2019-2020年高三上学期11月月考数学试卷（理科）含解析.doc

2019-2020年高三上学期11月月考数学试卷（理科）含解析一.选择题（每题5分）1已知集合M=x|xa，N=x|2x0，若MN=，则a的取值范围为（）Aa0Ba0Ca2Da22下列函数中，在定义域内是减函数的是（）Af（x）=Bf（x）=Cf（x）=2xDf（x）=tanx3已知点P是函数f（x）=sin（x+）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴距离的最小值为，则f（x）的最小正周期是（）A2BCD4已知向量=（3，1），=（2，），则下列向量可以与垂直的是（）A（1，2）B（2，1）C（4，2）D（4，2）5“t1”是“”成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知数列an的通项公式为an=2n（3n13），则数列an的前n项和Sn的最小值是（）AS3BS4CS5DS67若a0，b0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（）ABCDa2+b288已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex1）（x1）k（k=1，2），则（）A当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值二.填空题（每题5分）9sin585的值为10在ABC中，a=1，b=，且B=2A，则c=11在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点，若=1，则AB的长为12若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=13农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如图：根据上表所提供信息，第号区域的总产量最大，该区域种植密度为株/m214对于函数，f（x）=cos（x+2）cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+）上恰有两个零点x1，x2，且x1x21能使命题甲、乙均为真的函数的序号是三.解答题15已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值16在ABC中，D是AB的中点，AB=2，CD=（）若BC=，求AC的值；（）若A=，求ABC的面积17已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR），且a1，a2，a4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）对nN*，试比较与的大小18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA平面PDC，E为棱PD的中点（）求证：PB平面EAC；（）求证：平面PAD平面ABCD；（）求二面角EACB的余弦值19已知函数f（x）=ln（x+1）ax（aR）（）若a=1，求证：当x0时，f（x）0；（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：（1+）（1+）（1+）e20已知数列an的首项a1=a，其中aN*，令集合（I）若a4是数列an中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：1，2，3A；（III）当axx时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值xx学年北京市广渠门中学高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分）1已知集合M=x|xa，N=x|2x0，若MN=，则a的取值范围为（）Aa0Ba0Ca2Da2【考点】交集及其运算【分析】直接由交集运算得答案【解答】解：M=x|xa，N=x|2x0，由MN=，得a2故选：C2下列函数中，在定义域内是减函数的是（）Af（x）=Bf（x）=Cf（x）=2xDf（x）=tanx【考点】函数单调性的判断与证明【分析】分别对A，B，C，D各个选项进行分析，从而得到答案【解答】解：对于A：f（x）=在（，0）递增，在（0，+）递增，对于B：f（x）=在0，+）递增，对于C：f（x）=2x在（，）递减，对于D：f（x）=tanx在（k，k+）递增，故选：C3已知点P是函数f（x）=sin（x+）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴距离的最小值为，则f（x）的最小正周期是（）A2BCD【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】首先根据函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，从而确定周期【解答】解：已知函数f（x）=sin（x+）（0），若函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，由正弦函数的图象和性质可知： =解得：T=，故选：B4已知向量=（3，1），=（2，），则下列向量可以与垂直的是（）A（1，2）B（2，1）C（4，2）D（4，2）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由=（3，1）+（4，1）=（1，2），得向量（4，2）可以与垂直【解答】解：向量=（3，1），=（2，），=（3，1）+（4，1）=（1，2），（1，2）（1，2）=1+4=5，（1，2）（2，1）=22=4，（1，2）（4，2）=4+4=0，（1，2）（4，2）=4+4=8，向量（4，2）可以与垂直故选：C5“t1”是“”成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出不等式的解集，结合集合的包含关系判断其充分性和必要性即可【解答】解：，t0，t0时：t210，解得：t1，t0时：t210，解得：1t0，“t1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A6已知数列an的通项公式为an=2n（3n13），则数列an的前n项和Sn的最小值是（）AS3BS4CS5DS6【考点】数列的求和【分析】解an0，即可得出此数列an从第几项开始大于0，进而得到数列的前几项和Sn的最小值【解答】解：令，解得=，取n=5也就是说：数列an的前4项皆小于0，从第5项开始大于0因此数列的前n项和Sn的最小值是S4故选B7若a0，b0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（）ABCDa2+b28【考点】基本不等式【分析】利用不等式的基本性质和基本不等式的性质即可判断出答案【解答】解：a0，b0，且a+b=4，即ab4Aab4，故A不恒成立；Bab4=a+b，故B不恒成立；C，C不恒成立；D=8D恒成立故选D8已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex1）（x1）k（k=1，2），则（）A当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论【解答】解：当k=1时，函数f（x）=（ex1）（x1）求导函数可得f（x）=ex（x1）+（ex1）=（xex1），f（1）=e10，f（2）=2e210，则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f（x）=（ex1）（x1）2求导函数可得f（x）=ex（x1）2+2（ex1）（x1）=（x1）（xex+ex2），当x=1，f（x）=0，且当x1时，f（x）0，当x0x1时（x0为极大值点），f（x）0，故函数f（x）在（1，+）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值对照选项故选C二.填空题（每题5分）9sin585的值为【考点】运用诱导公式化简求值【分析】将所求式子中的角585变形为720135，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值【解答】解：sin585=sin=sin135=故答案为：10在ABC中，a=1，b=，且B=2A，则c=2【考点】正弦定理【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得sinA=2sinAcosA，结合A的范围有sinA0，可得cosA=，解得A，B，C的值，利用正弦定理即可解得c的值【解答】解：a=1，b=，且B=2A，由正弦定理，可得： =，整理可得： sinA=2sinAcosA，A（0，），sinA0，可得：cosA=，解得：A=，B=2A=，C=AB=，c=2故答案为：211在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点，若=1，则AB的长为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题设条件知， =，由此根据已知条件，利用向量的数量积运算法则能求出AB的长【解答】解：， =，=（）（）=+|2+=1，|2=|cos|=|=故答案为：12若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=1或0【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】先画出满足约束条件的可行域，结合kxy+10表示地（0，1）点的直线kxy+1=0下方的所有点（包括直线上的点）和已知可得：直线kxy+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，进而求出满足条件的k值【解答】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：kxy+10表示地（0，1）点的直线kxy+1=0下方的所有点（包括直线上的点）由关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，可得直线kxy+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kxy+1=0与y=x垂直，此时k=1综上k=1或0故答案为：1或013农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如图：根据上表所提供信息，第5号区域的总产量最大，该区域种植密度为3.6株/m2【考点】根据实际问题选择函数类型；收集数据的方法【分析】根据图象求出种植密度函数以及单株产量函数即可得到结论【解答】解：种植密度函数对应的直线经过点（1，2.4），（8，4.5），则对应直线的斜率k=，则直线方程为y2.4=0.3（x1），即y=0.3x+2.1，单株产量函数对应的直线经过点（1，1.28），（8，0.72），则对应直线的斜率k=，则直线方程为y1.28=0.08（x1），即y=0.08x+1.36，即总产量m（x）=（0.3x+2.1）（0.08x+1.36）=0.024（x+7）（x17）=0.024（x210x119），当x=5时，函数m（x）有最大值，即5号区域的总产量最大，此时当x=5代入y=0.3x+2.1得y=0.35+2.1=3.6，故答案为：5，3.614对于函数，f（x）=cos（x+2）cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+）上恰有两个零点x1，x2，且x1x21能使命题甲、乙均为真的函数的序号是【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数的零点【分析】分别分析中三个函数的性质，求出它们的单调区间，以及他们在区间（0，+）上零点的个数，和题目中的两个条件进行比照，即可得到答案【解答】解：当函数，在区间（0，）上单调递减，在区间（，+）上单调递增，故命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数为真命题；当x=时函数取极小值10，故命题乙：f（x）在区间（0，+）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2=1故满足条件；当在区间（1，2）上函数的解析式可化为，根据“增减=增”，可得f（x）在区间（1，2）上是增函数；由函数y=|log2x|与函数y=的图象可得在区间（0，+）上恰有两个零点x1，x2，且x1x21，故满足条件；由余弦函数的周期性，查得函数f（x）=cos（x+2）cosx，在区间（0，+）上有无限多个零点，故不满足条件故答案为：三.解答题15已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】先将原函数化简为y=Asin（x+）+b的形式（1）根据周期等于2除以可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间0，上的最值（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为因为f（x）=2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=1，所以函数f（x）在区间0，上的最大值为2，最小值为1（）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0，得2x0+，从而cos（2x0+）=所以cos2x0=cos（2x0+）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=16在ABC中，D是AB的中点，AB=2，CD=（）若BC=，求AC的值；（）若A=，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）在BCD中，利用余弦定理求得cosB，然后在ABC中，利用余弦定理来求AC的长度；（）在ACD中，利用正弦定理求得，所以由同角三角函数关系得到，结合余弦定理求得AC的长度；最后由三角形面积公式进行解答【解答】解：因为在ABC中，D是AB的中点，AB=2，所以AD=BD=1（）在BCD中，由余弦定理知，cosB=所以在ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC22ABBCcosB=4+522（）=11，解得：AC=；（）在ACD中，A=，AD=1，CD=，由正弦定理得到： =，即=，所以，因为，所以，所以sinADC=sin（ACD+A）=sinACDcosA+cosACDsinA=+=，即，所以=，即=，解得AC=3所以，SABC=ACABsinA=32=，即17已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR），且a1，a2，a4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）对nN*，试比较与的大小【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式【分析】（）由题意可知：，即，整理得：，即可d=a1=a，数列an的通项公式；（）由a=2na，当a0时，；当【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由题意可知，即，d0，d=a1=a通项公式an=na（）记，从而，当a0时，；当18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA平面PDC，E为棱PD的中点（）求证：PB平面EAC；（）求证：平面PAD平面ABCD；（）求二面角EACB的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【分析】（）连接BD与AC相交于点O，连接EO可得EO是PBD的中位线，所以PBEO，结合线面平行的判定定理，即可证出PB平面EAC；（）由PA平面PDC，得到PACD，结合正方形中ADCD，证出CD平面PAD根据平面ABCD经过平面PAD的垂线，即可得到平面PAD平面ABCD；（）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN根据（II）证出的位置关系，可得MP、MA、MN两两垂直，因此分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系设AB=4，可得A、B、C、D、P、E各点的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，列方程组解出平面EAC的法向量为=（1，1，3）再根据平面ABCD的法向量为=（0，0，1），利用向量的夹角公式算出与夹角余弦之值，即可得到二面角EACB的余弦值【解答】解：（）连接BD与AC相交于点O，连接EO四边形ABCD为正方形，O为BD中点E为棱PD中点EO是PBD的中位线，可得PBEO PB平面EAC，EO平面EAC，直线PB平面EAC （）PA平面PDC，CD平面PDCPACD 正方形ABCD中，ADCD，PA、AD是平面PAD内的相交直线CD平面PAD CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD （）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，MNCD由（）可得MN平面PADPA=PD，M是AD中点，PMAD因此，MP、MA、MN两两垂直，分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系 设AB=4，则可得A（2，0，0），B（2，4，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（0，0，2），E（1，0，1）所以 =（3，0，1），=（4，4，0）设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则有，可得 取x=1，得y=1，z=3，所以=（1，1，3） 由题意，易得平面ABCD的法向量为=（0，0，1） cos，= 结合图形，可得二面角EACB的平面角是钝角，因此，二面角EACB的余弦值为 19已知函数f（x）=ln（x+1）ax（aR）（）若a=1，求证：当x0时，f（x）0；（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：（1+）（1+）（1+）e【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）利用导数判定函数的单调性，可得f（x）在（0，+）上单调递减，故f（x）f（0）=0；（）f（x）=a=，分a0和a0，讨论可得函数的单调区间；（）要证：（1+）（1+）（1+）e，两边取以e为底的对数，即只需证明ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）1，由（）可知，ln（x+1）x（x0），分别取x=，即可得出结论成立【解答】（）证明：a=1，f（x）=ln（x+1）x，f（x）=1=，当x0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）f（0）=0（）解：f（x）=ln（x+1）ax，f（x）的定义域为（1，+），f（x）=a=，当a0时，f（x）0，f（x）在（1，+）单调递增；当a0时，x（1，1+）上，f（x）0，x（1+，+），f（x）0，f（x）在（1，1+）单调递增，在（1+，+）单调递减，（）证明：要证：（1+）（1+）（1+）e，两边取以e为底的对数，即只需证明ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）1，由（）可知，ln（x+1）x（x0），分别取x=，得到ln（1+），ln（1+），ln（1+），将上述n个不等式相加，得ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+=11从而结论成立20已知数列an的首项a1=a，其中aN*，令集合（I）若a4是数列an中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：1，2，3A；（III）当axx时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值【考点】数列递推式；集合的包含关系判断及应用；集合中元素个数的最值【分析】（I）由a4=1，求出a3；再求a2，a1；（II）讨论ak被3除余1，余2，余0的情况，确定ak与ak+3的大小，从而推导1、2、3是数列an中的项；（III）由已知递推关系得an满足：当am1，2，3时，总有an=an+3成立，当a1xx时，数列an中大于3的各项，按逆序排列各项，构成的数列记为bn，由（I）得b1的取值，由（II）知数列bn的项满足：bn+3bn，且当bn是3的倍数时，满足bn+3bn最小的数列bn，得出b3k1的通项公式，由36xx37，得出当axx时，k的最大值，从而得出A中元素个数的最大值【解答】解：（I）a4是数列an中首次为1的项，又，a3=3a4=3；a2=3a3或a31，即a2=9或2；同理a1=3a2或a21，当a2=9时，即a1=27或8，当a2=2时，a1=6或1（不合题意，舍去）；所以，满足条件的数列的前三项为：27，9，3；或8，9，3；或6，2，3（II）若ak被3除余1，则由已知可得ak+1=ak+1，ak+2=ak+2，ak+3=（ak+2）；若ak被3除余2，则由已知可得ak+1=ak+1，ak+2=（ak+1），ak+3（ak+1）+1；若ak被3除余0，则由已知可得ak+1=ak，ak+3ak+2；所以ak+3ak+2；所以akak+3ak（ak+2）=（ak3）；所以，对于数列an中的任意一项ak，“若ak3，则akak+3”因为akN*，所以akak+31所以数列an中必存在某一项am3（否则会与上述结论矛盾！）若am=3，则am+1=1，am+2=2；若am=2，则am+1=3，am+2=1，若am=1，则am+1=2，am+2=3，由递推关系得1，2，3A（III）集合A中元素个数Card（A）的最大值为21由已知递推关系可推得数列an满足：当am1，2，3时，总有an=an+3成立，其中n=m，m+1，m+2，下面考虑当a1=axx时，数列an中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为bn，由（I）可得b1=6或9，由（II）的证明过程可知数列bn的项满足：bn+3bn，且当bn是3的倍数时，若使bn+3bn最小，需使bn+2=bn+11=bn2，所以，满足bn+3bn最小的数列bn中，b3=4或7，且b3k=3b3k+32，所以b3k1=3（b3（k+1）1），所以数列b3k1是首项为41或71的公比为3的等比数列，所以b3k1=（41）3k1或b3k1=（71）3k1，即b3k=3k+1或b3k=23k+1，因为36xx37，所以，当axx时，k的最大值是6，所以a1=b18，所以集合A中元素个数Card（A）的最大值为21xx年12月6日