2019-2020年高三零模数学试卷（文科）含解析.doc

2019-2020年高三零模数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题p：xR，sinx1则p是（）AxR，sinx1BxR，sinx1CxR，sinx1DxR，sinx12给定函数y=xy=log（x+1）y=|x22x|y=（）x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD3“x22x30成立”是“x3成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A计算S=123456的值B计算S=12345的值C计算S=1234的值D计算S=1357的值52011年12月，吴某的工资纳税额是245元，若不考虑其它因素，则吴某该月工资收入为（）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元321500元4500元10注：本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元（起征点）后的余额A7000元B7500元C6600元D5950元6已知x，y满足不等式组则目标函数z=3x+y的最大值为（）AB12C8D247如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）ABCD8如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点（M不与B，C1重合），以下四个命题：（1）CD1平面BMN；（2）MN平面AB1D1；（3）D1MN的面积与CMN的面积相等；（4）三棱锥DMNC的体积有最大值其中真命题的个数为（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9若i为虚数单位，则=10函数f（x）=log3（1+x）log3（1x）的定义域是，f（）=11已知向量=（1，3），=（2，1），=（3，2）若向量与向量k+共线，则实数k=12双曲线的渐近线方程为；某抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为13已知圆C：x2+y24x=0与直线y=x+b相交于M，N两点，且满足CMCN（C为圆心），则实数b的值为14（1）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x满足f（x）=f（x）则称f（x）为局部函数，已知二次函数f（x）=ax2+2x4a（aR，a0）是定义域在R上的局部函数，则满足f（x）=f（x）的x值是（2）若直角坐标平面内两点A、B满足条件：点A、B都在f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则对称点（A、B）对是函数的一个姊妹点对点对（A、B）与（B、A）可看做一个姊妹点对已知函数f（x）=则f（x）的姊妹点对个数为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，A=，cosB=，BC=6（）求AC的长；（）求ABC的面积16设an是等比数列，公比为q（q0且q1），4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和为S4=15（1）求an通项公式； （2）令bn=an+2n（n=1，2，3），求bn的前n项和17某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80R150，B：150R250，C：R250对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型ABC已行驶总里程不超过5万公里的车辆数104030已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020（）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；（）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车（）求n的值；（）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率18如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=3（）求证：DA平面ABEF；（）求证：MN平面CDFE（）在线段FE上是否存在一点P，使得APMN？若存在，求出FP的长；若不存在，请说明理由19设函数f（x）=exax，xR（1）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）在（1）的条件下，求证：f（x）0；（3）求证：lnxx；（4）a1时，求函数f（x）在0，a上的最大值20如图，已知四边形ABCD是椭圆3x2+4y2=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F1，F2（）若直线AC的方程为x2y=0，求AC的长；（）求平行四边形ABCD面积的最大值xx年北京市交大附中高三零模数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题p：xR，sinx1则p是（）AxR，sinx1BxR，sinx1CxR，sinx1DxR，sinx1【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：xR，sinx1则p是xR，sinx1故选：D2给定函数y=xy=log（x+1）y=|x22x|y=（）x，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项【解答】解：y=，x增大时，增大，即y增大；该函数在（0，1）上单调递增；，x增大时，x+1增大，减小；该函数在（0，1）上单调递减；x（0，1）时，y=x2+2x，对称轴为x=1；该函数在（0，1）上单调递增；，指数函数在（0，1）上单调递减；在区间（0，1）上单调递减的函数序号是故选：B3“x22x30成立”是“x3成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由x22x30得x3或x1，“x22x30成立”是“x3成立”的必要不充分条件，故选：B4如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A计算S=123456的值B计算S=12345的值C计算S=1234的值D计算S=1357的值【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，t的值，当S=12345=120时，不满足条件S100，退出循环，输出S的值为120，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，t=2满足条件S100，S=12=2，t=3满足条件S100，S=123=6，t=4满足条件S100，S=1234=24，t=5满足条件S100，S=12345=120，t=6不满足条件S100，退出循环，输出S的值为120故程序框图的功能是求S=12345的值故选：B52011年12月，吴某的工资纳税额是245元，若不考虑其它因素，则吴某该月工资收入为（）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元321500元4500元10注：本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元（起征点）后的余额A7000元B7500元C6600元D5950元【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】个人所得税的税率是累进税率，利用题意，可得（X35001500）10%=24545，即可得出结论【解答】解：设吴某该月工资收入为x元15003%=45元（X35001500）10%=24545，得x=7000元故选A6已知x，y满足不等式组则目标函数z=3x+y的最大值为（）AB12C8D24【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=0时，z=3x+y取得最大值为12【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中O（0，0），A（4，0），B（，），C（0，8）设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值=F（4，0）=12故选：B7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图，根据三视图中的数据计算棱锥的体积【解答】解：由三视图可知三棱锥是从边长为4的正方体中截出来的MADD，其中M为BC的中点三棱锥的体积V=故选：C8如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点（M不与B，C1重合），以下四个命题：（1）CD1平面BMN；（2）MN平面AB1D1；（3）D1MN的面积与CMN的面积相等；（4）三棱锥DMNC的体积有最大值其中真命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐一判断4个命题得答案【解答】解：（1）CD1与BM不垂直，所以CD1平面BMN，不正确；（2）平面BMN平面AB1D1，所以MN平面AB1D1，正确；（3）两个三角形等底等高，D1MN的面积与CMN的面积相等，正确；（4）M与B重合，三棱锥DMNC的体积最大，不正确故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9若i为虚数单位，则=i【考点】虚数单位i及其性质【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母上进行复数的乘法运算，分母上进行复数的乘法运算，得到最简形式，约分得到结果【解答】解： =i故答案为：i10函数f（x）=log3（1+x）log3（1x）的定义域是（1，1），f（）=1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集得f（x）的定义域，再计算f（）的值【解答】解：函数f（x）=log3（1+x）log3（1x），解得1x1，f（x）的定义域是（1，1）；f（）=log3（1+）log3（1）=log3=log33=1故答案为：（1，1），111已知向量=（1，3），=（2，1），=（3，2）若向量与向量k+共线，则实数k=1【考点】平行向量与共线向量【分析】先由已知条件求得向量k+ 的坐标，两个向量共线的性质可得2（k2）3（3k+1）=0，解得k的值【解答】解：向量=（1，3），=（2，1），=（3，2），向量k+=（k2，3k+1）向量与向量k+共线，2（k2）3（3k+1）=0，解得k=1，故答案为112双曲线的渐近线方程为y=x；某抛物线的焦点与双曲线C的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为y2=20x【考点】双曲线的简单性质【分析】由条件利用双曲线、抛物线的简单性质，得出结论【解答】解：双曲线的渐近线方程为 y=x，由于双曲线的右焦点为（5，0），设此抛物线的标准方程为y2=2px，则=5，p=10，故抛物线的方程为y2=20x，故答案为：13已知圆C：x2+y24x=0与直线y=x+b相交于M，N两点，且满足CMCN（C为圆心），则实数b的值为0或4【考点】直线与圆相交的性质【分析】确定圆心与半径，利用CMCN，可得圆心到直线的距离d=r，即可求实数b的值【解答】解：圆C：x2+y24x=0可化为圆（x2）2+y2=4，圆心坐标为（2，0），半径为2CMCN，圆心到直线的距离d=b=0或4故答案为：0或414（1）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x满足f（x）=f（x）则称f（x）为局部函数，已知二次函数f（x）=ax2+2x4a（aR，a0）是定义域在R上的局部函数，则满足f（x）=f（x）的x值是2（2）若直角坐标平面内两点A、B满足条件：点A、B都在f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则对称点（A、B）对是函数的一个姊妹点对点对（A、B）与（B、A）可看做一个姊妹点对已知函数f（x）=则f（x）的姊妹点对个数为2【考点】二次函数的性质【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义计算即可；（2）根据题意：“姊妹点”，可知，欲求f（x）的“姊妹点”，只须作出函数y=x2+2x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x0）交点个数即可【解答】解：（1）若f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）+f（x）=0有解当f（x）=ax2+2x4a时，由f（x）+f（x）=0得2a（x24）=0解得x=2，（2）根据题意：“姊妹点对”，可知，只须作出函数y=x2+2x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x0）交点个数即可如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2即f（x）的“姊妹点对”有：2个故答案为：2，2三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，A=，cosB=，BC=6（）求AC的长；（）求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（）由sinC=sin（B+60）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得ABC的面积【解答】解：（）cosB=，B（0，），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=由正弦定理得：，即，AC=4；（）在ABC中，sinC=sin（B+60）=sinBcos60+cosBsin60=16设an是等比数列，公比为q（q0且q1），4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和为S4=15（1）求an通项公式； （2）令bn=an+2n（n=1，2，3），求bn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过4a1，3a2，2a3成等差数列，利用首项、公比表示出前三项计算可知公比为2，利用前四项和计算可知首项，进而可得通项公式；（2）通过（1）可知bn=2n1+2n，进而利用分组法求和即可【解答】解：（1）4a1，3a2，2a3成等差数列，23a2=4a1+2a3，又数列an是等比数列，6a1q=4a1+2，即q23q+2=0，解得：q=2或q=1（舍），又S4=15，=15，即a1=1，数列an是首项为1、公比为2的等比数列，数列an通项公式an=2n1； （2）由（1）可知bn=2n1+2n（n=1，2，3），数列bn的前n项和为+2=2n+n2+n117某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R（单位：公里）分为3类，即A：80R150，B：150R250，C：R250对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型ABC已行驶总里程不超过5万公里的车辆数104030已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020（）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；（）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车（）求n的值；（）如果从这n辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）根据概率公式计算即可，（）（）根据分层值抽样的方法即可求出n的；（）一一列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：（）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为=，（）（）依题意 （）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：AM，AN，BM，BN，CM，CN设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，则P（D）=答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为18如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=3（）求证：DA平面ABEF；（）求证：MN平面CDFE（）在线段FE上是否存在一点P，使得APMN？若存在，求出FP的长；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）利用ABCD为正方形，可得DAAB，根据面面垂直的性质，可得DA平面ABEF；（）连接FB，FC，利用三角形中位线的性质，证明MNCF，利用线面平行的判定，可得MN平面CDFE；（）过A点作AGFB交线段于点P，P即为所求，利用AFPBAF，可求FP的长【解答】（）证明：因为ABCD为正方形，所以DAAB因为正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，所以DA平面ABEF；（）证明：连接FB，FC，则因为ABEF是矩形，M是AE中点，所以M是BF的中点，因为N是BC的中点，所以MNCF，因为MN平面CDEF，CF平面CDEF，所以MN平面CDFE；（）解：过A点作AGFB交线段于点P，P即为所求因为CB平面ABEF，所以CBAP，因为APFB，CBFB=B，所以AP平面BNM，所以APMN因为AFPBAF，所以，因为AF=3，所以FP=19设函数f（x）=exax，xR（1）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）在（1）的条件下，求证：f（x）0；（3）求证：lnxx；（4）a1时，求函数f（x）在0，a上的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；（2）证明当x=ln2时，函数最小值是f（ln2）=2ln20即可；（3）M（a）=alna在（1，+）上单调递增，且M（1）=1，即可证明；（4）f（x）在0，a上的最大值等于maxf（0），f（a），再进行比较，即可得出结论【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=ex2x，f（0）=1，所以f（x）=ex2所以f（0）=e02=1，即切线的斜率为1，所以切线方程为y1=（x0），即x+y1=0 （2）证明：由（1）知f（x）=ex2令f（x）=ex2=0，则x=ln2当xln2时，f（x）0，f（x）在（，ln2）上单调递减，当xln2时，f（x）0，f（x）在（ln2，+）上单调递增，所以当x=ln2时，函数最小值是f（ln2）=2ln20命题得证 （3）证明：因为f（x）=exax，所以f（x）=exa令f（x）=exa=0，则x=lna0当a1时，设M（a）=alna，因为M（a）=0，所以M（a）=alna在（1，+）上单调递增，且M（1）=1，所以M（a）=alna0在（1，+）恒成立，即alna可得lnxx；（4）解：由（3）当x（0，lna），f（x）0，f（x）在（0，lna）上单调递减；当x（lna，a），f（x）0，f（x）在（lna，a）上单调递增所以f（x）在0，a上的最大值等于maxf（0），f（a），因为f（0）=1，f（a）=eaa2，不妨设h（a）=f（a）f（0）=eaa21（a1），所以h（a）=ea2a由（2）知h（a）=ea2a0在（1，+）恒成立，所以h（a）=f（a）f（0）=eaa21在（1，+）上单调递增又因为h（1）=e20，所以h（a）0在（1，+）恒成立，即f（a）f（0）所以当a1时，f（x）在0，a上的最大值为f（a）=eaa2 20如图，已知四边形ABCD是椭圆3x2+4y2=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F1，F2（）若直线AC的方程为x2y=0，求AC的长；（）求平行四边形ABCD面积的最大值【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与圆锥曲线的关系【分析】（）通过，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可（）当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x1），与椭圆方程联立，设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）利用韦达定理，连结AF1，DF1，表示出面积表达式，然后求解最值【解答】（本小题满分14分）（）解：由，消去y可得：4x2=12，解得，所以A，C两点的坐标为和，所以（）解：当直线AD的斜率不存在时，此时易得，所以平行四边形ABCD的面积为|AB|AD|=6当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x1），将其代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x28k2x+4k212=0设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）则，连结AF1，DF1，则平行四边形ABCD的面积又 =又（3+4k2）216k2（k2+1）=9+8k2，所以综上，平行四边形ABCD面积的最大值是6xx年10月16日