2019-2020年高三数学摸底考试试题 理.doc

2019-2020年高三数学摸底考试试题 理【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1已知集合，,则A B C D【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合，即，又因为，所以，故选B.【思路点拨】先化简集合，再求结果即可.【题文】2设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，则A. B. C. D. 【知识点】复数的运算.L4 【答案解析】A 解析：因为复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，则，所以，故选A.【思路点拨】先利用已知条件求出再计算结果即可.【题文】3已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A若则 B若，则C若，则 D若，则【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项A：m、n平行、相交、异面都有可能；选项B显然成立【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。【题文】4设等比数列的前n项和为，若则A31 B32 C63 D64【知识点】等比数列的性质；等比数列的前n项和 D3【答案解析】C 解析：由等比数列的性质可得成等比数列，即成等比数列，解得63，故选A.【思路点拨】由等比数列的性质可得成等比数列，代入数据计算可得【题文】5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A B C D【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3、B4【答案解析】D 解析：根据四个函数的图像获得正确选项。【思路点拨】通过函数图像分析结论。【题文】6.由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为A B C D【知识点】几何概型；简单线性规划E5 K3 【答案解析】D 解析：平面区域，为三角形AOB，面积为222，平面区域，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即则三角形ACD的面积S=1=，则四边形BDCO的面积S=SOABSACD2=，则在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为，故选：D【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论【题文】7已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为AB C D【知识点】抛物线及其几何性质、双曲线及其几何性质.H6、H7【答案解析】D 解析：根据题意得：从而所以解得，因为需使，所以，从而，所以.故选：D【思路点拨】先求出点F、A的坐标，从而求出a、b、c的值，进而求得离心率。【题文】8已知菱形的边长为，点分别在边上， .若，则A B C D【知识点】平面向量数量积的运算F3 【答案解析】C 解析：由题意可得:若， ，即由求得，故选C【思路点拨】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由，求得 ；再由，求得结合求得的值二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（913题）【题文】9的展开式中，的系数为，则 (用数字填写答案) 【知识点】二项式定理.J3【答案解析】 解析：由通项，的系数，解得【思路点拨】利用二项展开式的通项公式求解。第10题图【题文】10已知某程序框图如图，若分别输入的的值为，执行该程序后，输出的的值分别为，则 【知识点】程序框图 L1【答案解析】6 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当x=0时，则y=4=1；当x=1时，则y=1；当x=2时，则y=22=4；则a+b+c=1+1+4=6,故答案为：6【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，将x的值分别代入即得【题文】11在中，角所对边分别为，且，面积，则= 【知识点】三角形的面积公式；余弦定理. C8【答案解析】5 解析：，面积，由余弦定理得，故答案为：5【思路点拨】先利用三角形的面积公式求出边；利用三角形的余弦定理求出边【题文】12图中阴影部分的面积等于 【知识点】定积分.B13【答案解析】1 解析：面积第12题图【思路点拨】利用定积分的几何意义求解。【题文】13如图,对大于或等于的正整数的次幂进行如下方式的“分裂” (其中)例如的“分裂”中最小的数是,最大的数是；若的“分裂”中最小的数是,则最大的数是 第13题图【知识点】合情推理;数列.M1、D2【答案解析】271 解析：分裂中的第一个数，最后一个数；：分裂中的第一个数，最后一个数；：分裂中的第一个数，最后一个数；发现分裂数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是：底数（底数1）+1.又分裂中的第一个数是241，则，解得所以的分裂中最大数是：.【思路点拨】根据分裂的结果，归纳总结分裂的特点：分裂数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是：底数（底数1）+1.从而求得分裂中的第一个数是241的底数m的值.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【题文】14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）则点到曲线上的点的距离的最小值为 【知识点】圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化N3 【答案解析】4 解析：由点的极坐标为，得点的直角坐标即M（4，4），由曲线的参数方程（为参数），消去参数得普通方程为：，圆心为A（1，0），半径r=1，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为【思路点拨】利用公式即可把点的坐标化为直角坐标；把曲线的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|-r即可求出最小值【题文】15（几何证明选讲选做题）如图，过外一点分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，则 【知识点】几何证明选讲.N1【答案解析】6 解析：因为(弦切角等于它所夹弧所对圆周角) ,所以与相似,所以即,所以.【思路点拨】利用三角形相似求线段AB的长即可.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 【题文】16(本小题满分分)已知函数，.（1）求的单调递减区间；（2）若，求【知识点】三角函数的单调区间；同角三角函数的基本关系式；三角恒等变换. C2 C3 C5【答案解析】（1）；（2） 解析：（1）由2分解得：，3分的单调递减区间为4分（2），5分6分7分8分9分10分11分12分【思路点拨】（1）直接利用余弦函数的单调区间即可；（2）先利用同角三角函数的基本关系式求出余弦值，再利用公式把化简代入数值即可.【题文】17( 本小题满分12分)为增强市民的环保意思，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽取名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄（岁）分成五组:第组,第组,第组,第组,第组.得到的频率分布直方图(局部)如图所示.（1）求第组的频率,并在图中补画直方图；年龄岁第17题图（2）在抽出的名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取名参加中心广场的宣 传活动,再从这名志愿者中采用简单随机抽样方法选取名志愿者担任主要负责人.记这名志愿者中“年龄低于岁”的人数为,求的分布列和数学期望【知识点】抽样方法；频率分布；超几何分布；组合运算；数学期望.I1、J2、K6、K8【答案解析】(1)0.3 , 图见解析；（2） 解析：（1）第4组的频率为().1分,.2分,则补画第4组的直方图如图所示：.4分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名志愿者，则其中年龄“低于35岁”的人有12人，“年龄不低于35岁”的人有8人，故X的可能取值为0,1,2,3。 -7分因为, -9分所以x的分布列为:x0 123p所以 -12分【思路点拨】（1）根据小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1即可得出（2）分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名；则其中年龄“低于35岁”的人有20（0.01+0.04+0.07）5=12名，“年龄不低于35岁”的人有8名X的可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布即可得出，再利用数学期望的计算公式即可得出【题文】18（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（1）求证：/ 平面；（2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值【知识点】空间线面关系；空间向量知识；数形结合；化归与转化空间想象；推理论证.G4、G5、G10【答案解析】（1）见解析（2）见解析（3） 解析：（1）证明：连接BD与AC相交于O，连接EO.四边形ABCD为正方形，O为BD中点，E为棱PD中点， -3分平面EAC EO平面EAC直线PB平面EAC -4分（2）证明： -5分四边形ABCD为正方形, -6分 -7分 -8分（3）.。，建立如图所示的空间直角坐标系 -9分第18题图设AB=4，设平面EAC的法向量 -11分易知平面ABCD的法向量为： -12分 -13分由图可知二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为：-14分【思路点拨】（1）连接BD与AC相交于点O，连接EO可得EO是PBD的中位线，所以PBEO，结合线面平行的判定定理，即可证出PB平面EAC；（2）由PA平面PDC，得到PACD，结合正方形中ADCD，证出CD平面PAD根据平面ABCD经过平面PAD的垂线，即可得到平面PAD平面ABCD；（3）取AD中点M，BC中点N，连接PM，MN根据（II）证出的位置关系，可得MP、MA、MN两两垂直，因此分别以MA、MN、MP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系设AB=4，可得A、B、C、D、P、E各点的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，列方程组解出平面EAC的法向量为再根据平面ABCD的法向量为利用向量的夹角公式算出夹角余弦之值，即可得到二面角E-AC-B的余弦值【题文】19（本小题满分14分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若,且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2），证明:对一切正整数,有【知识点】数列的通项、求和，不等式知识，化归与转化思想方法.D2、D3、D4【答案解析】 （1）；（2）见解析.解析：（1） -1分， -2分由题意得： -3分即 联立、解得 4分 -5分（2）证明：由（1）得 -6分当n=1时，原不等式成立。当n=2时，原不等式成立。当n 3时， -9分1恒成立 -4分令 -5分令函数在上单调递增 。 -6分 方程在上存在唯一实根且满足当时 即当 即函数在上单调递减，在上单调递增 -7分 -8分故整数k的最大值为3 -9分（3）证明：要证， 即证即证，即证 -10分构造函数 -11分则在上恒成立 -12分在上递增 -13分 即 -14分【思路点拨】（1）求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，根据切线斜率为3列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）将原来的恒成立问题转化为研究函数的最值问题，研究区间上的最值问题，先求出函数的极值，研究极值点左右的单调性，最后确定出最小值，从而得出k的最大值（3）由（2）知，是4，+）上的增函数，从而有当nm4时，由此式即可化简得到结果.