2019-2020年高二上学期周练（四）数学试题 含答案.doc

2019-2020年高二上学期周练（四）数学试题 含答案一、选择题：共12题 每题5分 共60分1直线a、b是异面直线，、是平面，若a，b，=c，则下列说法正确的是（ ）Ac至少与a、b中的一条相交 Bc至多与a、b中的一条相交Cc与a、b都相交 Dc与a、b都不相交2直线ax+byab=0（a）与圆x2+y22=0的位置关系为（ ）A相离 B相切 C相交或相切 D相交3直线3xy=0绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到直线的方程为（ ）Ax+3y3=0 Bx+3y1=0 C3xy3=0 Dx3y+3=04已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（ ）A B4 C D5将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）A2 B3 C4 D66直线倾斜角的范围是（ ）A（0， B0， C0，） D0，7已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为2的正三角形，PA平面ABC，若三棱锥PABC的体积为2，则球O的表面积为（ ）A18 B20 C24 D208一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12 B6 C4 D29已知a，b是两条直线，是一个平面，则下列判断正确的是（ ）Aa，b，则ab Ba，b，则abCab，b，则a Da，b，a，则a10已知直线2x+my1=0与直线3x2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则pmn的值为（ ）A6 B6 C4 D1011如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：点H是A1BD的垂心；AH垂直平面CB1D1直线AH和BB1所成角为45；AH的延长线经过点C1其中假命题的个数为（ ）A0 B1 C2 D312若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（ ）A0个 B至多有一个 C1个 D2个二、填空题：共4题 每题5分 共20分13若直线过点（2，1），则3a+b的最小值为 14已知圆x2+y2+2x4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则ab的取值范围是 15已知点A（4，5），B（6，1），则以线段AB为直径的圆的方程为 16已知三棱锥的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为 .三、解答题：共8题 共70分17如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C侧面AA1B1B，且AB=4AA1=4，BAA1=60，D是AB的中点（）求证：AC1平面CDB1；（）求证：DA1平面AA1C1C18如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积19已知圆C和y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程20已知圆C：x2+y2+4x6y3=0（1）求过点M（6，5）的圆C的切线方程；（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求ABC的最大面积及此时直线AB的斜率21如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4（1）求证：ED平面ACD；（2）当三棱锥EADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离22如图，在四棱锥中，平面， （1）若为的中点,求证:平面；（2）求三棱锥的体积. 23如图，棱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，且（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值24如图，在长方体中，为的中点，为上的一点，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小参考答案1A【解析】试题分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解解：由直线a、b是异面直线，、是平面，若a，b，=c，知：对于B，c可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故B不正确；对于C，ac，bc=A，满足题意，故C不正确；对于D，c与a、b都不相交，则c与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故D不正确；对于A，由B，C、D的分析，可知A正确故选：A2【解析】试题分析：判断圆心到直线的距离与半径的关系解：由已知得，圆的圆心为（0，0），半径为，圆心到直线的距离为，其中（a+b）22（a2+b2），所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交或相切；故选：C3B【解析】试题分析：直线y=3x绕原点逆时针旋转90变为y=x，在根据左加右减的法则，向右平移1个单位，即得y=（x1）解：直线y=3x绕原点逆时针旋转90直线斜率互为负倒数直线y=3x变为y=x，向右平移1个单位y=（x1）即：x+3y1=0，故选：B4D【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，结合棱锥的几何特征，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案解：由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球体积V=，故选：D5B【解析】试题分析：判断几何体的特征，然后求解即可解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，故选：B6C【解析】试题分析：根据直线倾斜角的定义判断即可解：直线倾斜角的范围是：0，），故选：C7B【解析】试题分析：由三棱锥PABC的体积为2，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积解：三棱锥PABC的体积为2，=2，PA=2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，ABC是边长为2的正三角形，ABC外接圆的半径r=2，球的半径为，球O的表面积为45=20故选：B8D【解析】试题分析：几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上底虚线部分，根据体积公式得到结果解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，四棱锥的体积是=2，故选D9D【解析】试题分析：利用线面关系的性质定理和判定定理对选项分别分析选择解：对于A，由a，b，则ab，故A错误；对于B，a，b，则ab或者a，b异面；故B 错误；对于C，ab，b，则a与位置关系不确定；故C错误；对于D，满足线面平行的判定定理；故D 正确故选：D10C【解析】试题分析：由直线的垂直关系可得m值，再由垂足在两直线上可得np的方程组，解方程组计算可得解：直线2x+my1=0与直线3x2y+n=0垂直，23+（2）m=0，解得m=3，由垂直在两直线上可得，解得p=1且n=8，pmn=4，故选：C11B【解析】试题分析：首先，判断三棱锥 ABA1D为正三棱锥，然后，得到BA1D为正三角形，得到H为A在平面A1BD内的射影，然后，根据平面A1BD与平面B1CD1平行，得到正确，最后，结合线面角和对称性求解解：AB=AA1=AD，BA1=BD=A1D，三棱锥 ABA1D为正三棱锥，点H是A1BD的垂心，故正确；平面A1BD与平面B1CD1平行，AH平面A1BD，AH垂直平面CB1D1，正确；AA1BB1，A1AH就是直线AH和BB1所成角，在直角三角形AHA1中，AA1=1，A1H=，sinA1AH=，错误，根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，正确；故选：B12D【解析】试题分析：通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点P（m，n）在椭圆内，进而可得结论解：由题意可得：2，即m2+n24，点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，椭圆的长半轴3，短半轴为2，圆m2+n2=4内切于椭圆，点P是椭圆内的点，过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D137+2【解析】试题分析：由直线过点可得正数ab满足=1，整体代入可得3a+b=（3a+b）（）=7+，由基本不等式可得解：直线过点（2，1），=1，故3a+b=（3a+b）（）=7+7+2=7+2，当且仅当=即b=a时取等号，结合=1可解得a=且b=+1，故答案为：7+214（，1）【解析】试题分析：求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定ab的范围解：圆的方程变为（x+1）2+（y2）2=5a，其圆心为（1，2），且5a0，即a5又圆关于直线y=2x+b成轴对称，2=2+b，b=4ab=a41故答案为：（，1）15（x1）2+（y+3）2=29【解析】试题分析：由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，3），即圆心的坐标为C（1，3）；，故所求圆的方程为：（x1）2+（y+3）2=29故答案为：（x1）2+（y+3）2=2916【解析】试题分析：此三棱锥是正四面体，当正四面体棱长为时，外接球的为，因此，考点：正四面体与外接球，球的表面积【名师点睛】几何体的外接球问题，关键是找到外接球球心，由于球心到各个顶点的距离相等，根据球截面的性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面垂直，在找球心时要首先找几何体各个面的外接圆圆心，过此外心作这个面的垂线，球心一定在这条垂线上由此可得球心位置17（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（1）连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF则可利用中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，得出AFCD，从而证明AC1平面CDB1（2）求出AA1和AD的长，使用余弦定理求出A1D，由勾股定理的逆定理证出A1DAA1，由面面垂直可得出AC平面ABB1A1，进而得出ACA1D，得出DA1平面AA1C1C证明：（1）连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF四边形AA1C1C是矩形，F是A1C的中点，EFA1B1，EF=A1B1，四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，ADA1B1，AD=A1B1，四边形ADEF是平行四边形，AFDE，即AC1DE又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（2）AB=4AA1=4，D是AB中点，AA1=1，AD=2，BAA1=60，A1D=AA12+A1D2=AD2，A1DAA1，侧面AA1C1C侧面AA1B1B，侧面AA1C1C侧面AA1B1B=AA1，ACAA1，AC平面AA1C1C，AC平面AA1B1B，A1D平面AA1B1B，ACA1D，又AA1平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，ACAA1=A，DA1平面AA1C1C18（）见解析；（）【解析】试题分析：（）由已知得ACPD，ACBD，由此能证明平面EAC平面PBD（）由已知得PDOE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥PEAD的体积（）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDBD=D，AC平面PBD而AC平面EAC，平面EAC平面PBD（）解：PD平面EAC，平面EAC平面PBD=OE，PDOE，O是BD中点，E是PB中点取AD中点H，连结BH，四边形ABCD是菱形，BAD=60，BHAD，又BHPD，ADPD=D，BD平面PAD，=19（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【解析】试题分析：由圆心在直线x3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d=|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2d2，即9t22t2=7，解得：t=1，圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（3，1），半径为3，则（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=920（1）圆的切线方程为x=6，或3x4y2=0（2）直线AB的斜率为2【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点M在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程（2）当直线AB的斜率不存在时，ABC的面积S=3，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y3=k（x1），即kxy+3k=0，圆心（2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，由此能求出OAB的最大面积和此时直线AB的斜率解：（1）圆C：x2+y2+4x6y3=0，即（x+2）2+（y3）2=16，表示以（2，3）为圆心，半径等于4的圆由于点M（6，5）到圆心的距离等于=4，大于半径4，故点M在圆的外部当切线的斜率不存在时，切线方程为x=6符合题意当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y+5=k（x+6），即kxy+6k5=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=4，解得k=，此时，切线为3x4y2=0综上可得，圆的切线方程为x=6，或3x4y2=0（2）当直线AB的斜率不存在时，x=1，y=3，ABC的面积S=3当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y3=k（x1），即kxy+3k=0，圆心（2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，ABC的面积S=|AB|d=8当且仅当d2=8时取等号，此时=2，解得k=2所以，OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为221（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先证明BC平面ACD，再由BCED，得出ED平面ACD；（2）由V三棱锥CADE=V三棱锥EACD，利用基本不等式求出三棱锥CADE体积的最大值，再利用三棱锥的体积公式计算点C到平面ADE的距离解：（1）证明：AB是圆O的直径，ACBC，又DC平面ABC，BC平面ACD，DCBC，又ACDC=D，AC平面ACD，DC平面ACD，BC平面ACD；又四边形CBED为矩形，BCED，ED平面ACD；（2）解：由（1）知，V三棱锥CADE=V三棱锥EACD=SACDDE=ACCDDE=ACBC（AC2+BC2）=AB2=42=，当且仅当AC=BC=2时等号成立；当AC=BC=2时，三棱锥CADE的体积最大，为；此时，AD=3，SADE=ADDE=3，设点C到平面ADE的距离为h，则V三棱锥CADE=SADEh=；h=（3）=22（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用是中位线，从而，又，所以四边形为平行四边形，故，从而证平面；（2）转换三棱锥顶点可得：，易知是棱锥的高，从而求其体积试题解析：（1）如图,取PB的中点N,连接MN,CN.在PAB中,M是PA的中点,MNAB,MN=AB=3,又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD,四边形MNCD为平行四边形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.（2）=SDBCPD,又SDBC=6,PD=,所以=.考点：1、线面平行；2、三棱锥体积【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、三棱锥的体积及空间想象力，属于中档题解题时一定要注意中点这个条件的暗示作用，一般要利用中位线得到直线平行，如果中位线不行，考虑构造平行四边形，利用平行四边形得线线平行，从而得线面平行，也可考虑面面平行得线面平行在求三棱锥体积时，如果高不易寻找，可考虑变换三棱锥顶点，从而易于求高23（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面找到一条直线与直线平行即可因为平面平面，则过点作于，连接，证明四边形为平行四边形即可；（2）由（1）知平面，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可试题解析：（1）如图，过点作于，连接， ，可证得四边形为平行四边形，平面（2）连接，由（1），得为中点，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由即，令，得设平面的法向量为由即，令，得所以，所以二面角的余弦值是考点：1线面平行的判定定理；2利用空间向量求二面角24（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先求两个平面的法向量,再将欲证的问题转化为计算两个法向量的数量积为即可获证；（2） 先求两个平面的法向量,再借两个平面的法向量的数量积公式求解即可获解.试题解析：（1）以为原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，为的中点，点坐标为， 设是平面的法向量，则，取得平面的一个法向量， 设是平面的法向量，则，取得平面的一个法向量 ，平面平面 （2）设是平面的法向量，则，取得平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，由题中条件可知，则， 二面角的大小为 考点：空间向量的数量积公式的坐标形式与代数形式的运用.