x+2t4与x轴没有交点；命题q：方程+=1所表示的曲线是焦点在x轴的椭圆（1）若命题p为真命题，求实数t的取值范围；（2）如果“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数t的取值范围18烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染已知A、B两座烟囱相距3km，其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比（比例系数为k）若C是连接两烟囱的线段AB上的点（不包括端点），设AC=xkm，C点的烟尘浓度记为y（）写出y关于x的函数表达式；（）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由19（1）函数f（x）=lnx（x0，aR）当a0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（2）求证：不等式对于x（1，2）恒成立20已知函数f（x）=m（x1）22x+3+lnx，mR（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值xx学年江苏省南通市海门实验学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题纸相应位置上.1函数f（x）=x2lnx的极值点为2【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论【解答】解：f（x）的定义域是（0，+），f（x）=1=0x=2，又x0，0x2时，f（x）0f（x）为增函数，x2时，f（x）0，的f（x）为减函数，故x=2是函数的极值点，故答案为：22“x+y=0”是“|x|=|y|”的充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由|x|=|y|，解得xy=0，即可判断出结论【解答】解：由|x|=|y|，解得xy=0，“x+y=0”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故答案为：充分不必要3若函数f（x）=xex+f（1）x2，则f（1）=0【考点】导数的运算【分析】先求f（x）的导数，再求导数值【解答】解：f（x）=（x+1）ex+f（1）2x，f（1）=（1+1）e1+f（1）2（1），f（1）=0，故答案为：04已知p：4xa4，q：（x1）（2x）0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是2，5【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合q是p的必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：由4xa4得，a4xa+4，即p：a4xa+4（x1）（2x）0，1x2，即q：1x2，若p是q的充分条件，则q是p的充分条件，则，解得2a5，实数a的取值范围是2a5，故答案为：2，55命题“xR，x2+6ax+10”为假命题，则a的取值范围是【考点】命题的真假判断与应用【分析】由命题间的逻辑关系可知，原命题为假命题，则命题的否定为真，只需判断命题的否定即可【解答】解：由命题“xR，x2+6ax+10”为假命题，命题的否定为“xR，x2+6ax+10”为真命题，=36a240，a的范围为，故答案为6已知命题p：xR，x20，命题q：xR，x，则下列说法中正确的是命题pq是假命题 命题pq是真命题命题p（q）是假命题 命题p（q）是真命题【考点】复合命题的真假【分析】先判定命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：xR，x20，是真命题，例如取x=3命题q：xR，x，是假命题，例如取x=4可得：pq是真命题，命题pq是假命题，命题p（q）是真命题，命题p（q）是真命题因此只有正确故答案为：7若曲线y=sinx（0x）在点（x0，sinx0）处的切线与直线y=x+1平行，则x0的值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得【解答】解：y=sinx，y=cosx，曲线y=sinx（0x）在点（x0，sinx0）处的切线与直线y=x+1平行，cosx0=，0x0x0=故答案为：8若等比数列an的前n项之积为Tn，则有；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n项之和为Sn，则有S3n=3（S2nSn）【考点】类比推理【分析】本小题主要考查类比推理，由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果【解答】解：在等差数列中S3n=Sn+（S2nSn）+（S3nS2n）=（a1+a2+an）+（S2nSn）+（a2n+1+a2n+2+a3n）因为a1+a3n=a2+a 3n1=an+a2n+1=an+1+a2n所以Sn+（S3nS2n）=2（S2nSn），所以S3n=3（S2nSn）故答案为：S3n=3（S2nSn）9如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以72cm3/s的速度向该容器注水，则水深10cm时水面上升的速度为cm/s【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】先求高度与时间的函数关系式h=6，再利用导数的方法求解，由高度可知时间，从而得解【解答】解：设经过t s水深为h，72t=h3h=6h=2令h=10，t=（）3h=即水面上升的速度为故答案为：10如图：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点（0，1），而后接着按图所示在与x轴y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么416秒后，这个质点所处的位置的坐标是（20，16）【考点】归纳推理【分析】归纳走到（n，n）处时，移动的长度单位及方向【解答】解：质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2，方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4，方向向上；质点到达（3，3）处，走过的长度单位是12=2+4+6，方向向右；质点到达（4，4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8，方向向上；猜想：质点到达（n，n）处，走过的长度单位是2+4+6+2n=n（n+1），且n为偶数时运动方向与y轴相同，n为奇数时运动方向与x轴相同当质点到达（20，20）后需要420秒，则416秒时质点位置是（20，16）故答案为：（20，16）11已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），f（1）=1，则不等式f（x）ex1的解集为（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=（xR），则g（x）=，f（x）f（x），f（x）f（x）0g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减，f（x）ex1，f（1）=1，g（x）g（1）x1，不等式f（x）ex1的解集为（1，+）故答案为：（1，+）12若函数f（x）=x3x在（2m，1m）上有最大值，则实数m的取值范围是1，）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（2m，1m）内，依此构造不等式即可求解实数m的值【解答】解：由题 f（x）=x21，令f（x）0解得1x1；令f（x）0解得x1或x1由此得函数在（，1）上是增函数，在（1，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，故x=1是函数f（x）的极大值点，f（1）=， x3x=，解得x=2，故函数在x=1处取到极大值2，判断知此极大值必是区间（2m，1m）上的最大值，解得1m，故实数m的取值范围是1，），故答案为：1，）13已知函数f（x）=x（lnxax）在区间（，e）上有两个极值，则实数a的取值范围为（0，）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，问题等价于函数y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点，求出a的临界值，即可求出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）=lnx2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点，当a=时，直线y=2ax1与y=lnx的图象相切，如图示：，由图可知，当0a时，y=lnx与y=2ax1的图象由两个交点则实数a的取值范围是（0，）故答案为：14已知函数f（x）=ax2（2a+1）x+2lnx（aR）g（x）=x22x，若对任意x1（0，2，均存在x2（0，2，使得f（x1）g（x2），则a的取值范围是aln21【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由已知，在（0，2上有fmax（x）gmax（x），从而求导确定函数的最值，从而由最值确定a的取值范围【解答】解：由已知，在（0，2上有fmax（x）gmax（x）由已知，gmax（x）=0，f（x）=，（x0）；当a0时，x0，ax10，在区间（0，2上，f（x）0；f（x）在（0，2上单调递增，当a时，2，f（x）在（0，2上单调递增，故fmax（x）=f（2）=2a2（2a+1）+2ln2=2a2+2ln2，所以，2a2+2ln20，解得aln21，故ln21a当a时，02，f（x）在（0，上单调递增，在，2上单调递减，故fmax（x）=f（）=22lna由a可知lnalnln=1，2lna2，2lna2，所以，22lna0，fmax（x）0，综上所述aln21故答案为：aln21二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答15（1）求证： +1+；（2）已知x，yR+，且x+y1，求证：与中至少有一个小于3【考点】反证法与放缩法【分析】（1）两边平方，使用分析法逐步找出使不等式成立的条件；（2）结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立【解答】证明：（1）（分析法）要证明+1+，只要证（+）2（1+）2，即证2+，即证3517+4，即证92，即证8152，显然8152恒成立，求证： +1+；（2）（反证法）：假设均不小于2，即2，2，1+x2y，1+y2x将两式相加得：x+y2，与已知x+y2矛盾，故中至少有一个小于216已知函数f（x）=x3ax2（其中a是实数），且f（1）=3（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（x）处的切线方程；（2）求f（x）在区间1，3上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导函数，利用f（1）=3，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数在区间0，2上的最大值【解答】解：（1）由于函数f（x）=x3ax2，则可得f（x）=3x22ax，f（1）=3，32a=3，a=3又当a=3时，f（x）=x33x2，f（1）=2，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y+2=3（x1），即3x+y1=0（2）由于f（x）=3x26x=3x（x2），x1，3令f（x）=0，解得x=0或x=2，当f（x）0时，即1x0，或2x3，函数单调递增，当f（x）0时，即0x2，函数单调递减，当x=2时，函数有极小值，极小值为f（2）=4，f（1）=4，f（x）在区间1，3上的最小值为417设命题p：曲线y=x2+2x+2t4与x轴没有交点；命题q：方程+=1所表示的曲线是焦点在x轴的椭圆（1）若命题p为真命题，求实数t的取值范围；（2）如果“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数t的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】（1）根据二次函数的性质，得到关于t的不等式，解出即可；（2）求出q为真时t的范围，根据“pq”为真命题，“pq”为假命题，得到p，q一真一假，从而求出t的范围即可【解答】解：（1）若p为真命题，则=224（2t4）0，解得；（2）若命题q：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆为真，则有4tt20，解得2t3又由题意“pq”为真，“pq”为假，知命题p与q有且只有一个是正确的，故有：若p真q假时，则有t3；若p假q真时，则有综上所述，t的取值范围是或t318烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染已知A、B两座烟囱相距3km，其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比（比例系数为k）若C是连接两烟囱的线段AB上的点（不包括端点），设AC=xkm，C点的烟尘浓度记为y（）写出y关于x的函数表达式；（）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用【分析】（1）设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，根据烟尘浓度与到烟囱距离的关系可求得A、B在C处的烟尘浓度，然后两者相加可得y关于x的函数（2）对（1）中函数进行求导，然后令导函数等于0求x的值，然后判断原函数的单调性进而可求得最小值【解答】解：（1）设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，A在C处的烟尘浓度为B在C处的烟尘浓度为其中0x3从而处总的烟尘浓度为（0x3）；（2）由=，解得x=2故当0x2时，y0，原函数单调递减当2x3时y0，原函数单调递增x=2时，y取得极小值，且是最小值答：在连接西烟囱的线段AB上，距烟囱A处2km处的烟尘浓度最低19（1）函数f（x）=lnx（x0，aR）当a0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（2）求证：不等式对于x（1，2）恒成立【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（1）充分性：a=1时，f（x）=（x0）利用导数研究函数的单调性极值最值可得：x=1时，函数f（x）取得极小值也是最小值即可证明必要性：f（x）=0在（0，+）上有唯一解，且a0，由导数的性质可得：在x=a处有极小值也是最小值f（a），f（a）=lnaa+1再利用导数研究其单调性极值与最值即可证明（2）1x2，可得，令F（x）=（2x+1）lnx3（x1），又F（1）=0，利用导数只要证明F（x）0即可【解答】证明：（1）充分性：f（x）=a=（x0），a=1时，f（x）=（x0）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，x=1时，函数f（x）取得极小值也是最小值即fmin（x）=f（1）=0a=1时，函数f（x）的图象在（0，+）上有唯一的一个零点x=1必要性：f（x）=0在（0，+）上有唯一解，且a0，当a0时，单调递增区间为（a，+），单调递减区间为（0，a）在x=a处有极小值也是最小值f（a），f（a）=lnaa+1令g（a）=lnaa+1，g（a）=1=当0a1时，g（a）0，在（0，1）上单调递增；当a1时，g（a）0，在（1，+）上单调递减gmax（a）=g（1）=0，g（a）=0只有唯一解a=1f（x）=0在（0，+）上有唯一解时必有a=1综上：在a0时，f（x）=0在（0，+）上有唯一解的充要条件是a=1（2）证明：1x2，令F（x）=（2x+1）lnx3（x1），F（x）=2lnx+1，令，则p（x）=1x2，p（x）0，F（x）在（1，2）上单调递增，F（x）F（1）=0，F（x）在（1，2）上单调递增F（x）F（1）=0，（2x+1）lnx3（x1）0，即不等式对于x（1，2）恒成立20已知函数f（x）=m（x1）22x+3+lnx，mR（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x），在定义域内解不等式f（x）0，即得f（x）的单调增区间；（2）先求切线方程为y=x+2，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为m（x1）2x+1+lnx=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围【解答】解：（1）当m=0时，函数f（x）=2x+3+lnx由题意知x0，f（x）=2+=，令f（x）0，得0x时，所以f（x）的增区间为（0，）（2）由f（x）=mxm2+，得f（1）=1，知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=x+2，于是方程：x+2=f（x）即方程 m（x1）2x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g（x）=m（x1）2x+1+lnx，（x0）则g（x）=，当m=1时，g（x）=0，g（x）在（0，+）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；当m1时，由g（x）0得0x或x1，由g（x）=0得x1，故g（x）在区间（0，），（1，+）上单调递增，在（，1）区间单调递减，又g（1）=0，且当x0时，g（x），此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m1不合题意；当0m1时，由g（x）=0得0x1或x，由g（x）0得1x，故g（x）在区间（0，1），（，+）上单调递增，在（1，）区间单调递减，又g（1）=0，且当x+时，g（x）+，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0m1不合题意；由上述知：m=1xx年10月17日