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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-2,导数及其应用,第一章,1.1 导 数 第3课时 导数的几何意义,第一章,下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题,1.函数yf(x)在xx0处导数的定义是什么？ 2过定点(x0，y0)且斜率为k的直线点斜式方程是什么？若斜率不存在呢？ 3在初中学过的圆的切线定义是什么？,注意：(1)曲线与其上一点处的切线可能不止一个公共点，此点与初中学过的圆的切线不同，把圆的切线定义盲目推广到一般曲线的切线不妥当的如图所示的曲线，直线l1虽然与曲线有唯一的公共点M，但不能说直线l1与曲线相切；而直线l2尽管与曲线有不止一个公共点，但我们还是说直线l2是这条曲线在点N处的切线,下面说法正确的是( ) A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)没有切线 B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)有切线，则f(x0)必存在 C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线斜率不存在 D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)没有切线，则f(x0)有可能存在,答案 C 解析 若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在xx0处切线斜率不存在，但切线有可能存在，故排除A；若切线与x轴垂直，则f(x0)不存在，故排除B；若yf(x)在xx0处没有切线，则f(x0)一定不存在，排除D.故只有C正确,二、曲线的切线方程问题 1求曲线yf(x)在其上一点P(x0，y0)的切线方程： 若曲线yf(x)在点P(x0，y0)的切线的斜率存在，则斜率kf(x0)，切线方程为yy0f(x0)(xx0) 若曲线yf(x)在点P(x0，y0)的切线斜率不存在，则切线方程为xx0.此时f(x0)也不存在,已知点P(1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，若kPQ当x0时的极限为2，则在点P处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 答案 B 解析 由切线的定义，切线的斜率为2，由点斜式得y12(x1)，即y2x1.,三、妙用导数几何意义，求解四类热点问题 “曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线f(x0)是曲线在该点处的切线斜率”，借助于导数的这一几何意义，可以很好地解决相关的几何问题，这些问题是“数”与“形”的完美统一，也是高考数学中的热点问题 1求切线的斜率或倾斜角 求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，由导数的几何意义，得f(x0)ktan(其中为曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的倾斜角)，进而求出.特别地，若f(x)在xx0处的导数不存在，而f(x)在xx0处的切线存在，则此切线的倾斜角为90.,2求切线方程 求曲线f(x)在点(x0，y0)的切线方程的一般步骤是：求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)；利用直线的点斜式，得出切线方程为yy0f(x0)(xx0) 若求曲线f(x)过点(x0，y0)的切线，可先设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点的坐标，从而得到切线方程,3求切点的坐标 设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直等条件求出切点的坐标 求切点坐标的一般思路： (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f(x)； (3)求切线的斜率f(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0得切点坐标,4求三角形面积 利用导数的几何意义，求切线与其他曲线形成的几何图形面积，特别是三角形面积，是高考的一个常考点作出草图，数形结合是解决此类问题的有效方法,求曲线上某点处的切线方程,分析 利用导数的几何意义求出曲线在点P处切线的斜率，进而求出切线方程,求切点坐标,在曲线yx2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y4x5； (2)垂直于直线2x6y50； (3)与x轴成135的倾斜角 分析 设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直的条件求出切点坐标,已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23相切 (1)求切点的坐标； (2)求a的值,导数的几何意义的综合应用,曲线yx3在x00处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由,辨析 应先判断点是否在曲线上，点不在曲线上误认为在曲线上而产生错解,
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